Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.07.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
J _ |
1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
k |
|
|
|
I |
i |
1 |
|
I |
[I! 2! ... |
(fe—l)!]3 |
2 |
3 |
4 |
' " Л+1 |
|||
|
|
|
|
|
k\ {k+\)\ |
... (2fe—1)! |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
k |
£+1 |
" 2k—1 |
|
|
||
— определитель Гильберта. Он является определителем сим метрической матрицы; в статистической литературе встреча ется в работе Б. С. Ястремского «Теория дисперсии как тео рия изменяемости».
Эти закономерности приводят нас к необходимости дока зать следующую теорему.
Определитель системы нормальных уравнений, коэффици енты которой имеют специальный вид
аи = |
ал - |
V] |
2 = |
Si+j-2 О ) , |
||
|
|
15Г |
|
|
|
|
вычисляется по следующей формуле: |
|
|||||
50 |
.. ■ 5ft_i |
С* П ( « - /) * “ т , |
||||
Sx 5a |
••• 5, |
|||||
|
|
(2,25) |
||||
Afc (Л) = |
|
|
|
|
||
■S/г—i Sk . •• 5 2(ft_i) |
|
|
|
|||
22ft-4 . |
32ft-6 . |
42fe-8 |
_ _ |
(fe—2)* (fe—l)2 |
||
где Ск |
|
32ft-3 . |
g2ft-5 |
_ |
_ (2&—3)3 (2fe—1) |
|
2*(ft—1) . |
||||||
Доказательство. Для суммы 5 имеет место формула (2,3).
3* |
35 |
Следовательно, Aft (п) может быть представлен в виде многочлена от п. Коэффициент при высшей степени этого многочлена равен определителю, составленному из коэффи циентов при высших степенях элементов Ак(п).
Таким образом Ck есть определитель Гильберта
|
JL j |
|
|
|
2 |
3 |
__ i_ |
J_ J_ J_ |
|||
2 |
3 |
4' |
ft+i |
С* = |
|
|
|
j___ i_ |
|
i |
|
к |
k+1 |
|
2k—l |
Очевидно, что при К —1 формула (2,25) справедлива. Пусть она справедлива для К=т. Покажем, что (2,25) имеет
место и при к = т + 1. |
|
|
|
|
|
По нашему предположению, (т— 1) |
является корнем для |
||||
дт (л)- |
строки |
определителя |
Ат{т — 1) |
линейно |
|
Следовательно, |
|||||
зависимы, т. е. существуют коэффициенты Ко, |
... |
Xm_i не |
|||
все равные нулю и такие, что |
|
|
|
||
X.S0 + |
|
Sm—l — О |
|
|
|
^0^1+ |
+ •••+ |
Ат-1 Sm = 0 |
|
, |
^ |
-Ь )'1Sm |
Хта_1 5г(т-1) = 0 |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
Без ограничения общности можно полагать последнее уравнение системы (2,26) следствием остальных и в дальней шем его не рассматривать.
Введем обозначение |
|
|
|
|
m—1 |
A (i) = ).а i° + Х.1 i1-{- . . . |
-Г >*m—i im_1 == |
V i-v' • |
|
|
Р=0 |
Преобразуем уравнение с номером р(р = 0, 1, 2,.., т—2) системы (2,26)
36
= 2 |
•p.°p+p. — |
S " s |
vP+H- — |
|
KS> |
u.=n |
\i=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
m—1 |
m—1 |
|
p.=0 |
vs=l |
|
|
X,,. vP+i1 = |
|
|
|
||
m—1 |
гл—1 |
|
|
|
Следовательно, система (2,26) (без последнего уравнения) может быть записана в виде квадратной системы {т — 1)-го порядка относительно L(i)
1°L(1) + 2°L(2) + |
... |
+ (т — i)°L (m — 1) = |
0 |
1*1(1) 4 - 2 4 (2 ) + |
. .. |
+ {т — 1)11(от— 1) = |
0 |
lm1Z (l) + 2“ - ‘ L(2) 4- ••.4 - (да— \ym-^ L {tn — 1)=0
Определитель этой системы является определителем Ван дермонда и отличен от нуля. Таким образом все L (t)=0,
(/.= 1, 2, .... т — 1), значит X0Sa + XxStt+i+ ... +Xm_ 15a+m_ i= 0
Отсюда следует, |
что в определителе Am+i («) |
корень (т — 1) |
имеет кратность |
на единицу большую, чем |
в Ат(п). |
Покажем теперь, что A m+i (m) = 0. Введем обозначение
j
п1 , тогда Am+i (т) запишется в виде
т=1
+ т° |
+ т> ... |
S i?-" + тт |
5{m_1) + т > |
Si1"-11 + т * . . . |
S lf+ P + т ^ 1 |
4 т т~ х |
S iT ~ l) + т т . . . S iZ -i + т ? т~' |
|
S ^ l) + |
+ т ” . . . |
+ т ^ |
37
Если мы теперь осуществим линейную комбинацию с ко эффициентами А0, А,ь . . Хт—1 сначала для последних т строк, а затем для первых т строк, то получим определитель, который, очевидно, равен нулю.
