ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 207
Скачиваний: 0
62 |
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. II |
Кроме того, для любых ограниченных Ль Л2 спра ведливы следующие соотношения:
| Л^ЛаР = 2 I (Л,ОЛ2«р1 и,)р =
р. ч
= li\{AlG A\uq, « Р)|2 = |Л ^Л Г |2
р. ч
и
|Л.ОЛ2|2= 2 || Л 1ОЛ2«р||2<
р
< IIЛ , 1Г- • 2 II ga2upip= II л , I M ол 21 =
р
= ц л, ||2 - |л ; о |2< ||л ,|р - || Л5 IF • IG I2 =
= ||Л1||2 -||Л2|р .|С |2. (ЗЛ 2)
Используя соотношения (ЗЛ1), (ЗЛ2), легко полу
чаем, |
что |
| G+1- |
G(+m)|2= 2 | {F4Q4 - FsU)QsU)) G AQtj f = |
= |
S |
|(F t-F sU )) Qs (j)G AQtj-\-F tj ((Ъ - Q s (/>)G AQtj |2< |
|||||||||
|
|
< 2 2 |
( |
(FtJII |
— FsU)) f IQI s |
(/ 21, IG AQtj |2 + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
\\Flj\f\AQs{j)GAQljf, |
||
где AQs(l) = |
Qt —Qs(I) (s (/')<//). Поскольку ||Qi(/)||= l |
||||||||||
и |
Ц/7, |
||<1 |
y ~ ~ |
(см. неравенство (3.4)), имеем |
|||||||
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
I g£> - |
o r |
I2 < |
2 2 |
\\F4 - |
Fs (/) f |
| G ДQ,,12 + |
|||||
|
|
|
|
|
/=1 |
|
ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
T T |
^ S l A^ ( / ) GA^ / l 2- <3-13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
/=■ |
|
|
|
= |
Согласно |
общей |
формуле (3.11) |
функция X(At) = |
|||||||
|GAQ/|2 |
на |
полуинтервалах |
Д/ = |
[/, |
s) является |
||||||
аддитивной. |
Выбрав |
собственный для |
оператора G |
||||||||
§3] |
ОДНА ТЕОРЕМА О |
ФАКТОРИЗАЦИИ |
63 |
ортонормированный базис |
ии и2, . .. |
\Gup = Kpup, |
|
2 ^ р < |
ooV имеем |
|
|
р'
IG W tР = |
| AQfi Р = S |
II AQtGup |р = |
|
|
||
|
|
Р |
|
|
|
|
|
= |
2 a*||AQ,up||2->0 при |
t- + s, |
(3.14) |
||
|
|
р |
|
|
|
|
поскольку |
проекторы |
Qs |
непрерывны |
слева: |
A Q ,= |
|
= Qs — Qt—>0 |
при t- + s, |
и для любого фиксирован |
||||
ного элемента |
u ^ U |
его проекция |
AQ(« на под |
|||
пространство |
AUt — USQ Ut такова, |
что || AQ^« ||—> 0. |
Таким образом, |
|
|
|
A(A0 = |GAQ,P |
|
является не |
только аддитивной, но |
и непрерывной |
функцией множеств At = [t, s) и, следовательно, может быть продолжена до ограниченной борелевской меры
на интервале [£0, Т).
Очевидно, такими же свойствами обладает и функ
ция множеств |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ц (As X АО = |
| AQSG AQ, р, |
|
|
||||
определенная на прямоугольниках |
AsXA ^ = |
[s!, s2)X |
||||||||
Х[0> 0); именно, |
из общей формулы (3.11) вытекает, |
|||||||||
что |
h (As XA/) аддитивна, |
а из |
оценки (3.14) — что |
|||||||
она |
непрерывна, |
и следовательно, |
продолжается до |
|||||||
ограниченной |
борелевской |
меры на квадрате |
[70> Г)Х |
|||||||
X to. п |
|
f(t) |
= |
ц {[to, t) |
X [f0, 0). |
|
„ |
„ |
||
Положим |
t0 < t < T . |
Для |
||||||||
операторов |
Ft = |
{I — Q,GQt)~l имеем |
|
|
|
|||||
|
|
|
FT1— FT' = QSGQS — QtGQ„ |
|
|
|||||
|
\FT' - F r l f = f ( t ) - f { s ) , |
|
|
|
||||||
IF , - F 3f = |
\Ft (FT1- F F ') F s \2< |
|
|
|
|
|||||
|
|
< T r h r |
\ F° l ~ |
F tI2= |
Tr=TFF[f |
— / («}]. |
||||
Видно, что |
первый |
член в |
правой |
части неравенства |
||||||
64 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. II
(3.13) удовлетворяет условию
П
ТуTYllf(t,)-f(s(j))] =
/= 1 |
/=I |
|
|
([ _ry Uп |
1т)> |
' т |
п |
|
где /,„ = S f (s (0)А, /и = |
S / (0)я (АО) есть |
«лев0‘ |
i=0 |
/=о |
|
интегральные суммы» для неубывающей функции f(t),t0< t < T . Очевидно, последовательность интег ральных сумм п = 1,2, .. ., является ограниченной и неубывающей (при все более мелких разбиениях),
так |
что существует Пт /„ |
и, |
следовательно, при |
||||
т , |
/г —> оо |
|
П-¥оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ъ 1F4 - л m ГI |
I* « |
Т г Д й <'» - |
Щ -> О- |
|||
|
/= 1 |
введем |
множество |
|
|
|
|
|
Далее, |
|
|
|
|||
|
|
Дл = |
{s, |
s < |
/ < |
s + /г). |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
Очевидно, |
объединение |
и [s(j),tj)X [tj, |
ti+i) содер- |
||||
/=|
жится в Дл при/г = max| s,-+1 — s, |, когда 0+i — s (/)<//.
