ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 204
Скачиваний: 0
§ п СТРУКТУРНЫЙ ТПП 67
значениями в |
R, |
определив |
скалярное |
произведение |
|||||||
в L2(R) |
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(*, |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у) = |
J {х (Я), у (Я)} dX, |
х, |
y e= L 2 (R). |
|||||||
|
|
—ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (1.1) показывает, что отображение |
|
|
|||||||||
|
{I (/), .V'} |
eiUfH2x, |
х е |
R-, |
— оо < / < |
оо, (1.2) |
|||||
является |
п з о м е т р и е й из |
Я (|) |
в L2 (R). |
Поэтому, |
|||||||
рассматривая |
такие вопросы, как, |
например, |
вопрос |
||||||||
о структуре семейства |
подпространств |
Я, ((f), |
— оо < |
||||||||
< t < |
оо |
(Я, (ё) есть замкнутая |
линейная |
оболочка |
|||||||
всех |
значений |
{£ (s), .v}, х е R-, s ^ i ) , |
можно |
вместо |
|||||||
самого стационарного |
процесса |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(К t), х}, |
х е К ; |
— оо < |
t < |
оо, |
|
|
|||
использовать |
изометричную |
ему |
функциональную |
||||||||
модель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{еш ^ 2х, — о о < Я < о о |, х<= R; — оо <Я < оо,
в гильбертовом пространстве L2{R). В этом смысле семейство Я ,(4), — о о < / < о о , имеет ту же струк туру, что и семейство подпространств
Ht = V easfH2R, — оо < t < оо |
(1.3) |
S |
|
(Я/ есть замкнутая линейная оболочка подпространств
easfH2R s L2 (R), |
|
и т. п. Положим |
|
|
|
Я = |
V |
easf\i2R. |
(1.4) |
|
|
—см < S < со |
|
|
Обозначим Рi оператор проектирования в про |
||||
странстве Я на |
подпространство Я, и Я, — у н и т а р |
|||
ный оператор |
умножения |
на функцию еш |
от Я, |
|
— оо < Я < оо. |
|
|
|
|
Очевидно, |
|
|
|
|
E uHt = |
V е'М.+«)/1/2/г = я „ |
(1.5) |
||
3 *
68 |
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. III |
при всех и, t. Поскольку оператор Е„ унитарный,
также имеем E J i i — Н^+и (где Я/1 = Я © Я * обозна чает ортогональное дополнение к подпространству Я,). Таким образом, для любого элемента л е Я,|+ц имеем
|
Е - их <= Я,, |
PtE_ux = Я_ц.г, |
ЕиР,Е_их = х, |
|
||||
а |
для |
.г е= Ht+u |
|
|
|
|
|
|
|
|
E - ux^H t~, |
|
PtE-ux = |
0, |
EuPtE - ux — О, |
|
|
откуда |
видно, |
что |
произведение |
EaPtE_u совпадает |
||||
с |
проектором |
Р/+„. |
Учитывая, что Е - и = Ей1, |
полу |
||||
чаем следующее |
равенство: |
|
|
|
||||
|
|
Pt+U = |
E uPtEu', |
— о о < ( < о о . |
(1.6) |
|||
Оно, по существу, равносильно условию (1.5), по скольку при всех I, а
Pt+u СEuHl) = |
Ell (Р/Я/Х) = |
О |
|
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
EuH t — Я<+и, |
Я,1 = |
(EuHt) = |
E-uHt+u, |
|
|||
откуда (заменив параметры /, « |
на £ + |
м, — «) полу |
|||||
чаем также, что Я|+„ |
^ ЯнЯ(Х, |
и следовательно, |
|
||||
ЯиЯ*1 = |
я/'+н, |
EuHt = |
Ht+u- |
|
|||
Соотношение (1.6) |
показывает, |
что семейства |
Я, |
||||
ы Я /+и, — оо < t < o o , |
изометричны |
при любом |
и, |
||||
— оо < к .< оо (см. |
§ 1 |
гл. |
II). |
|
|
|
|
Ясно, что если Р, (<) > Р2 W )> |
■ • • |
|
Р,и W — упоря |
||||
доченная система структурных функций для семей
ства проекторов |
Р(, — оо < t < оо, |
то F t(t— u))> |
> Р 2(^— ы)]>- ••• |
F м(* — ы) будет |
аналогичной си |
стемой для семейства Р1+и, |
— оо < / < оо, и поскольку |
|||||
семейства |
Ht и |
Я /+ц, — оо < t < оо, |
изометричны, |
|||
структурные функции F t (f) |
и |
F j(t — и) должны |
быть |
|||
одного и того же типа: |
|
|
|
|
||
dFt (t) ~ |
dFj{t — и), |
/ = 1, . . . , |
М, |
(1.7) |
||
при всех |
ц, — оо < и < оо. |
|
|
|
|
|
§ I] |
СТРУКТУРНЫЙ ТПП |
69 |
Свойство (1.7) обычно называют квазинвариант-
ностью относительно сдвигов. Если рассматривать наши меры dFj{i) лишь на прямой — оо < t < оо (без
