ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 199
Скачиваний: 0
§ 3] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ |
35 |
можно получить следующее выражение для рассма триваемого стационарного процесса:
|
|
t |
п |
|
Sfc(0 |
= |
J |
/=1 |
(3.12) |
|
|
—00 |
|
|
где |
т |
X л-матричная функция с (f) == {cft} (t)}, |
О, |
|
есть преобразование Фурье матричной функции q?(A) = = {фАу(А)} класса Я 2, удовлетворяющей условию (3.8), а сам стохастический интеграл в правой части вы ражения (3.12) отвечает н е к о р р е л и р о в а н н ы м приращениям
Ч у (*)-Л /(5 )= { ^ = ^ - ф ( Я Г '^ Ф ( Я ) , (3.13)
—оо
/= 1 , . . . , п.
Уточним здесь, что, |
во-первых, |
<р(А,)- 1 есть |
п У т - |
матричная функция, |
о б р а т н а я |
к ф(А.) (т. |
е. про |
изведение ф(А,)- 1 cp (X) |
есть п X «-единичная матрица), |
||
и, во-вторых, для непересекающихся интервалов (s,, г1,)
и (s2,to) величины Л /(0)— Л /^ ) |
и Л/ (0) — Л/ (5г) не" |
коррелированы, причем |
|
Е| Л/(О — Л/(5) \2== t — s, |
/ = 1 , . . . , « , (3.14) |
а величины лй (А) — Л* (si) и Л/(0) — Л /Ы некоррелированы, для л ю б ы х интегралов, если k ф /. Можно рассматривать выражение (3.12) как неупреждающее линейное преобразование /г-мерного обобщенного про
цесса л(/) = (л/ (0 }" типа ^белого шума», переписав
(3.12) в виде
- |
1 ( 0 = J с (t — s) л (s) ds. |
(3.15) |
|
— оо |
|
Обозначим Ht{л) подпространство, порожденное всеми величинами Л /(0— Л/ С5)» / = 1 , . .. , / г, и Q, — оператор проектирования на Я,(т)). Поскольку
Я Д л ) э Я <(|), — o o < t < o o ,
2*
36- . ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. I.
имеют место следующиенеравенства: |
для--любого |
||||
!г > О |
|
|
|
|
|
h |
т |
п |
т |
|
|
J |
- S |
S |
1СЫ (s)-р d s = = S |
Е 111* + /г) - |
(* + Л) I2 < |
о |
f c = l = 1у |
= 1 |
й |
|
|
т
< 2=1 е | ы * + а) - Л £ * (* + а)Р,
а
где Р,, как и раньше, обозначает оператор проекти рования на подпространство #,(£)• Если допустить, что среди матричных функций ср (А.) класса Н2, удо влетворяющих условию (3.8), найдется функция ср°(А), для которой соответствующие приращения r)°(f) — r|°(s),
/ — 1 , . . . , п, дают равенство
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(3.16) |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
то |
матричная |
функция с°(*) = |
- ^ |
| |
еш ц>°(А) rfA |
по от- |
||||
ношению |
ко |
всем |
матричным |
— СО |
|
|
c(t) — |
|||
функциям |
||||||||||
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2^- J еш ф(А)с!А |
будет м а к с и м а л ь н о й |
в том |
|||||||
|
|
— СО |
что |
|
|
|
|
|
|
|
смысле, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
h |
т |
п |
|
|
т |
+/i)-w*+A)p> |
||||
J S 2K/wPds=2 E|^ |
||||||||||
о |
k=\ |
1=1 |
|
|
k=\ |
|
h |
rn |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
> |
\ |
S |
J l \ckl(s)?d s |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
k=] /=1 |
|
|
при всех |
/г^О . Такая функция ф °(А )еЯ 2 действи |
|||||||||
тельно существует и определяется Teivx условием, что она м а к с и м а л ь н а в прямом смысле этого слова:
п |
т |
п |
т |
11ф°(А)||2= 2 |
2 |
|ф^ ( а) | * > 2 |
2 1 ф й/ М1 2 =||ф(А)|р |
k—\ j= l |
k=\ f= l |
||
(3.17)
при всех комплексных А, 1 т А < 0 .
