Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.07.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
где |
для нечетного случая: |
|
|
|||
|
4 |
3(3к2 +3к—1 ) |
4 __ |
4 |
15 |
|
|
7 й — (4 |
ft®-i)(2 A+3 ): • Ti3 |
T3I = |
(4fea— (2Й+3) , |
||
|
4 |
_ |
4 |
35(3A2 + ЗА — 1) |
||
|
724 — |
742 — (А2 -1)(4А2 —1) А(А+2)(2А-|-3) ’ |
||||
|
4 |
|
25 (3# + |
6 А3 — ЗА + |
1) |
|
|
Т 2 2 |
(А2 —1)(4А2 —1)А(А+2)(2А+3) |
’ |
|||
4___________ 45_________
Тз з - (4 ^_j)fe(fe+ 1 ) (2А+3)
4_ _____________175___________
'T44~ (А®—!)(4Аг- 1 ) A(A+2)(2A+3) -
Для четного случая:
4 |
|
3(12ft«—Г) |
|
|
4 _ |
4 |
15 |
. |
|||
7 Н ~ |
32(А2—1) А |
’ |
|
713 — 731 — 32(А®—1) к |
' |
||||||
4 _ |
4 = _________35(12fea-—7)__________ |
_ |
|
||||||||
724 - |
|
742 |
|
32А(4А2—1) (A2- l ) |
(4ft2—9) |
’ |
|
||||
4 |
_ |
|
25(48А4 — 72А2 +31) |
|
. |
|
|
||||
722== Ш (4А2 — 1) (А2 — 1) (4А2—9) |
’ |
|
|
||||||||
4 ____________ 45 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||
733 |
|
32А (4А2— 1) (А2— 1) ’ |
|
|
|
|
|||||
4 |
______________ 175_____________ |
|
|
|
|||||||
744— |
ш (fea _ |
!) |
(4fe2 _ |
!) (4ft2 — |
9) |
|
|
||||
Решение системы будет: |
|
|
|
|
|
|
|||||
До = |
7п |
6о — |
7*13 |
Ь2 |
; |
|
|
|
|
||
&\ = |
4 |
, |
|
4 г |
» |
|
|
|
|
||
Т22 0\ -- |
724 03 |
|
|
( 3, |
12) |
||||||
Д2= |
— 731 ^оЧ~ 7зз |
J |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
а.3~ |
—742 |
~\~ 744 |
|
• |
|
|
|
|
|||
Аналитическое уравнение параболы имеет вид
У( — #о Т- dxt -\-а.2^ 4" Дз^3
71
Сразу было неясно, какую дочность в подсчете обратных матриц дает ЭВМ, не получае#Щ ли при этом больших иска жений? Так как получилось хорошее совпадение в обоих ва риантах счета, (т. е. обращением матрицы и по выведенным формулам), то можно распространить наш способ на системы 5, 6 и т. д. нормальных уравнений.
4. Выравнивание по параболе 4-го порядка.
При т= Ъ система нормальных уравнений примет вид
4 - S4a4— b0 |
|
|
5г<2о_1_,^4й'а4_56а4 = Ь 2 |
(3, 13) |
|
S4fl1-4-56a3 |
=&s |
|
Определитель матрицы |
А5 |
системы (3, 13) равен: |
для нечетного случая |
|
|
I Л5 |
4(fe—I)2 k> (k+2y (2fe—3) (2k—l)3(2k+\f (2fe+3) (2fe+5) 35-55-7*
для четного случая
223 (k—2) (k—iy k5 (£+ l)3(k + 2) (2k— 3)2 (2 + 3)
1 ^ 1 = ---------------------------------------------------------------
а обратная матрица имеет вид
Тп |
0 |
5 |
0 |
715 |
7 13 |
||||
0 |
5 |
0 |
724 0 |
|
"f22 |
||||
|
|
5 |
л |
5 |
T3i 0 Тзз |
0 |
735 |
||
0 |
742 |
0 |
744 |
0 |
спел
0 753 0 755
где
для нечетного случая
g |
15(15£*+3068+356г-50А4-12) |
||
Т11== |
4(4£2 — 9) (4&г — 1) (26 + |
5) ’ |
|
5 |
5 _ |
525 (2& + 2k |
— Ъ) |
Т 13 = Тз1 = 4(4* 2— gj (4^г— 1)(2А + 5) ’
72
f 15 |
451 |
|
4(4А=_9)(4*!_1)(2Л+-5) ’ |
|
|
5 _ |
|
25(ЗАЧ-6А3—ЗА + 1) |
|
|
|
T22"~ |
A(A2—1) (4&2—1) (6+2) (26+3) |
’ |
|
||
5 _ |
5 |
_ |
35(3A»+3A-1) |
|
|
724 — 712 |
— |
—!) (4fea—!) (jfe_|-2) (2АЯ-3) |
’ |
||
5 |
|
2205 (4A* + 8A3— 4A2 — 8fe + 5) |
|
||
T33~ a 4(fe2—!) k (A+2) (4A2—9) (4Аг— 1) (2A+5) |
’ |
||||
5 |
5 |
|
___________1575 (6A2 + |
6A — 5)__________ |
|
735 = |
753 |
|
