Файл: Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.07.2024

Просмотров: 176

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

104

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. IV

пространство Н (f), а

разность

/ — А'А — оператор

Гильберта — Шмидта *)•

или иных

условиях

 

Прежде чем говорить о тех

эквивалентности, покажем, что всякий оператор Гиль­ берта— Шмидта в функциональном пространстве L2 (R) в некотором смысле есть «ядро» — факт, хорошо известный в конечномерном случае d im /?< o o .

Обратимся к гильбертову пространству S 2{R) всех операторов Гильберта — Шмидта в гильбертовом про­

странстве

R, определив скалярное произведение <р,

i ji e S j

(R)

как

 

{qp, ф} =

S рф’ф= У, {феА, фе*} =

 

 

 

к

 

 

 

= 2{ф е*. е/}{фе/г, еу},

(2.4)

 

 

k, I

 

где еи е2, . . . — ортонормированиый базис в R. Хо­ рошо известно, что стоящие в правой части равен­ ства (2.4) суммы не зависят от выбора ортонормированного базиса в R и что пространство 52(R) яв­ ляется полным относительно «следовой нормы»:

I ф|2 = Sp Ф*Ф= 2 II <рек |р = 2 | {фбь e j р.

кк. I

Рассмотрим пространство всех измеримых опера­

торных функций ф (Л, ц),

— оо < X, ц <

оо, в

гиль-

*) Отметим, что излагаемые ниже методы

и результаты

легко распространяются на операторные функции

и

«мед­

ленного роста»:

 

 

 

ОО

СО

 

 

J 1яП2л1f\WdX < °°'

J |Я|-2П||^|ИЯ<С0

 

при каком-либо п > 0, что соответствует случаю обобщенных стационарных процессов и процессов со стационарными при­ ращениями. В,место исходных функций х (Я) типа (2.1) нужно

лишь взять функции

Т

х (X) = J еШ с (0 dt,

^0

являющиеся преобразованием Фурье достаточно гладких функ­ ций с (/), — оо < / < оо, обращающихся в 0 вне интервала (/о, Т).

§ 21

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

105

бертовом пространстве R, удовлетворяющих условию

оооо

Ф(Я, ц) е 52{R) и [ [ |ф(Я, ц)|2dK ф. < оо, (2.5)

—ОО —00

определив в нем скалярное произведение формулой

оооо

(ф, ф ) = | J {ф(Я, ц), ф(Я, ]i)}dhd\i. (2.6)

— оо — оо

Это будет полное гильбертово пространство; обозна­

чим его L2(R yiR ).

 

 

L2 {R X R)

 

Примером операторной функции ф(Я, ц) е

может служить функция

 

 

 

ф(Я, ц) = х0 (Я) X г/оМ> — оо < Л, р. < оо,

определенная соотношениями

 

 

 

ф(Я, ц)х = х0(Я) • {z/оЫ , х},

xe=R ,

(2.7)

где

А'о(Я),

у0(Ъ) L2(R). Действительно,

 

| Ф (Я, ц) \2=

|| * 0(Л) |f S i

{Vo(И), ек) f =

II лс0(Л.) If ■II VoM IP

 

 

k

 

 

 

И

 

 

 

 

 

оо

оо

 

оо

оо

 

J

[ | ф (Я, ц) |2 dX dy, =

J IUoWIP dx' J II г/oWlf ф .

— со

— оо

♦

— оо

— оо

 

Если a'j (Я), х2(1), . .. — некоторая ортонормированная система в функциональном пространстве L2(R), то система операторных функций

Фа/(Л, ц) = * а(Я) X-V/(,u), k , } = 1,2,..., (2.8)

будет ортонормированной в пространстве L2(R.~X, R),. поскольку'

{ф#/(*■»■.Н;)> Фр<7.(^ И)} =

={Xi (Я), Хр (Я,)} s {X , (ц), ек) ■ {xq (ц), ек) =

=[xl (Я), хв (Я)} • (хДц), л-„ (ц)}

106 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV

И

СО

 

(ф//> Фр(?)

| {ф|/ (А.,- ц), Фpq (Я, ц)} dk dii =

= [

{.v; (Я,), хр(Я)} dX • J {х/ (ц), xq(ц)} dn = 0

— со

— со

при / ф р или / Ф q.

Более того, используя тот факт, что всякий опе­ ратор Гильберта — Шмидта есть предел по следовой норме «конечномерных» операторов *), можно пока­

зать, что если

оргонормнрованная система функций

.v, (Я), х2(Я), . ..

п о л н а

в L2(R),

то соответствующая

система

операторных

функций

q>k j(Я, ц) = хк (Я) X

X Xj (ц),

/г, / =

1,2, . . . ,

будет

п о л н о й ортонормн-

рованной

системой в

пространстве L2{R y s R) (это

предложение нам не понадобится, и его доказатель­ ство мы опускаем).

