Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf

приведение неравноотстоящих значений измеренных величин к равноотстоящим, вообще говоря, упрощений в вычисления

величиной малой, которой можно пренебречь без ущерба для точности определения искомых величин, то преобразования к равноотстоящим значениям аргумента могут оказаться по­ лезными. Для этого необходимо, чтобы одна из величин « и (3 была малой величиной', тогда вторая будет близкой к значе­ нию принятого интервала приведений.

Все сказанное полностью распространяется на любой вид зависимости, связывающей результаты измерений.I*

I а ] > |р | и |а |« j р |

44

§ 8. Нахождение параметров гиперболической формы связи 1

При анализе многих экономических и технических процес­ сов часто используются гиперболические формы связи вида

Однако при практическом решении задач такого рода воз­ никают серьезные вычислительные трудности. При их преодо­ лении, как отмечал акад. В. М. Глушков, наметилось две тен­ денции. С одной стороны, можно использовать ЭВМ. С дру­ гой— малые машины типа клавишного арифмометра. Обе эти тенденции имеют существенные недостатки.

Действительно, для расчета на ЭВМ нужно составить про­ грамму, перфорировать условия задачи, решить задачу на ма­ шине, записать результат. Все эти этапы весьма трудоемки и, учитывая это, экономист, инженер, научный работник зача­ стую не пользуется услугами вычислительных центров, а пред­ почитают решать задачи «вручную». Дело, однако, усложня­ ется тем, что для решения задачи, содержащей тысячу ариф­ метических операций, на клавишной машине уходит полный рабочий день. Задачи же объемом в десятки тысяч операций

ивовсе «не по плечу» такой технике.

Вработе предлагаются таблицы, с помощью которых мож­ но находить параметры уравнений, характеризующих гипер­

болическую форму связи вида (2,29) для т = 2 и т = 3 без помощи ЭВМ, которая уже использована при составлении таблиц.1

1 Написан совместно с доц. Ю. И. Сорокиным.

45

Уточним постановку задачи. Пусть для х= 1 , 2 (к это­ му случаю можно свести общий случай § 3) даны значения экспериментальной функции у ь у2, ... у п. При этом значения (г/г = 1, 2, ..., п) таковы, что есть основания полагать гипер­ болическую форму связи (2,29) наилучшим образом отражаю­ щей аналитическую зависимость между х и у. Наилучшее при­ ближение понимается в смысле метода наименьших квадра­ тов, т. е. минимизируется сумма

П

^ ] [ /(■*/) — У/Г = <Р(а0> ait...,a m-i) .

лШВШ i= 1

Как известно, задача сводится к системе нормальных уравнений, получающейся дифференцированием:

da

Здесь и ниже отсутствие индексов суммирования у знака

^следует понимать как суммирование от 1 до п.

Наиболее важными для практики представляются случаи т = 2 и т — 3. Рассмотрим их. Введем обозначения

46

47

матриц были получены все необходимые значения 7% и 7?;

исведены в таблицы, приведенные в приложении 2. Гиперболические формы связи часто используются при эко­

номическом анализе деятельности торговых организаций. Известно, что общая сумма издержек обращения состоит

из двух частей:

'И

можно составить аналогичную программу для ЭВМ БЭСМ-6 или М-20, которая позволяет получить 8— 9 знаков в мантиссе. Отметим, что в прин­ ципе можно составить программу, которая производила бы арифметиче­

ские действия с удвоенной или еще большей степенью точности. Однако составление такой программы несколько затруднено.

48

1). Расходы, зависящие от объема товарооборота, напри­

мер: заработная плата продавцов, транспортные расходы

ит. д.

2). Расходы, не зависящие от объема товарооборота, на­

пример, заработная плата административного персонала, амортизация, аренда и т. д. Если обозначить х — объем то­ варооборота, у — уровень издержек обращения на единицу товарооборота, то зависимость между ними будет

I аг У= «оЧ— L ?

X

где а0 — параметр, определяющий среднее значение суммы расходов на единицу товара, зависящих от объема товарооборота;

ах — параметр, определяющий среднее значение суммы расходов, не зависящих от объема товарооборота.

При изучении зависимости между себестоимостью и раз­ мером выпуска продукции также применяется уравнение (2, 32), его параметрами являются:

а0 — размер пропорциональных издержек на единицу про­ дукции;

<3t — размер постоянных издержек.

Например, при определении расхода электроэнергии, часть его (освещение) относится к постоянным издержкам, а дру­ гая часть (например, транспортировка продукции) — к про­ порциональным.

§ 9. Применение гиперболической формы связи при анализе конкретных экономических процессов

Пример I. Зависимость между размером предприятия по стоимости основных средств (х ) и себестоимостью единицы продукции (у) дана в первых двух столбцах табл. 4.