точки t0 = — °°)> то, как известно, при условии квазиинвариантности
dF j(t) ~ |
dt |
(1.8) |
(отметим, что значение Fl (t0) = |
Iim Fj(t) может быть |
|
положительным). |
—00 |
|
|
простое |
|
Для удобства читателя приведем здесь |
||
доказательство того, что всякая квазиинварпантная мера ц эквивалентна лебеговой мере. Если взять свертку ограниченной квазипнвариантной меры р с гауссовским распределением Р, имеющим плотность
р(0 = |
__1_ е~‘г/2, то |
окажется, что |
|
/ t o |
|
|
|
|
р * Р (Д) = |
| р (Д — t) р (t) dt — O |
|
тогда и только тогда, |
когда р(Д)== 0, т. е. что р * Р ~ р . |
||
Но свертка р * |
Р имеет преобразование Фурье вида |
||
сp(X)e~vl2, где |
ф(Я.) — преобразование Фурье ограни |
||
ченной |
меры р, |
а следовательно, р * Р имеет гладкую |
|
плотность, которая совпадает с обратным преобразо ванием Фурье функции с р ( Я ) —оо <Л< оо. По скольку мера р Р является также квазнинвариантной, то ее (гладкая) плотность не должна обращаться в О ни на каком интервале, откуда следует, что эта плотность положительна почти всюду.
Напомним, что в свое время мы приняли за стан
дарт структурный |
тип |
семейства подпространств |
|||||
Ut — b] (Rm), — оо < |
t < |
оо, |
в функциональном |
про |
|||
странстве U = |
L2(RM), где |
RM— некоторое |
гильбер |
||||
тово пространство размерности М (Д?(Дм) |
есть |
под |
|||||
пространство всех |
функций |
и (s), |
—оо < s < оо, из |
||||
L4R M), обращающихся в 0 |
при s > /). |
|
типе |
||||
Остановимся |
подробнее |
на |
структурном |
||||
семейства подпространств Ut = L*{R m), — оо < t < оо. Обозначим Qt проекторы на Ut. Функция u(s),
— оо < s < оо, как элемент гильбертова пространства
70 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. ПГ
Ut — L2(RM), |
имеет |
своей |
структурной |
функцией |
||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
F (t) = |
С|| и (s) |f ds, |
— сх> < |
t < |
оо. |
Таким |
образом, |
||
всякий |
— со |
|
U такой, |
что |
»(s)= £ 0 |
почти |
||
элемент и е |
||||||||
всюду, |
имеет |
м а к с и м а л ь н ы й |
лебеговский |
тип: |
||||
d F (t)~ d t. |
Очевидно, |
элементы |
|
|
|
|||
U j(s) — С (s) X/, |
— оо < s |
< оо; |
/ = 1 |
, . . . , |
М |
|||
(где числовая функция c(s), |
— оо < |
s < |
оо, интегри |
|||||
руема в |
квадрате |
и |
почти |
всюду |
отлична |
от 0, |
||
а а'1( |
. . . , |
хм — ортонормированный |
базис в гильбер |
|||||
товом пространстве RA!), образуют максимальную |
||||||||
систему в L2(RM) с максимальным структурным ти |
||||||||
пом |
(см. |
§ 2 гл. I). |
|
В частности, |
соответствующая |
|||
кратность М совпадает с размерностью простран
ства RM. |
|
|
|
(1.8) |
семейство |
Н„ |
— оо < |
|||||
В |
силу соотношения |
|||||||||||
< t < |
оо, |
имеет тот |
же |
структурный |
тип, |
что и се |
||||||
мейство U t-Lt(R M ), |
— оо < t < |
оо, |
тогда |
и |
только |
|||||||
тогда, |
когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
^ = n |
[ V |
^ № |
] = |
° |
|
|
(1.9) |
||
(что равносильно условию Ft (/0) = |
0 в точке t0 = — оо |
|||||||||||
для всех |
j — 1, |
.. ., М). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обратимся |
теперь |
к самому стационарному про |
||||||||||
цессу |
£(/), — оо < / < |
оо. Следуя ранее предложен |
||||||||||
ному определению регулярности |
(см. стр. 52), назовем |
|||||||||||
процесс | (/), — оо < t < |
оо, |
регулярным, |
если |
семей |
||||||||
ство |
|
— оо < ; < |
оо, изометрично «стандартному» |
|||||||||
семейству Ut — L2t (Rm), — оо < t < |
оо. Выше мы полу |
|||||||||||
чили фактически следующий результат. |
| (t),— оо < |
|||||||||||
Т е о р е м а . Стационарный |
процесс |
|||||||||||
< ^ < |
оо, |
регулярен |
тогда |
и |
только тогда, |
когда |
||||||
выполняется условие