Те о р е м а . Всякий оператор Гильберта — Шмидта

вфункциональном пространстве L2 (R) задается не­

которым ядром ср(Я, ц) e

i 2(/(X

R)-

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

F — некоторый опе­

ратор Гильберта — Шмидта (в

некотором

подпрост­

ранстве / / s L 2(/?)). Это

значит, что

 

S l ( / ?.v4,.r/)P < c o

(2.9)

k. i

 

 

 

для полной ортонориированной системы функций xk =

= xk{X),

k = l , 2 .........

в пространстве

H ^ L 2(R).

Возьмем

ортонормированную

систему

операторных

функций

 

 

 

 

фkj (Я, ц) = xk(Я) X

х, (ц),

k, } = 1,2, . . . .

и положим

 

 

 

 

Ф (Я, р) =

2]йАуфА/(Я) ц),

 

*) См., например, книгу Н. Д а н ф о р д а и Дж. Ш в а р ц а , Линейные операторы. Спектральная теория, М., нзд-во «Мир»,

J966.

§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ Ю7

где коэффициентами служат

b kj = ( F x k, х ,), 2 i bkj р < оо.

к, i

Ясно, что ф(А, ц) есть элемент (полного) функцио­

нального

пространства L2{R X R )'

При

всех

к, j и р

фkj (А, и) -'р (ц) == хк (^) ‘ {Х/ (мО> Хр (М1)} ^

н

и

 

 

 

 

 

оо

 

хк (А)

при

j =

р,

[

Фй/ (А, ,ч) Хр (l-1) dil =

О

при

'1Фр.

— оо

 

 

 

 

 

 

Легко видеть, что операторная функция ф(А, ц) обладает следующим свойством: для всякой функ­

ции х (А) =

2

о.рХр(А)

( 2 |

ар |2 < °о) из пространства

Н <= L2 (R)

р

 

\ р

 

/

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

У] Cfe.v-p (А),

 

J

ф (х, р) X (р) dp =

 

—оо

 

 

k

 

где

 

 

 

 

 

 

с* = 2

Ярйрй, 2

1с* Р <

2

I «р Р • 2

1ьк,12 < оо.

р

 

fe

 

Р

к,

j

Можно сказать, что оператор Ф, определенный в про­

странстве

L2(R)

равенством

 

 

 

 

фх (я,) = 2

скхк (A)

(х (А) = 2

а/Х, (А)),

задается

ядром

ф(А,

p ) ^ L 2(R X R ),

и этот

опера­

тор Ф совпадает с исходным оператором F, поскольку

Fx (А) = 2

ai ■ Fxi М =

2 ai 2

(Fxl’

Хк М =

 

1

 

 

/

*

 

 

 

 

=

2 ( 2

/

aibik\ Хк(А) = 2

ckXk W-

 

 

 

к \

)

к

 

Итак, мы показали, что всякий оператор F типа Гильберта — Шмидта в функциональном пространстве

168

 

 

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ

СЛУЧАПНЬ'ГЕ

ЙРОЦЕСбЫ

ГТЛ. IV

Н ^

L2 (R)

задается

некоторым

ядром <р (Я,, р.) е

e

i 2(^ X ^ )>

в именно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЙО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F x (X )~

j" ф (Я, p),v(p)dp.

 

(2.10)

В

свою

очередь,

как

легко

видеть,

всякое

ядро

ф(Я, p ) g

L2( ^ X ^ )

задает

некоторый

оператор F

типа

Гильберта — Шмидта

в

пространстве

L'2(R),

причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оосо

|Г |2= S р = j J |ф(Я, ц)|24 Я ф .

(2.11)

В дальнейшем нам понадобятся еще некоторые свойства преобразования Фурье операторных функ­ ций ф(Я, р) е L2(R X R), определенного равенством

оо оо

b(s, t ) = J [ е~‘

ф (Я,, jli) dk dp,

(2.12)

—ОО —00

 

 

— оо < s; / <

оо.

 

В случае интегрируемой функции |ф (Я, р) J это

обычный интеграл от функции со значениями

в се­

парабельном гильбертовом пространстве S 2(R).

В об­

щем случае преобразование (2.12) можно определить в смысле слабой сходимости. Именно, если выбрать какой-либо ортонормированный базис еи еъ ... в гиль­ бертовом пространстве R и рассмотреть обычное преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций {ф (Я, р)<?ь et), обозначив его {b(s, t)ek, <?,},

то

окажется,

что для любых линейных комбинаций

л' =

2 ^ е й, y = y i c"ej

функция

 

[b (s,

t) х, у) =

2 с'кс"

[b (s, t) ек,

совпадает с

преобразованием

Фурье {ф(Я, ц) а-, у),

и потому мы можем рассматривать это преобра­ зование как билинейный функционал на всюду плот-

Смотрите также файлы