Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf

Вычислим DK Для этого вычтем из г-той строки определителя (Н-1)-ю строку, где 1 = 1, 2, 3, . . п — 1. Тогда

(а2—й^П^+б,); (а2—а,)П (ai+bt)\

/= 3 /= 3

п

■••(a»—ai) П • (аН А )

1=3

(а3—а2) П (ai + &i); (^з—аа) П (аг + 6=);

/=1,4,5...л /=1,4,5, ... п

Таким образом D1 делится на все разности вида ш+\—ai7 где i= l, 2, 3, п — 1. Очевидно, что и вообще, если мы выч­ тем из строки 1 определителя D 1 строку К, из строки 2— строку /С+1 и т. д., из строки п — /С+Л строку п, то окажется,

40

D1очевидно делится и на все разности вида Ь£—bk

Вынося из D1 все множители вида (а, — ак) и {bk— bk) , получим:

П [(«,—«,)(4|—4,ц

П (ai+h) I, k=l

Вычислим D "'. Для этого заметим, что каждый из элемен­ тов определителя D1 является многочленом порядка (п— 1) относительно aL и Ьг Определитель имеет порядок п. Таким образом относительно аь и Ь£ он является многочленом по­ рядка п (п — I). С другой стороны

П { ( ъ - а Л Ь - б ь )] l+i 'k+ln

также является многочленом степени п (п + 1) относительно си и Ь£. Таким образом D '" = const и не зависит от значений at и bk, (i—1, ... п; к—\, ..п); тогда, полагая в определителе

i=pk

Таким образом D " '—1, т. e. определитель D вычислен.

41

Подставляя значения а£ =i, вь = к — 1, £=1,2, . . п; к = 1, . . п, получим

П («-А-1)3= [(Д-1)!(«-2)!...1!]2

Л=Л—1

Таким образом,

_ [1! 2! ... (л- l ) ! ] 3

л!(л+1)!... (2л—1)! '

Вработе [12], вышедшей в 1969 г., на стр. 98 написано: «В матричных вычислениях в качестве примеров часто ис­

пользуются <и иногда неправильно — матрицы Гильберта». Матрицы Гильберта интересуют авторов главным образом потому, что они очень плохо обусловлены при небольших зна­ чениях п и при их использовании нужно соблюдать осторож­

ность.

Поясним понятие обусловленности матрицы.

Рассмотрим систему уравнений АХ =в, где А — невырож­ денная матрица порядка п, т. е. det (А)=£0. Матрица А име­ ет единственную обратную матрицу А~';это означает,что си­ стема имеет единственное решение Х = А ~ 1в. Если исходные данные (элементы А и в) в какой-то степени .не определены, например матрица А известна точно, а вектор «в» — с неко­ торой неопределенностью (или наоборот), то для любой не­ вырожденной матрицы А существует число ее обусловленно­ сти cond(i4)=||A||-||A-1||ssl, которое интерпретируется как ме­ ра относительной неопределенности в задании вектора «в».

Если cond(A) относительно велико (по отношению к си­ стеме линейных уравнений), то матрица А является плохо обусловленной. Отметим, что сказанное не имеет отношения к нашей задаче, так как определитель Гильберта у нас нахо-

42

дится в знаменателе и представляет собой не что иное, как определенное число.

Отметим (без доказательства), что необходимым и доста­ точным условием неравенства нулю определителя системы нормальных уравнений является макоимальность ранга мат­ рицы системы условных уравнений, т. е. равенство этого ран­ га числу неизвестных.

Заметим, впрочем, что на практике легче вычислить оп­ ределитель нормальной системы, чем проверить это условие.

§7. Возможность приведения результатов измерений

кравноотстоящим значениям аргумента [11]

Выше уже отмечалось, что при равноотстоящих значени­ ях аргумента все вычисления значительно упрощаются.

Разберем вопрос о возможности приведения неравноот­ стоящих значений аргумента к равноотстоящим. Рассмотрим случай прямолинейной зависимости. Приведение должно вы­ полняться по формуле

Определим вес ук по формуле

1

(2,28)

43