|
S(0m- 1} + |
т° |
+ |
т> ... |
S % -X) + mm |
|
S(im_I) + |
/rc1 5 Г " 1) + |
яга ... |
5'r+l 1)+/ram+1 |
|
|
S^-Ta0 + |
тт- п- |
SjLm+~i1)+ « m- |
•••S fca '+ m 2'" -2 |
|
|
L(m) -f- mm~ l m l (m) + |
mm.. |
mmL (tn) -j- m2m~l |
||
|
|
|
|
|
. mm- lL{rri)~\-m2m |
Для |
завершения |
доказательства остается показать, ЧТО |
|||
А* (я) |
вместе с корнем п содержит и корень (—я). |
||||
Составим определитель
*0 4 •• ''ft-i
. . "ft
АЛ —«)
Ik-i ’'ft ••T2(ft—1)
п
где ^ ~ |
^ |
■ |
j=i
Нетрудно видеть, что Aft(/i) = Afe(—я) .
Этим теорема доказывается полностью
§ 6. Определитель Гильберта
Определитель Гильберта имеет вид
|
J__1__1_ |
1 |
А> = |
2 3 4 |
п-Н |
|
|
|
|
I___ 1___ 1_ |
__1__ |
я п + 1 п + 2 '" 2л—1
1 Теорема доказана совместно с М. Ш. Марьясиным.
38
Искомый определитель D = C k является частным случаем более общего определителя D
(Oi-f |
^i)-1 |
A + 6 = )-' • |
(an + |
bз)-1 |
(an + 62) 11 . |
при ai —i’ e t = i — 1
Вычислим определитель D.
Вынесем из каждого его столбца общий знаменатель это го столбца. Тогда
D = |
D' |
------------------------------------------------------------------ = |
П (ai+ &0 |
П (а« + ба)... |
П (ai+ ьп) |
г= 1 |
г= 1 |
г=1 |
|
D' |
|
|
П (ai+ ьк) |
|
|
I, *=1 |
|
|
(a2+^i) (o3“l-bi) (a4+ 6 J .. |
.(я„-Нч); (a2+ 6 2) (a3+ 6 2) . .. |
|||||
(ai~b^i)(^3+ ^i)(®4+ 6i). . . |
(an-f-6i); (йз-На) fas-fA) ••• |
||||||
(ai+&i) (a2+6,) (a4+6,) |
--- K + ^ i); (at+*2) (a,+*2) ( M A ) ••• |
||||||
|
A |
■+•A) A ~\~b\) (a* -f- b2) (<z4 -f- bx) |
... {(2„_i -j-bx); |
||||
|
|
|
|
|
(fl2-j-62) (a3-|-62) ... |
||
...(a n + |
b2);. .. |
(a2+ b n) (a, + |
£„) (a4 + |
6n) . . |
- K |
„) |
|
.. .(an + |
b2y, ... (a, + 6„) • (аз + |
6л)(а4 + |
6л)... |
(а „ + |
^п) |
||
•••K +& 2);... |
(a, + &„) (a. + |
&„) |
• (a4 + |
&„)•■• (a„ + |
6„) |
||
... (a„_! -)- 62), . .. (ttj - f bn) (a2 -j- 6„) (a, -j- &„) (a4 -f- bn) . ..
•■(an-l + bn)
39