Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.07.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
Если нанести значения у на логарифмическую бумагу, то получим линию, близкую к прямой, образующую тупой угол с осью ох, это значит, что разумно избрать т =2
Взяв п, |
с0 и С] из табл. 4 и уп , y?o =y2i и у!г |
из при |
ложения 2, |
найдем а0 и а\ |
|
во=<\,Тм—clT?2 = 69 • 0,506269—30,967 • 0,83168 = 34,932— —25,754633 = 9,18;
а, = clT|2—с0у|, =30,967 • 2,03677—69 ■ 0,831681=' 63,07266 —
— 57,38599 = 5,68667.
Ъух ^:Ъу. Это подтверждает правильность определения пара метров. Уравнение связи получает вид
Пример 2. Влажность муки в процентах (х) и выход хлеба на килограмм муки {у) характеризуется следующими данны ми, приведенными в первых двух столбцах табл. 5.
Если нанести значения у на логарифмическую бумагу, то
50
получим линию, близкую к параболе второго порядка. Это означает, что полезно избрать т= 3, т. е.
+ Ct\ ■CLo
— + - г
Для сравнения уравнение корреляционного полинома бу дем вычислять при т = 2 и т = 3.
Произведем преобразование координат
х '= Ю (х — 13,4); у' = {у — 1345)
При т = 2 по формуле (2, 34) и приложению 2 получим
а0 = 114 •0,223992 — 43,5578 •0,423332 = 25,536088 —
—18,439323 = 7,095765
ах= — 114-0,42332+43,5578-1,44533 =
= — 43,259843 + 62,954088 = 14,694240
1 Для определения экстремумов продифференцируем это уравнение
по х.
_ Ду _ |
2вг= о |
|
__ __2да |
хг |
хга |
’ |
я, |
Если а2> 0 , то имеется минимум |
(рис. 6), если а2<0, то кривая имеет |
||
максимум (рис. 7). |
|
|
|
4* |
|
|
51 |
сл w
X |
У |
х' |
У' |
1 |
|
х ' |
|||||
|
|
|
|
||
13,5 |
1362 |
1 |
17 |
1,0000 |
|
13,6 |
1368 |
2 |
23 |
0,5000 |
|
13,7 |
1357 |
3 |
12 |
0,3333 |
|
13,8 |
1363 |
4 |
18 |
0,2500 |
|
13,9 |
1360 |
5 |
15 |
0,2000 |
|
14,0 |
1346 |
6 |
1 |
0,1667 |
|
14,1 |
1354 |
7 |
9 |
0,1429 |
|
14,2 |
1347 |
8 |
2 |
0,1250 |
|
14,3 |
1359 |
9 |
14 |
0,1111 |
|
14,4 |
1348 |
10 |
3 |
0,1000 |
(Я |
(Я (Я |
x ' |
ах |
|
|
|
|
Mi |
|
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
17,0000 |
17,0000 |
0,2500 |
1,1250 |
0,0625 |
11,5000 |
5,7500 |
0,1089 |
0,0363 |
0,0121 |
3,9996 |
1,3068 |
0,0625 |
0,0156 |
0,0039 |
4,5000 |
1,1250 |
0,0400 |
0,0016 |
0,0016 |
3,0000 |
0,6000 |
0,0267 |
0,0046 |
0,008 |
0,1667 |
0,0278 |
0,0204 |
0,0029 |
0,0004 |
1,2861 |
0,1886 |
Т а б л и ц а 5
Mi |
|
Й*; |
Ух' |
|
|
||
x ' |
|
(X ')2 |
|
|
|
||
74,3651 |
— 55,5342 |
17,0515 |
|
37,1825 |
— |
13,8835 |
21,5196 |
24,7859 |
— |
6,0477 |
16,9588 |
18,5913 |
— |
3,4709 |
13,3410 |
14,8730 |
— |
2,2214 |
10,8722 |
12,3967 |
— |
1,5438 |
9,0735 |
10,6268 |
— |
1,1329 |
7,7145 |
0,0156 |
0,0020 |
0,0002 |
0,2500 |
0,1312 |
9,2956 |
— |
0,8663 |
6,6499 |
0,0123 |
0,0014 |
0,0002 |
1,5554 |
0,1722 |
8,2620 |
— |
0,6831 |
5,7995 |
0,1000 |
0,0010 |
0,0001 |
0,3000 |
0,0300 |
7,4365 |
— |
0,5553 |
5,1018 |
я=1С — |
55 с, =114 |
2,9290 |
1,5475 |
1,1968 |
1,0818 |
с ,= |
С2— |
— |
Ъух , = П 4 |
|
=43,5578 |
=26,2266 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ц |
|
|
|
|
т$ ■ |
|
|
|
|
$«б-- |
|
|
|
|
<ЗМ" |
|
|
|
|
тг |
|
|
|
|
яьо- |
|
|
|
|
«з« ■ |
|
|
|
|
&СС-- |
|
|
|
|
«54- |
|
|
|
|
ап-- |
|
|
|
|
а». . |
|
|
|
|
£> |
|
|
|
|
4FSj |
|
|
|
|
' а ж |
|
|
|
|
qjT<y"A? 4s + + + |
т Аз |
-*>Х |
||
|
Рис. 8. |
|
|
|
Согласно (2, 32), имеем |
|
|
|
|
Ух= 7,096+ |
14,69 |
(рис. |
8) |
|
х' |
||||
|
|
|
||
При т —3 по формуле (2, 35) и приложению 2 для yfy по лучим
а „= 114 •0,822823— 43,5578 •4,5040+26,2263 •3,74692=— 1,7794;
аг= — 114 •4,45040+43,5578 •28,5270—26,2266 •25,1978= =74,3551;
а2=114 •3,74692—43,5578 •25,1978+26,2266 •25,4449 =
=—55,53425.
