ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 200
Скачиваний: 0
|
Г Л А В А II |
|
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
§ |
1. Изометричные семейства и некоторые примеры |
в |
Пусть Н„ t0 < t < T , — семейство подпространств |
гильбертовом пространстве Я, удовлетворяющее |
условиям (1.1) гл. I. Пусть Ut, tQ< t < T , — другое семейство (в гильбертовом пространстве Я). Будем
называть эти семейства изометричными, |
если суще |
ствует изометрический оператор X из U в Я такой, |
|
что |
(1.1) |
Ht = XU„ tQ< t < T . |
|
Чтобы не вводить новых обозначений, будем счи тать, что Я и U являются замыканием объединения
всех подпространств |
Н„ |
tQ< t |
< Т, и U„ |
t0 < t |
< Т |
||||||
соответственно; |
тогда |
X — у н и т а р н ы й |
оператор, |
||||||||
отображающий U на Я. |
|
проектирования |
на |
Я,, |
|||||||
Обозначим |
Рj |
оператор |
|||||||||
Q, — оператор проектирования |
на U,, t0< t < T . |
Оче |
|||||||||
видно, при условии (1 .1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Pt = |
XQtX ~\ |
t v < t < T , |
|
(1.2) |
||||||
поскольку |
для |
у н и т а р н о г о |
оператора |
X |
вместе |
||||||
с условием |
(1 .1 ) |
выполняется |
также условие |
Ht = |
|||||||
= XUi (где Я(- = |
Я 0 Я (, |
u t = |
U Q U t), |
и |
потому |
||||||
при h е Н, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х ~ '1 к = и 0 |
QiX~'h = |
X~'h, |
XQtX~lh = |
h, |
|
||||||
а при h JL Н , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ~ ' h l U t, |
QtX~'h = |
0, |
|
XQtX~'h — 0. |
|
|
|||||
40 |
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. II |
Возьмем произвольные элементы ии . . . , |
um^ U , |
|
порождающие |
«обновляющий» процесс { |
t0 < |
< t < T , для семейства Uh t0 < t < Т (т. е. подпро странства Uк, порождаемые всеми величинами Qtuk,
iQ< t |
< |
Т, |
ортогональны между собой при различных |
|||
к = |
1, |
. . . , |
N, п U = |
® U,.). Положим Fk(/) = || Qtuk |р, |
||
t0< t < T ; |
к — 1, |
/г=1 |
|
соответствующие |
||
N. Очевидно, |
||||||
элементы хк — Хик, к — 1, |
. . . . N, |
порождают в про |
||||
странстве Я обновляющий процесс |
}Jv, tQ< t < T , |
|||||
точно такого же типа, поскольку |
|
|||||
|
|
|
Plxk = |
XQluk, |
t0< t < T , |
|
откуда видно, что подпространства Hk — XUk (поро ждаемые величинами Ptxk, t0< t < T ) ортогональны между собой и
|| Ptxk||2 = |
|| XQ,uk||2 = |
|| QtukIP - Fk(t), |
t0< t |
< T ; k = |
1, . . ., N. |
Таким образом, для изометрических семейств U„ t0< t < T , и Hit t0< t < Т , обновляющие процессы имеют один и тот же тип.
Верно и обратное утверждение. Действительно, рассматривая «циклические» подпространства Uк и Нк с эквивалентными структурными типами, можно вы брать порождающие элементы uk^ U k и хк е Нк так, чтобы их структурные типы в точности совпадали:
II QiUkIP = |
II Ptxk||= Д *(t), |
k — l, . . . , |
N. |
|||
Пространства |
U = |
N |
|
|
N |
|
® Uk н H = © Нк унитарно изо- |
||||||
|
|
k=I |
С |
всех |
векторных |
функций |
морфны пространству |
||||||
c{t) = [ск(0)f, |
tQ^ |
t < |
Т, |
с компонентами, удовлетво- |
||
ТN
ряющими условию [ V | Ck(t) I2liFk{t) < ОО, в котором
U k = \
§ IT ИЗОМЕТРИЧНЫЕ СЕМЕПСТВА 41
скалярное произведение |
элементов ct (/) = |
(с|Л (/)} и |
||
C2 {t)= |
{c2k{i)}i определено как |
|
||
|
т |
N |
|
|
|
f |
У clk(t)^ JT )d F k(t), |
(1.3) |
|
|
и fc=! |
|
|
|
причем |
при унитарном |
отображении Я, |
U —> С под |
|
пространствам Я, и Ut соответствует подпростран
ство Ct всех функций c(s), |
t0^ t < T , |
из |
простран |
ства'С, таких, что c(s) = = 0 |
при s > t |
(см. |
§ 1 гл. I, |
стр. 1 0 ).
Представьте теперь, что имеются два семейства
подпространств: Ht, |
t0 < t < T , и Ut, t0< t < T , |
свя |
|
занных друг с другом следующим образом: |
|
||
Я, = |
Ж /„ |
t0< t < T , |
(.1.4) |
где А — некоторый линейный оператор из гильбертова пространства U в гильбертово пространство Я. Или представьте еще, что соотношение типа (1.4) связы
вает (незамкнутые) подпространства Я? и Я?:
Я? = ЛЯ?, |
(1.4') |
замыкания которых есть |
|
Я/ = Я?, Я/ = Я?, |
t0< t < T . |
Спрашивается, для каких операторов А можно утвер
ждать, что соответствующие семейства |
Я, |
и U„ |
|
t0< t < Т, |
будут изометрнчны? |
этот |
вопрос |
Чтобы |
пояснить, какое отношение |
||
имеет к теории обновляющих процессов, рассмотрим несколько примеров.
