ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 0
§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ II ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ |
21 |
и 4 = |
J |
dW'k(t), k = \ .......Л |
|
|
= |
|
t0< t < T ) |
||||
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
- |
Как |
|
в пространстве Я со структурным типом dG(f). |
|||||||||||
было установлено выше (в |
случае |
L = |
H), |
имеет |
|||||||
место |
неравенство а ^ т . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вернемся к обновляющему процессу X(/) = {X/ (^)}f, |
|||||||||||
/0 < / < |
Т, |
с |
упорядоченными |
структурными |
функ |
||||||
циями Fj{t) = |
Е| Xj (/) h |
t0 < t < T |
(см. (2.4)). |
|
|||||||
Пусть Y (0 = {Yк (0)Г> |
t0< t |
< |
Т , — некоторый про |
||||||||
цесс |
с |
некоррелированными |
компонентами |
вида |
|||||||
Yk{t) = |
|
P/tjk, |
t0< t < T , |
структурные |
функции кото |
||||||
рого Gk{t) = |
Е] Yk{t) f, t0< t |
< Т , |
также упорядочены: |
||||||||
|
|
|
d G ,[t)>d G 2> . . . |
> d G N{t). |
|
|
|||||
Л е м м а |
2. |
Имеют место следующие соотношения: |
|||||||||
|
|
|
|
N < |
М, |
|
|
|
|
|
|
|
|
dGk(t)< d F k(t), |
k = |
\, . . . , N. |
|
{2J) |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Предположим, |
что |
неко |
||||||||
торая мера dGn(t) не является подчиненной соответ
ствующей мере dFn(t). Тогда существует |
не ну |
л е в а я мера do(t), подчиненная dGn(t) и |
ортого |
нальная dFn(t). Поскольку меры dFj(t) при j^ - n подчинены dFn(t), все они будут ортогональны do(t). С другой стороны, da{t) подчинена максимальному
структурному |
типу dF\{i) |
и, вообще, каким-то dFj(t), |
|||||
1 |
^ т , |
где число т |
всех таких структурных типов |
||||
из |
последовательности |
dF{ [t) )> dF2(/) )> . . . |
строго |
||||
меньше п. Если хи х2, |
. . . , |
хм — элементы, |
поро |
||||
ждающие |
обновляющий |
процесс X (/) = [Xj (^)}^' |
|||||
[Xj{t) — PtXj, |
t0 < t < T ) , |
то, |
учитывая структуру |
||||
ортогональных подпространств Я (хк) (см. (2.1), (2.2)),
легко понять, что элементы 2 / = J dXj(t), j = 1,..., in,
д
где А— носитель меры do(t), образуют максимальную систему в Я (£) со спектральным типом da[t). Соот
22 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. I
ветствующие элементы z' = [ d.Yk(t), k = l, |
п, |
к |
|
также образуют систему со спектральным типом da{t), причем п > т , что противоречит неравенству (2.6) леммы 1. Следовательно, на самом деле мера dG,,,(t) подчинена dFn(t) при любом п. Фактически доказано также, что N ^ М.
Добавим здесь, что если рассматриваемый про
цесс |
Y (0 = {1Д |
, |
t0 < t < Т, сам является о б н о |
||||
в л я ю щ и м : |
Hl (Y) = |
Ht{|), |
t0< t < T , |
то |
процессы |
||
Y (t) |
и X (t), фигурирующие в лемме 2, можно поме |
||||||
нять |
местами, |
и в |
этом случае вместо «неравенств» |
||||
(2.7) |
будем иметь N = |
М, d G j(t)~ d F { (t), |
j = |
1,..., N |
|||
(см. указанные ранее соотношения (2.5)). |
|
|
|||||
П р и м е р . |
Пусть I (/) = |
{£, (/)}'", t0< t < T , — про |
|||||
извольный процесс с некоррелированными прираще ниями. Предположим, что заданы
Fii(t) = E li(t)lj{t), i , j = 1 , . . . , m.
Найдем соответствующие структурные типы dF, (t) > .
