Файл: Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.07.2024

Просмотров: 203

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

44 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. II

заранее заданный структурный тип. Именно, если взять процесс вида

l ( t ) = \ i ( s ) d s

( Г El 4(s) N s < оо

6

' о

для которого обновляющий процесс имеет заданный структурный тип (о существовании такого процесса | (t), 0 < t < \ , с любым наперед заданным структурным типом говорилось ранее на стр. 11), и взять орто­ гональный ему стандартный вннеровский процесс

W(i), 0 < t < \

(H(\V)±H(D),

положив

 

 

11(0 = 1(0 + W(t),

o < t < \ ,

 

то семейство Ht(ц),

0 < t <

1,

будет и з о м е т р и ч н о

семейству

U, =

H,(W), 0 <Н <

1

(см. стр. 25).

При

этом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!(0 =

ЛТ1(0,

0 < / < 1 ,

 

где А —- о п е р а т о р

п р о е к т и р о в а н и я на

под­

пространство #(£).

 

 

 

 

 

Вернемся к произвольным семействам подпрост­

ранств Uj

и Ht = AUt, t0 < t < T

(Л — ограниченный

линейный оператор).

 

 

 

 

 

Будем

называть

оператор

А

обратимым,

если

существует ограниченный обратный оператор Д~'. Для операторов такого типа вопрос об изометрич-

ности семейств Ut и Ht =

A Ut, t0< t <

Т, легко ре­

шается в случае, когда U„

t0 < t <

Т, есть дискретная

цепочка подпространств, а именно,

 

 

£ /,=

 

Ф А * , ' .

 

(1.6)

 

 

tk < t

 

 

где tk> k = \ , 2,

. . . , — конечное

или

счетное мно­

жество точек интервала [/0, Т), в которых

Д/е= Utk + o Q

^ f Umo(Utk+k Q Utk) Ф 0.

Структурные типы

dFl (t)> d F 2( t ) > . . . > d f N(t)

§ I]

 

ИЗОМЕТРИЧНЫЕ

СЕМЕЙСТВА

45

такого семейства являются

чисто

дискретными, со

скачками

в точках

tk,

k — l,

2, . ..

Напомним,

что

/7/ (г)=Н<2/»/112,

tQ<

t <

Т, где

Qt — оператор проек­

тирования

на

подпространство

Ut,

а ии

uN—

полная система «циклических» векторов в гильбер­ товом пространстве U, для которых порождаемые

элементами QtUj, tQ< t < Т , подпространства Ut o p t o -

д'

гональиы при различных / = 1, . . . , /V и U = ® U 1

/=■ (см. стр. 40). В рассматриваемом случае цикличе­

ские векторы и{.........uN могут быт выбраны следую­

щим

образом:

l j c kuk], j = 1, . . . , N,

 

iij =

где

tikj, i — 1,

— ортонормировамный базис

в соответствующем -подпространстве Ай= £//й+о 0 Utk

размерности

Nk (Nk<

N),

ukj = 0

при

j > Nk и

Si I2< o o .

 

 

 

 

 

h

семейства

Ut

и Ht =

AUb

t0 < t < T ,

Очевидно,

будут изометричными тогда и только тогда, когда Ht,

/0 < t < Т,

будет чисто

дискретной

цепочкой^со скач­

ками

в тех же самых точках tk, k =

1, 2, . . . ,

причем

 

dim (Я ,*+0© Я ,Й) =

dim (£/,*+«,©£/,*);

 

(1.7)

при

этом

условии,

выбрав

л юб о й

у н и т а р н ы й

о п е р а т о р

X:

 

 

 

 

 

 

 

 

X(Utk+0Q U tk) =

Hik+o Q H tk,

k = l, 2,

. . . ,

будем иметь

Ht — XUt,

t0< t < T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

А — ограниченный

о б р а т и м ы й

оператор

и Ht — AUt,

tQ< t < T .

Поскольку

AUt+0 s

AUt+h =

— Ht+h при всех h >

0, имеем AUt+0 s

(") Ht+h = Ht+Q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h > 0

 

 

Учитывая, что Ut — A~lHt, t0 < t < T , имеем A~lHt+0 £ s Ul+Q, Ht+0^ AUt+0 и в итоге получаем

H1+0 = AUt+0, t0< t < Т. ( 1. 8)

46 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. II

 

Равенство

(1.8)

показывает,

что

семейство

Нь

tQ<

t < Т,

является

дискретной

цепочкой

подпро­

странств и может иметь скачки лишь

в тех

же

точ­

ках

tk, что

н

семейство £/,, t0< t < T ,

поскольку

при

Ut+o — Ui имеем Ht+0 = AUt+0= AU, — Ht.

что

без

 

По поводу

этого

уместно заметить

здесь,

условия обратимости оператора А, вообще говоря,

равенство

(1.8)

может

не выполняться; более того,

что кажется несколько неожиданным

для

о г р а н и ­

ч е н н о г о

оператора А,

может оказаться,

что Д/+0 =

= lim

Ut+k — 0,

тогда

как П1+0=

lim

AUl+h ф О

л-»+

о

 

 

 

л-*+о

 

(ср. с примером на стр. 42).