Пусть ц (t) = {г)(- (/)}','\ t0< t < Г,—какой-либо «стан дартный» процесс, для которого известен тип обнов ляющего процесса или даже определены проекторы Q, на подпространства ЯДц), t.0< t < T .
Пусть |
| (t) = Hi |
t0 < t < T , — другой процесс, |
|
который |
мы |
желаем |
сравнить со стандартным про |
цессом г)(t) = |
(т)г (/)}"*, |
t0< t < T . Введем оператор А: |
|
Ai]i(t) = |
li{t), |
i — l , . . . , m , t0 < t < T , (1.5) |
|
42 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. II
и линейно продолжим его на линейную оболочку Н° (ri)
всех |
значений гр (t), i = 1, |
. . . . т , t0< |
t < Т (это воз |
|||
можно, |
например, |
если |
указанные |
значения |
r\i(t) |
|
л и н е й н о независимы). |
Если обозначить Н^ц) ли |
|||||
нейную |
оболочку |
значений ^ (s), / = ! , . . . , m, |
t0 < |
|||
< s |
t, |
то, очевидно, |
|
|
|
|
ля?(л) = я?(!)
и |
____ |
|
___ |
Hi(4) = |
H°t (r\), |
= |
to < t < Т. |
Мы видим, что поставленный выше вопрос в отно шении оператора А и Н, = Ht(Q, Ut= H,{rft озна чает следующее: при каких условиях на оператор А
обновляющий |
процесс для £,((.), t0< t < T , имеет тот |
|
же |
тип, что |
и обновляющий процесс для r|(0 , t0< |
< |
t < Т? |
|
|
Отметим здесь, что для процессов одного и того |
|
же типа важной является задача отыскания соот
ветствующего и з о м е т р и ч е с к о г о |
оператора X: |
Н ,{$ = ХН '{л), ta < t < |
Т |
(см. (1.1)), с помощью которого проекторы Pt на подпространства Н ,(£) могут быть определены по формуле (1 .2 ):
P, = XQ,X~\ t0< t < T .
Рассмотрим несколько примеров, показывающих, что структурный тип может меняться самым неожи данным образом при переходе от семейства подпро
странств |
U„ |
t0< t < T , к семейству |
Ht = AUt, t0 < |
|
< t < T , |
где |
А — о г р а н и ч е н н ы й |
линейный опе |
|
ратор. |
|
|
|
|
Пусть rj (^), |
0 < t < 1, — стандартный |
винеровский |
||
процесс. Как |
известно, |
|
|
|
|
л (О = 2 ■ адр* (0. 0 < / < |
|
1, |
|
где r u = |
J Л (0 фй (/) dt, а фй (it) — sin (k + |
1/2) nt — соб- |
||
|
О |
|
|
|
ственные функции ядра В (s, t) = min (s, t), 0 ^ 5 , / ^ 1.
§ П |
|
|
ИЗОМЕТРНЧНЫЕ |
СЕМЕЙСТВА |
43 |
||||
Пусть |
А — оператор |
проектирования |
|
на |
конечномер |
||||
ное подпространство |
L, |
порожденное |
величинами т]0, |
||||||
г),, |
|
щ (отметим, |
что r\k, |
/г = 0, |
1, |
|
есть орто |
||
гональный базис в пространстве £/ = |
#(£)). Рассмот |
||||||||
рим процесс |
|
П—1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1(0 = |
A r\(t)= 2 |
i№ ( 0 , |
о < / < 1. |
||||
|
|
|
|
4=0 |
|
|
|
|
|
Для любого t > 0 при надлежащем |
выборе точек |
||||||||
0 < 0 |
< |
• • • < t n < t |
матрица {cpfe (tj)} |
будет невырож |
|||||
денной, |
и из |
уравнений |
|
|
|
|
|
||
|
|
Я—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T\kVk{tj) = l(t,), |
/ = 1 , |
|
|
|
||
|
|
4=0 |
|
|
|
|
|
|
|
находим, что величины т]э.........т),^ являются линей
ными комбинациями значений £(0). |
l(tn) и при |
|||||||
надлежат подпространству #,(£). Очевидно, |
|
|||||||
|
|
|
Hfd) = L, |
0 < / < 1 , |
|
|
||
и процесс X (t) = {Л'*, (/)}" с компонентами Xk (t) = |
114- 1, |
|||||||
k = 1, |
. . . , |
п, |
будет обновляющим для I (t), 0 < |
t < 1. |
||||
Таким |
образом, если исходное семейство U, = |
Ht (y]), |
||||||
0 < / < |
1, |
имело |
кратность |
N = 1 |
(обновляющим |
|||
является сам |
процесс г|(0, 0 < |
i < 1, |
со структурным |
|||||
типом |
dt), |
то |
семейство |
Ht= |
AUh 0 < f < l , |
будет |
||
иметь |
кратность М = п, |
а структурным типом |
(крат |
|||||
ности |
М) |
будет |
мера, |
целиком |
сосредоточенная |
|||
в точке t = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Как показывает этот пример, даже для ограни |
||||||||
ченного оператора |
А на |
месте точек непрерывности |
||||||
семейства U, (Ul+0= U t) у нового семейства Ht = AUt
могут появиться «скачки» |
(# /+0 ф Ht). |
|||
Вообще, для простейшего стандартного семейства |
||||
Ui = Н, (г)), 0 < |
t < 1, |
где г](t) — винеровский процесс, |
||
можно указать |
такой |
п р о е к т о р |
А, что семей |
|
ство Ht = AUt, |
0 < / < 1 , |
будет иметь |
произвольный |
|