Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf

умножений и сложений, что не требует высокой квалификации вычислителя.

Теорема об определителе системы нормальных уравнений, доказанная в § 5 данной главы, может иметь теоретическое значение для дальнейших исследований, конечной целью ко­ торых является получение алгоритма для составления обрат­ ных матриц при любом п.

Для определения параметров параболической формы свя­ зи получены удобные таблицы, позволяющие сразу получить уравнение аппроксимирующего полинома относительно исход­ ного начала координат.

Для определения параметров гиперболической формы свя­ зи получены другие таблицы. Это вызвано тем, что при гипер­ болической зависимости, во-первых, нельзя переносить начало координат в середину рассматриваемого периода, так как ги­ пербола при этом искажается, и, во-вторых, для подсчета сумм степеней чисел обратных натуральным при конечном п не существует общей формулы '. Эти таблицы получены не аналитическим путем, а путем формирования обратных мат­ риц на ЭВМ.

Для определения параметров логарифмической и степен­ ной формы связи составлены специальные таблицы для вычис­ ления обратных матриц к матрицам из сумм степеней лога­ рифмов натуральных чисел.

Составление и решение системы нормальных уравнений методом последовательного исключения работа элементарная, но громоздкая и утомительная. Вычислитель может ослабить внимание и сделать ошибку.

Предлагаемые упрощения в расчетах, а также элементар­ ность производимых операций, значительно уменьшает веро­ ятность появления ошибок в вычислениях.

Г Л А В А III

МОДИФИЦИРОВАННОЕ ВЫРАВНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ ЭВМ

(Нечетный и четный случай)

Выравнивание статистических рядов производится при раз­ личных экономических исследованиях для определения тен­ денции развития экономических явлений и изучения отклоне­ ний от тенденции.1

1 Дзета-функция Римана дает возможность подсчитывать такие сум­ мы только для бесконечного п.

62

Задача выравнивания, с точки зрения автоматизации про­ цесса решения, является довольно сложной. Необходимость выравнивания, или как его часто называют, сглаживания, возникает при планировании основных народнохозяйственных показателей, при планировании работы отдельных предприя­ тий, в демографической статистике и других важных областях теории и практики.

Кроме того, широкое применение в экономике получили ме­ тоды корреляционного и регрессивного анализа, с помощью которых изучаются факторы производительности труда, фон­ доотдачи, себестоимости, рентабельности и т. д.

Как при выравнивании статистических рядов, так и при вычислении корреляционных уравнений, обычно применяется метод наименьших квадратов. Применение этого метода дает возможность получить системы нормальных уравнений. Раз­ работано много методов численного решения этих систем, но работа над их усовершенствованием все время продолжается. Немало исследований посвящено разработке конструктивных методов, позволяющих вести процесс выравнивания на ЭВМ.

Наиболее употребительным методом является схема Гаус­ са, основанная на идее последовательного исключения неиз­ вестных, но реализация этой схемы весьма трудоемка.

Имеется несколько видоизменений схемы Гаусса, дающих те или иные преимущества. Часто применяются так называе­ мые «компактные» схемы, схема «квадратного корня», «эска­ латорная схема», «американская схема», «Дулитля» и др.

Однако достаточно эффективного метода, дающего быст­ рое решение с необходимой точностью и минимальным ис­ пользованием счетно-вычислительных устройств еще не соз­ дано.

§ 1. Постановка задачи

Будем выравнивать статистический ряд посредством поли­ номов, удовлетворяющих аналитическому уравнению

у = а0 + агх + а,х2+ ... -j- ат-\ х т~ 1,

пользуясь методом наименьших квадратов.

Рассмотрим дискретные значения аргумента х=1, 2, ..., п. Реальный смысл аргумента — время или порядковые номера каких-либо равных интервалов. Параметры искомого полино­ ма а0, аи ..., ат-\ определяются путем решения системы нор­ мальных уравнений:

63

/= 1

Разберем случай, когда число точек эксперимента — нечет­ ное, т. е. п~2к+\ и будем называть его в дальнейшем не­ четным случаем Произведем замену х1~ х —k— 1, при кото­ рой начало координат переносится в середину рассматривае­ мого периода (см. рис. 11), т. е, произведем сдвиг по оси X.

легчается, так как суммы нечетных степеней Sb S3 , ..., Sim -з обращаются в нуль.

Для решения системы (3, 1) применим формулы вычисле­ ния сумм четных степеней первых к натуральных чисел [5]

2r

5 В6к2г 5-f-. .. -(- Вгг к ,

где В2, Bit Вв, ..., — числа Я. Бернулли

1 Четный случай рассматривается ниже.

64

Полагая в нашей конкретной задаче 0°=1, получим

J——k

АА

«,_ /с(/с+1) (2к+1)__

7=—* 1 —1

к/г

/ = 2 V f = k ('c+ 1 )(2 k+ 1 )(3 a: ^ k- 1 )

5 s = ' V / = 2 ,V / =

;= I

крс+1) (2к+1) (5к6+15к5+5к4*—15ге3—к^+Эк—3)

45

Эти формулы позволяют решить систему (3, 1) в общем виде, т. е. получить явные выражения для искомых парамет­ ров в виде функций от k и от свободных членов:

4, 5 с помощью ЭВМ-М-22 были составлены семизначные таб­ лицы для А= 2, 3, ..., 50, которые дают возможность аппрок­ симировать n=2k+ 1 = 101 экспериментальную точку. Табли­ цы этих коэффициентов приводятся в приложении 4 (нечет­ ный случай).

Рассмотрим случай, когда число точек эксперимента чет­ ное, т. е. n=>2 k, и будем называть его в дальнейшем четным случаем.

Произведем преобразование х '= 2 (х —k) — 1.

При этом начало координат переносится в середину рас­ сматриваемого периода, а величина интервалов увеличивается

вдвое. Таким образом по-прежнему получаем равноотстоя­ щие узлы (см. рис. 12).

Рис. 12.

Теперь решение системы (3, 1) также существенно облег­ чается, т. к. суммы нечетных степеней S b S3, Som—з> обра­ щаются в нуль и в рассмотрении остаются только суммы чет­ ных степеней нечетных чисел.

5Ц, 52 5^, 50, . . .

Общая формула для вычисления таких сумм имеет вид

[5]

— ... — B»r к.

Здесь В2, В4, В6, ... — числа Бернулли. Отсюда:

66