Покажем, что выполняется условие (1.7). Дей­

ствительно, о б р а т и м ы й

оператор А прямую сумму

подпространств Utk+a = Utk -\- Ак переводит

в

п р я ­

мую

же сумму Htk + Q=

Htk + ААк (точнее,

ни при

каком

и ^ А к элемент х =

Аи не принадлежит

Д /J,

откуда следует, что подпространство

 

 

 

 

Hik+o e t * t k =

( I - P t k) лд ,

 

 

(Р,

означает оператор проектирования на Н,)

имеет

ту

же

размерность, что и

подпространство ЛДА, ко­

торая совпадает для обратимого оператора А с раз­ мерностью подпространства

Ak= v t k+, e u i k.

Таким образом, справедливо следующее предло­ жение.

Пусть

UI,

t0< t < T , — дискретная

цепочка

под­

пространств в

гильбертовом пространстве U и А —

ограниченный

обратимый оператор из

U в гильбер­

тово пространство Н\ тогда семейства \Jt и Ht =

AUt,

t0< t < Т,

изометричны *).

 

 

*) Существует гипотеза о том,

что это верно для о б р а ­

т и м о г о оператора А н в случае

произвольного семейства Ut,

t0< t < T .

 

§2]

НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

47

§ 2. Некоторые модели случайных процессов. Понятие регулярности и проблема факторизации

В дальнейшем нам удобнее будет рассматривать обобщенные случайные процессы. Например, сравни­

вая

«обычный»

процесс

£(/) =

{|гМ}Г>

t0< t < T ,

с некоторым стандартным

процессом

ц (t) =

(тр (г1)}"',

t0< t

< Т ,

можно

ввести обобщенный

процесс (|, и),

и е £/°, на предгильбертовом пространстве U0=

Н° (ц)—

линейной оболочке всех значений

т]г(0>

положив

 

 

(£, и) = Аи,

 

i i ^ U 0,

 

 

(2.1)

где

А — линейный

оператор

из £7°

в #(£),

опреде­

ленный формулой (1.5) (а именно,

Лгр (t) = h (t), i =

= 1,

.. -,

m, tQ< t < T).

 

 

 

 

 

 

 

Представьте, что «наблюдается» некоторый обоб­

щенный случайный процесс

(£, и),

и е

£7°,

опреде­

ленный на некотором подпространстве £7° в гиль­

бертовом пространстве

£7

со

скалярным

произведе­

нием (и, v), и, v е

£7,

в

котором

задано

некоторое

семейство

подпространств

Я?,

to <

t <

Т,

такое, что

к моменту

времени

t «наблюдатель»

располагает

всеми величинами (£, и), и е= £7?. Предположим, что £7° плотно в U ■ U = £7°, и в гильбертовом пространстве задан корреляционный оператор В:

Е (I, u)(l, v) =

(Bu, v),

и, s e

£7°.

 

Обозначим Н,

з а м ы к а н и е

подпространства

всех

величин (£, и),

и <= £/?.

Спрашивается,

при

каких

условиях на корреляционный оператор В семейства Н„

t0 < t < T , и Ut = U°i, t o < t < T , имеют один и тот же тип, точнее, являются изометричными?

Если ввести оператор А, удовлетворяющий условию

А*А = В

(2.2)

(например, можно взять А = В 1!- — положительный квадратный корень из положительного оператора В), то будем иметь

Е (|, и)(£,' v) = (Ви, v) = (Аи, Av), к , в е £7°,

43

РЕГУЛЯРНЫЕПРОЦЕССЫ

[ГЛ. II

откуда видно, ' что изометричными являются

семей­

ства

Ht(Q и AU°t, t o < t < T , и поставленный

выше

вопрос можно переформулировать следующим обра­

зом: при каких условиях на оператор

А будут изо­

метр ичными семейства

 

 

Hi = МА и Ut = U°t, to < t

< Т

(2.3)

(ср. (1.4) и далее)?

Вообще, рассматривая вопрос о типе семейства

подпространств

Я ((£), t0 < t < T ,

возникающих

при

«наблюдении»

обычного

случайного процесса

£(/),

t-Q< t < T ,

или сравнивая

Я, (£),

tQ< t < T , с некото­

рым другим «стандартным» семейством U,, t0 < t

< Г,

в том или ином

гильбертовом пространстве

U,

как

правило,

можно

перейти

к описанной выше

схеме

обобщенного процесса (£, и), и е Я0, гильбертовом пространстве Я с заданным семейством подпространств

U°t, t o < t < T ,

таких, что

Я, (£) совпадает

с замы­

канием

подпространства всех

величин

(£, и),

и е Я?,

a Ut =

U°t,

t0 < t <

Т.

редукцию

для

б е с к о ­

Проведем

эту

простую

н е ч н о м е р н о г о

процесса,

заданного таким обра­

зом,

что

его

компоненты,

обозначаемые

{!(/).*},

t0 < t

<

Т,

отмечены «индексом» , t e R,

где R — сепа­

рабельное. гильбертово пространство со скалярным

произведением

{.v, г/},

х, у е

R. Будем предполагать

при

этом,

что корреляционная функция В (t, s),

tQ<

< t,

s < T,

такого процесса,

определяемая

из

соот­

ношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е {£ (t), х} (g (s), у} =

{В (t, s) х, у},

х, yezR,

(2.4)

является слабо

 

непрерывной

операторной

 

функцией

в R.

 

линейное

пространство

U0 всех

функций

Введем

со значениями в R, являющихся линейными комби­

нациями вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

*

=

6

-

t0<

t < т ,

•

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы