ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 208
Скачиваний: 0
58 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. II
обладает тем свойством, что |
|
|
|||||||
5(Л) ^ = J ] ( Q |
v 4AQ,/)t/,/i = |
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
£ = |
I > • • • > « + 1 . |
( 3 . 5 ) |
|
|
|
|
|
S ( A) U ti = 0, |
|
|
||
а дополнительная |
часть S'(A) — A — S (A), |
|
|||||||
|
|
|
S '{ A ) = |
2 |
bQtkAbQt , |
|
|||
такова, |
что |
|
|
|
ь>1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
у (л)^ = 2(дв,/«.,+,)^ = |
|
|
|||||||
= |
J , ( AQ' / |
Q'»+ . ) t'<) = |
£,V |
i = 0 ........."■ |
<3-6) |
||||
Посмотрим, что дает «операция усечения» 5(Л) |
|||||||||
для |
оператора |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
G — I — В и |
A |
= |
G ( I |
+ G + ), |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
G + = |
2 |
( / |
- |
Q t p Q t j f 1 A Q tkG A Q tr |
( 3 . 7 ) |
||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S ( G - G +) = t Q |
4 (G- G+)AQfj = |
|
|
||||||
|
= i |
f t ,0 |
£ |
(/ - g .,G Q g -' Q,,G AQ,S A ft, = |
|
||||
|
|
|
|
= |
j Q |
« tG ( / - Q ,sGQ,t) - | (3,IGAQ,l , |
|||
а поскольку каждое из подпространств Utkинвариантно относительно операторов I — QtkGQtk, (/ — QtkGQtk)~l и проектор Qtk перестановочен с ними, то
5 (G • G + ) = 2 Q tkG Q ik ( / - Q tkG Q t k) - 1 Q ikG A Q V
$ 3] |
ОДНА ТЕОРЕМА |
О ФАКТОРИЗАЦИИ |
59 |
|||
В итоге получаем |
|
|
|
|
||
S[G (I + |
G+)] = |
S(G) + |
S ( G - G +) = |
|
|
|
= % |
\ 1 + |
Q ikG Q t k ( / - |
a . G Q , , ) - 1] |
Q , f i Ы ) ,„ = |
|
|
Я=з1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= S |
(/ - |
QtkGQtУ |
QtkG &Qtk= |
G+. |
Таким образом, оператор G+ получается «операцией усечения» оператора А = G (/ + G+):
S[G (/ + G+)] = G+.
Легко проверить, что
SM )" = 0 |
(3.8) |
(ср. с (3.5)), и следовательно, спектр усеченного опе
ратора |
G+ — S (А) состоит |
из |
единственной |
точки |
||||
Х — 0, так что оператор ( / + |
G+) является обратимым. |
|||||||
Если |
взять |
G_ = |
S ' (Л) для |
A = |
G{I + G+), то |
будем |
||
иметь |
|
G+ + |
G_ = |
G(/ + |
G+) |
|
||
|
|
|
|
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
(/ - |
G) (/ + |
G+) = |
/ + |
G+ - |
G (/ + |
G+) = |
|
|
|
|
|
|
|
= / + G+ — G+ — G_ = / — G_, |
|||
откуда |
находим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(/ _ |
G) = |
(/ — G_) (/ + G+)"’. |
(3.9) |
||
Подпространства Utk, k = 0, |
1, ..., n -f 1, инвариантны |
|||||||
относительно усеченного оператора G+ = S [G (/ + G+)] |
||||||||
(cm. (3.5)), а следовательно, и относительно опера
торов / -f- G+, (/ + G+)-1. В |
свою очередь, подпро |
|
странства Utk, k = Q, 1 , . . . , и + 1 , |
инвариантны |
|
относительно операторов G_ = |
S' [G (/ + |
G+)] и / — G_ |
(см. (3.6)). Таким образом, соотношение (3.9) дает
нам |
факторизацию оператора В = |
1 — G с помощью |
С+ = |
(/ + G+)~‘ и С _ = / —G_ относительно д и с к р е т |
|
ной ц е п о ч к и Utk, t0< t i < . .. < |
tk + 1 = Г (см. (3.2)). |
|
60 |
|
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
|
|
[ГЛ. U |
|||
Выражение (3.7) для оператора |
G+ = |
Gl+ напоми |
||||||
нает своего |
рода |
интегральную сумму, |
и |
если |
пред |
|||
ставить себе, что |
при все более |
мелком |
разбиении |
|||||
/У= {*о < * 1 |
< |
••• < t , i < t n+i = |
T} |
существует |
пре |
|||
д е л ь н ы й |
оператор G+ — lim |
G+l), |
то его естественно |
|||||
|
|
|
Л - > о о |
|
|
|
|
|
было бы обозначить так, как это сделано в фор муле (3.3). Очевидно, если существует предельный (в смысле сильной сходимости) ограниченный опера
тор G+, такой, |
что / + G+ имеет обратный оператор |
|
С+ — (/ + G+)-1> ' то существует |
также предельный |
|
оператор |
|
|
С_ = |
lim В (/ + G(|l)) = |
В (/ + G-+) |
/I - > со
иравенство В = С_ • С+ дает факторизацию отно
сительно полного |
семейства U(, t0 < t < Т. |
|||
В самом деле, |
всякий элемент и е |
Ut есть предел |
||
элементов U k^U tk при tk—>t — 0, и |
потому |
|||
G+Uk= |
Hm G!J!Wg |
Ut, s U„ G+u = |
lim G+uk s U,, |
|
|
л-»™ |
|
Л |
|
так что |
каждое |
из |
подпространств |
Ut инвариантно |
относительно операторов / + G+, ( / -f-G+)-1. Анало гичные рассуждения применимы к оператору С_ =
= lim |
С{- |
, где |
С(!!) = |
В (/ + G+0 удовлетворяет уело- |
||
«->00 |
|
|
|
|
|
|
вию |
|
Utk для любых tk из соответствующего |
||||
разбиения |
у(,1) == {А < |
*т < '• •. < tn < Т}. |
|
|
||
Покажем теперь, что существует равномерный |
||||||
предел |
lim G+* = |
G+ |
в случае, когда |
|
|
|
|
|
|
|
G = 1 — В |
|
|
есть оператор |
Гильберта — Шмидта |
с |
конечной |
|||
«следовой |
нормой»: |
|
|
|
||
| G |2 = |
Sp G*G = |
2 1| Gup |р = 2 | (Gup, uq) f |
< |
oo (3.10) |
||
|
|
|
P |
P,q |
|
|
(где uu u2, . .. — какой-либо ортонормированный базис в гильбертовом пространстве U), причем, так же как
§ 3] ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ 61
и .операторы- |
G+\ предельный оператор G+ имеет |
||||||||
лишь единственную |
точку |
спектра |
Л = |
0, так -что |
|||||
оператор (/ + G+) будет о б р а т и м ы м . |
.. -< 5^ < |
||||||||
Для любых разбиений у("‘>== {if0 < |
а, < |
||||||||
< sm + 1 < |
т) и |
y(,l) = |
{/0 |
|
.< tn < tn+v=T}, |
таких |
|||
чт0 y<m) s |
у(,,) |
(каждый |
интервал |
разбиения [s,-, s;+1) |
|||||
совпадает |
с |
объединением |
некоторых |
интервалов |
|||||
[t/, tj+ \)), |
разность |
G(+ |
— G+1’ |
можно |
представить |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gw _ G(f |
= | |
(Ftfit, - |
Fsll)Qs in) G AQtj, |
|
|||||
где Fi — (I — QtGQt)~\ a s(j) |
обозначает левый конец |
||||||||
интервала |
из |
разбиения у(т), |
содержащего |
точку |
|||||
(= y(fI> (Si < |
t, < sif | |
при |
s (j) — s^, — см. |
фор |
|||||
мулу (3.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что для любых операторов А{ |
|
||||||||
|
2 |
A,G AQtj |2 = 2 |
1AjG LQ,t f . |
|
(3.11) |
||||
Это равенство легко получить, если выбрать полные
ортонормированные. системы |
в о р т о г о н а л ь н ы х |
|||||||
подпространствах AQ^G = |
Ul j + 10 |
Utj: j = 0, 1, . . . , n, |
||||||
и взять |
их объединение |
|
и2, . .. |
за базис во |
всем |
|||
пространстве |
U. |
Действительно, |
/lyGAQ//ifp = 0 |
при |
||||
j Ф j (р), |
если |
ир (= A Qlj |
, |
откуда |
следует, что |
|
||
|
1 2 |
A j G |
A Q ljU p | 2 = |
2 |
1 A , G A Q i^ p f |
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ^ /G A Q ,,Г = 2 |
2 AjG AQj Up |
|
|
|||||
i |
! \ |
p i |
|
|
1 |
|
|
|
= 2 |
2 \ A j G A Q it Up f |
= |
2 |
[ 2 1 A j G A Q 4 u p f ] = |
|
|||
= ^ \ A j G A Q tjf.