Фактически мы уже описали обновляющий про цесс, задав соответствующие приращения n]°(i) — ri°(s),
'§ 31 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ |
37 |
j — 1, т . Как показывает общая формула (3.14), кратность М обновляющего процесса равна п — рангу спектральной плотности /(Я):
М— п,
ав упорядоченной системе структурных типов
dF[(t)i> . . . > dFM(t) (см. |
(2.4)) |
все dFt (t) |
эквива |
лентны лебеговской мере |
|
|
|
d F){t)~dt, |
/ = 1......... |
М. |
(3.18) |
Несколько иначе обстоит дело, если стационарный процесс I (/) = {£( {t)}"\ — оо < t < оо,' рассматривается лишь на к о н ё ч н о м интервале t0< t < Т (или при
t > t0).
Поясним это на примере одномерного стационар ного процесса £(/) со спектральной плотностью вида
f W = 2n\P(i7.)\2 ’ |
(З Л 9 ) |
П |
|
где |
Р (z) = |
2 Pkzk — полином степени |
п, все корни |
||||
которого |
к=о |
в |
левой полуплоскости |
R e z < 0 |
|||
лежат |
|||||||
(в частности, р0 Ф 0). |
В |
этом случае |
максимальной |
||||
функцией, удовлетворяющей условию (3.8), |
будет |
||||||
|
|
|
ф М — рцх) ■ |
|
|
||
а формула |
(3.13) |
дает |
|
|
|
||
|
|
’ еш —eiXs |
Р (г'Я) dO (Я) = |
|
|
||
й (t) |
1l(s) = |
i% |
|
|
|||
„ш
a |
■ p0 dO (Я) + |
|
n—I
+| ( е ш ^ е ^ ) 5 ] р А+,(/Я)^Ф (Я) =
—oo |
&=0 |
1 |
n—1 |
:P o| Uu)du + |
% PH.l W *>(t)-Zw (s)l- (3-20) |
k = 0
38 |
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. I |
Если это соотношение переписать в дифференциаль ной форме
dr\ (t) = S Pkl{k) (0 dt + pn |
(0, |
A=0 |
|
то легко заметить, что многомерный процесс ( it (t))nir t^ s t0, с компонентами
=k = l .........n,
удовлетворяет системе стохастических дифференциаль ных уравнений типа (3.3), а именно,
dU {t) = |
lk+i(t)dt, |
k = \ .........п — 1 , |
||
|
|
|
|
(3.21) |
» |
= ("ЙГ £ |
w |
dt + |
— dr\ (/). |
|
Pn |
|||
'/;=1
Кроме того, как и в случае общего стационарного процесса, определяемые выражением (3.20) величины
т](/) — г)(^о). t ^ t 0, |
ортогональны к замкнутой |
линей |
|||||
ной оболочке всех значений £(s), |
и, |
в част |
|||||
ности, к величинам |
|
|
|
|
|
||
lk(t0) = |
|
lik- l)(t0), |
k = \ .........п. |
(3.22) |
|||
Таким образом, многомерный процесс (tfc(0}"> |
|||||||
принадлежит к тому типу, |
что был уже рас |
||||||
смотрен нами, и |
|
из |
полученных |
выше результатов |
|||
(см. стр. 33) следует, |
что в рассматриваемом случае |
||||||
о б н о в л я ю щ и м |
для |
[£й(/)}р |
будет процесс |
||||
(Л* (*)}", t > t 0, с компонентами |
|
|
|||||
T)k(t) = |
U ( t o ) , |
k = |
l .........п — 1, |
|
|||
Л» (0 = |
Л (0 — Л (*о) + |
In (to)- |
|
||||
Очевидно, этот же процесс будет |
о б н о в л я ю щ и м |
||||||
и для исходного |
|
стационарного процесса |(/), |
t^to- |
||||