4(A2—1) A (A+2) (4k2—9) (4A2— 1) (2k+ 5) ’ |
||
|
|
|
|||
5 ________________ 175_________________ |
|
||||
T44~ |
k (k2— 1) (4k2— 1) (k + 2)(2k + 3) |
|
|||
5 |
_______________ 11025_________________ |
|
|||
455== 4 (A2—1) k (k+2) (4k2—9) (4Jfe=—1) (2A+5) |
’ |
||||
Решение системы будет:
a o |
7н |
b0 — |
Yi3 b%-\- |
715 |
b ,4 |
ai — |
722 |
b\ — |
724 Ьг |
|
|
аг— — 731 b0 + |
7зз bs — |
735 |
bA |
||
as— —742 |
bj + |
744 bt |
|
|
|
a 4 = |
76i |
b0 — |
753 b3 + |
755 bi |
|
для четного случая
5 3•5 (240A*— 90A2 + 407) 411== 2n-A (A2—4) (A2—1)
5 _ |
5 __ |
3-52-7 (4A—7) |
713— |
731 |
2I0A (A2 — 4) (A2 — 1) |
73
5 |
5 |
|
33-5-7 |
T15= Tf51 |
|
2u -ft(ft2—4) (ft2—1) ’ |
|
|
|
|
|
5 |
|
52 (48fe — 72fe2 + 31) |
|
T22== |
25ft (ft2—1) (4ft2—9) (4ft2— 1) |
||
5 |
5 |
|
5-7 (12ft2— 7) |
T24— |
T42 = |
25ft(ft2—1) (4ft2—9) (4ft2—1) |
|
|
|
|
|
5 |
|
~32-5-72 (16ft4—40ft2+29) |
|
T33==29-ft(ft2—4) (ft2—1) (4ft2—9) (4ft2—1) ’ |
|||
5 |
5 |
|
32-52-7 (12ft2— 13) |
T35= |
753=,2,0ft(ft2—4) (ft2—1) (4ft2—9) (4ft2—1) ’ |
||
144 = |
|
52-7 |
|
25ft (ft2 — 1) (4ft2 — 9) (4ft2 — 1) |
|||
5 _______________ 32-5a-7____________
^53 2nft (ft2—4) (ft2— 1) (4ft2—9) (4ft2—1)
Аналитическое уравнение параболы имеет вид
yt — aQ-{- CL^t -f- Qr2t2 -f- |
“f" <74^4 . |
§ 3. Выравнивание статистических рядов при анализе конкретных экономических процессов
Рассмотрим примеры выравнивания статистических рядов, используя формулы (3, 10; 3, 12; 3, 14;) и составленные нами таблицы коэффициентов.
Нечетный случай
Пример 1. Выравнивание по прямой линии. Собранные органами государственной статистики ценные материалы о наличии, составе и использовании специалистов в народном хозяйстве, о распределении молодых специалистов, о нали чии научных работников широко используются при планиро вании трудовых ресурсов в народном хозяйстве. Эти материа лы необходимы и для анализа статистической отчетности ВУЗов и техникумов по подготовке специалистов.
74
Т а б л и ц а 9
Выпуск специалистов с высшим образованием в народном хозяйстве РСФСР.
Специальность — технология виноделия (по данным Госплана РСФСР)
t |
|
Годы |
Годовой |
t y |
|
|
выпуск (у ) |
||||
|
|
|
|
|
|
—3 |
|
1960 |
|
37 |
—111 |
—9 |
|
1961 |
|
49 |
— 98 |
—1 |
|
1962 |
|
46 |
— 46 |
0 |
|
1963 |
|
79 |
— 0 |
1 |
|
1964 |
|
88 |
88 |
2 |
|
1965 |
|
147 |
294 |
3 |
|
1966 |
|
164 |
492 |
0 |
|
|
|
О CD 1 ?С- |
2 |
|
|
|
|
CD 1 |
|
Решение: в нашем случае /п= 2, п = 7 и 6=3. |
|
||||
Параметры а0 и щ находим по формулам (3, |
8), а значе |
||||
ния т]j |
берем из таблиц (см. приложение 4): |
|
|||
|
а0= т I, |
60 = |
0,14286-610=87,14283; |
|
|
|
а1 = Т 22 |
6, = |
|
0,03571 -614=22,10714. |
|
Уравнение прямой имеет вид |
|
||||
|
|
у, = 87,143 + 22,1071 . |
|
||
Для определения погрешности подставим найденные значе ния параметров в левые части системы нормальных уравне ний, которая имеет следующий вид:
7а0 = 610 1
28а, = 619 1
Получаем соответственно 609, 999 и 618, 999.
Относительные погрешности равны
, |
610—609,99 |
10096 ^0,0016% |
|
610 |
|
|
619-618,99 |
■10096^0,0016% |
|
619 |
|
75