Следовательно, для второй суммы в правой части не равенства (3.13) справедлива оценка
|
2 | AQS U)G &Qtj |2 < ц (ДА) -> 0 |
при /г -> 0. |
|||||||
Из полученных оценок вытекает, |
что для последо |
||||||||
вательности |
вложенных друг в друга разоиении у<") |
||||||||
п = |
1, 2, . ., |
соответствующие операторы |
Мп) |
таковы, |
|||||
G+ |
|
||||||||
что |
Ig! ^—■ Gj"1* |2 > 0 при |
п, |
т —.> оо, |
|
и |
следова |
|||
тельно, существует предельный оператор |
G+: |
|
|||||||
|
| G^’ — G+ |я -> 0 |
при |
п -> о о. |
|
|
(3.15) |
|||
Нам осталось показать, что предельный опера |
|||||||||
тор |
G+ имеет, как и операторы |
G{+ = |
S (G |
|
G{+)) |
||||
(см. |
(3.8)), единственную точку спектра |
А = |
0. |
||||||
J 3 ] |
ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ |
6 5 |
Являясь |
вполне непрерывным оператором (н даже |
|
оператором |
Гильберта — Шмидта), G+ может |
иметь |
лишь не более счетного числа точек спектра, причем предельной для них может быть лишь точка Я= 0. Таким образом, всякая точка ЯФ 0 имеет окрест ность, за вычетом Яцеликом принадлежащую резоль вентному множеству оператора G+, и на любом замкнутом контуре Г этой окрестности определена
резольвента |
Rz = |
(G+ — zl)~l, |
которая непрерывна и |
|
ограничена |
на Г. |
При условии |
р а в н о м е р н о й схо |
|
димости G+'1—>G |
для всех достаточно больших п |
|||
R f = (g!? - |
zl)~' = Rz[l — Rz (G+ - |
G f)}~1= |
||
|
|
|
= |
fc=0 Rz(G+ — G{+ )k |
и Rzl)—> Rz |
при n —> оо равномерно |
по г е Г , так что |
||
f zkRz dz — lim [ zkR{ ) dz — 0 при всех /г^О ,
поскольку единственной особой точкой аналитических
функций |
Rzl) является |
2 = 0 и J zkR{z)dz = 0. Таким |
|
J zkRzdz = 0, |
г |
образом, |
что означает аналитичность Rz |
г
в точке Я. Следовательно, единственной точкой спек
тра оператора G+ |
является Я= 0. |
|
|
|
||
В итоге мы установили, что положительный обра |
||||||
тимый оператор |
B = I — G, |
где |
G есть |
оператор |
||
Гильберта — Шмидта (см. |
условие (3.10)), |
допускает |
||||
представление В = |
С _ -С + |
типа (3.2); в качестве С+ |
||||
можно взять оператор С+ = |
(/ + |
С+)-1, где G+ = |
lim G+* |
|||
есть предел по «следовой |
норме» |
операторов |
Гиль |
|||
берта — Шмидта G+l), определенных формулой (3.7). Отсюда, как уже отмечалось, вытекает возможность факторизации относительного любого семейства под пространств Ut, tQ< t < 7’.
3 Ю. А. Розанов
|
|
|
|
Г Л А В А |
|
III |
|
|
|
|
|
|
РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
||||||||||||
|
|
§ 1. Структурный тип регулярного |
|
|
||||||||
|
|
|
стационарного |
процесса |
|
|
|
|||||
|
Обратимся к описанной ранее модели стационар |
|||||||||||
ного |
процесса |
£(/), — о о < /!< о о , со |
стационарно |
|||||||||
связанными |
компонентами |
|
(t), |
л}, |
х е |
R, |
каждая |
|||||
из |
которых |
соответствует |
некоторому |
х е |
R, |
где |
||||||
R — сепарабельное гильбертово пространство |
со ска |
|||||||||||
лярным произведением |
{л\ у}, |
.v, |
у е |
R. |
Будем |
счи |
||||||
тать, |
что |
существует |
спектральная |
плотность |
|
|||||||
— оо < Я < оо, |
— измеримая |
|
операторная |
функция |
||||||||
в |
гильбертовом |
пространстве |
R |
(при |
фиксирован |
|||||||
ном Я представляющая собой положительный опера тор в R) такая, что
|
|
оо |
|
|
|
Е й (*).*} |
■ {!(*), у } = |
j |
е * |
у] dk = |
|
|
|' e W - *> {ffx ,flfy }c lK |
x .y m R , |
(1.1) |
||
где /[/2 обозначает |
«квадратный корень» из fh, |
точ |
|||
нее, f'ji2, |
— оо < Я< оо, — операторная функция, удо |
||||
влетворяющая условию |
— |
|
|
||
Введем гильбертово пространство L2(R) интегри руемых в квадрате функций .с(Я), —оо < Я< со, со