53
Согласно (2, 33), |
имеем |
|
|
|
|
у'х = — 1,7794 + |
74,3651 |
X |
55,53425 |
) |
(рис. 8) |
|
|
|
|
По этой формуле вычислим сумму выровненных значений ор динат
У1= ^ У ^ = П 4
Равенство этих сумм подтверждает правильность вычисления параметров. Для глобальной проверки выпишем систему нор мальных уравнений (2, 31)
Юа0 + 2,929а1 + 1,5475а2 = 114 )
2,929 а0 4- 1,5475 аг 4- 1,1968 |
а, = |
43,5578 |
1,5475 а, + 1,1968 аг + 1,0818 |
а2= |
26,2266 ) |
и подставим в нее значения найденных параметров:
10 •( — 1.7794) + 2,929 •74,3651 + 1,5475 •( — 55,5342) = = 114,032;
2,929-(— 1,7794)4-1,5475-74,3651 4- 1,1968- (—55,5342) =
= 43,2269;
1,5475 •(1,7794) + 1,1968 •74,3651 + 1.0818 •( — 55,5342) =
= 26,1696.
Относительные погрешности будут:
8 |
П 4Д)82114 |
10о% = 0 ,0 0 0 7 % ; |
|
114 |
|
g |
1^56-43^23 . 10о % = 0,007% ; |
|
|
43,56 |
|
g |
26^23-2607_ |
100% = 0 ,02% . |
|
26,23 |
|
Малые относительные погрешности говорят о надежности таб лиц, составленных для определения зависимостей гиперболи ческого типа.
§ 10. Нахождение параметров логарифмической формы связи
Искомая форма имеет вид ух = а04- ailgx |
<2, 36) |
или
Ух = а0+ агх -f- а3\gx . |
(2, 37) |
54
Для определения параметров уравнений (2, 36) и (2, 37) соответственно нужно решить систему двух и трех нормаль ных уравнений. При пг— 2
айп -f-ail>lgx = Еу |
(2, |
38) |
|
a0Elgx: + a ^ lgA )2 = |
|||
Eylgx |
|
||
При m = 3 |
|
|
|
a0n -f- a,Ex -f- a,Elgjc = 'Ey |
(2, 39) |
||
a0Sx 4- ajEx2 + aX xlgx — Exy |
|||
a0Elgx 4- a^Ejclgx 4 a2S(lgx)3 = |
% Igx |
|
|
Определитель системы (2, 38) имеет вид
Л2 = |
п |
Elgx |
(2, 40) |
Elgx |
= aE(lgx)2 ElgxElgx, |
||
|
S(lgx)2 |
|
|
а ее параметры а0 и ai будут |
|
||
~У |
sigx; |
I (3, ---- |
п |
2у |
(2, 41) |
Si/lgArS(lgAT)2 |
21gx |
Slgxy |
|||
|
д2 |
|
|
д2 |
|
Параметры системы (2, 39) вычисляются аналогично. Так как х может принимать последовательные натуральные значения (х=1, 2, ..., п), то на ЭВМ были сформированы обратные мат рицы к матрицам из сумм степеней логарифмов натуральных чисел и сведены в таблицы (см. приложение 3). С помощью этих таблиц можно получить решение систем (2, 38) и (2, 39) соответственно по формулам (2, 42) и (2, 43):
ао = с0Тп — сгт?2 ;
(2, 42)
==г---СоТ21 “Ь ОТ22)
где
с0 = Еу и с2 = Eylgx, a y j
находятся в приложении 3 и
До = |
с07п —Ci4fH2+СаПз ; |
|
|
= |
— С0Т21 ~Ь ciT22— ^аТгз |
■ |
(2,43) |
= |
со7з1 — с27з2+ с27зз |
• |
|
55