, . . ' ^ d F M(t). Очевидно, максимальным типом будет
ГП
где строго -положительные стр . . . . ujn выбраны так,
чтобы функция yjo\Fkk(t) была ограниченной. Вместо
к
самих структурных типов dF} (t) можно указать плот ности fi(t) = dFj(t)/dF*(t) или множества
Д/ = {*; f / W > 0}
— носители мер dFj(t), ваемом случае носители А/
тившись к матричной функции с компонентами
dFu {t) |
а/> |
fij (t) = СГ; d f |
молено |
В рассматри |
||
описать, обра |
|||
f (/) = |
{/// (0Ь |
t0< t < T , |
|
i, j = |
1, |
• • •, |
m. |
§ 21 |
СТРУКТУРНЫЕ |
ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ |
23 |
|||||||
Именно, если |
Я, (t) > |
Я2 (t) > . . . |
> |
Я,н (t) — упорядо |
||||||
ченная система |
всех |
н е н у л е в ы х |
собственных |
зна |
||||||
чений матричной функции f(t), то |
|
|
|
|
||||||
|
д у = {/; |
Kj (/) > 0}, |
j = |
l .........М. |
|
|
||||
Соответствующий |
обновляющий |
|
процесс |
X (t) = |
||||||
= {Xj (0)м to < t < T , |
с упорядоченными структурными |
|||||||||
типами может быть |
получен как |
|
|
|
|
|
||||
|
t |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х ! W = \ S a lu ij (s ) d h (s )> |
|
/ = 1 > ■ • • > М > |
|
||||||
|
ta |
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ii{t) = {uij O'))— унитарное |
преобразование, |
при |
|||||||
водящее положительную матрицу f (t) = |
[f^ (i)} |
к диа |
||||||||
гональному виду |
(с |
элементами |
Я, (/) ^ |
^ |
Яж (t), |
|||||
%k(t) = 0 при М < k ^ n , на главной диагонали). |
|
|||||||||
|
2. Подчиненные процессы. Рассмотрим пару про |
|||||||||
цессов: l ( t ) = { h ( t ) } ? |
и ti(0 = |
(Лй(О)Г- |
Говорят, |
что |
||||||
процесс г|(/) может быть получен из процесса £(/)
неупреждающим |
(линейным) преобразованием, если |
||
Я, (Л) s |
t0 < ( < Т . |
(2.8) |
|
Обозначим Я, (г|)х ортогональное дополнение в п р о- |
|||
с т р а н с т в е Я (л) к подпространству Я, (л); |
Я, (л)1 — |
||
= Я (л)© Я, (л). |
Аналогично, |
Я,(£)х = Я ( QQH, (|). |
|
Будем говорить, |
что процесс л (0 подчинен |
процессу |
|
1(1), если |
|
|
|
Я,(л)<= Я ,(|) |
и Я,(л)Х ^ Я , Ш \ t0< t |
< Т. (2.9) |
|
Второе из соотношений (2.9) означает, что всякая
величина г /еЯ (л ), |
ортогональная подпространству |
Я,(л), должна быть |
также ортогональна и б о л е е |
ш и р о к о м у подпространству Я, (|).
Рассмотрим два важных примера подчиненных процессов.
24 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. I
П р и м е р |
(каноническое представление). Пусть |
|||||||
| (/) = {£,• |
t0< t < T , |
— процесс |
с |
некоррелиро |
||||
ванными приращениями и |
|
|
|
|
|
|||
1ft (0 = |
t |
m |
s) dh |
|
|
|
|
|
J |
У] Ckj {t, |
(s), |
t0< |
t < |
T; |
|||
|
t. |
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
li = |
1, |
.. ., |
n. |
|
|
|
Обозначим Qf операторы |
ортогонального проектиро |
|||||||
вания на подпространства |
|
t0 < t < T . |
Выраже |
|||||
ние (2.10) называется каноническим представлением,
если проекции |
значений |
r|fe(i) |
на |
подпространства |
|
Ни(т)), u ^ t , получаются |
по формулам |
|
|||
|
и m |
s) |
(s)> |
f0< * < |
|
Quiift (0 = J У)Cfc/ |
|
||||
|
<0 /=l |
|
|
|
|
|
li = 1, . . . , |
n. |
|
|
|
(Например, так будет в случае, |
когда £(/), t0 < t < Т , |
||||
является обновляющим процессом для г\{t), t0< |
t > Т.) |
||||
Очевидно, |
представление процесса Ц (0 = |
(т)й(0)" |
|||
в виде стохастического |
интеграла |
(2.10) возможно |
|||
тогда и только тогда, когда выполнено соотношение
(2.8) . При условии же |
(2.11) имеем |
|
|
|
1 |
m |
|
Л* (0 — Q„i1ft (t) = |
J |
ckl (t, s) |
(s); |
|
к |
/=i |
|
видно, что величины гц (t) — Q„r|4 {t), t ^ u ; |
k = 1, ..., n, |
||
порождающие подпространство # H(ri)1, ортогональны
Ни(1), и, таким образом, |
имеет место соотношение |
||
(2.9) |
, т. е. процесс т|(0 = |
{tja(0}Г» tQ< t < T , по дчи |
|
нен |
процессу с некоррелированными приращениями |
||
1(0 = |
H i(01г. t0< t < T . |
|
|
Пр име р . Пусть I (t), t0< t < Т, — случайный про |
|||
цесс со стохастическим |
дифференциалом |
||
|
d%(0 = |
а (0 dt + dW (0, |
|
§2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ II ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ |
25 |
точнее,
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
I (t) = |
J О(S) ds + |
W (t), |
t0< t < |
T, |
(2.12) |
||||
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
где a (t), t0< t < T , — некоторая |
случайная |
функция |
|||||||
со средним Еа (t) = 0 и конечным вторым |
моментом |
||||||||
Е |а (/) Р, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
Е | a (s) р 'ds < |
оо, |
t0 < |
t < Т, |
|
|
|||
to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и W {1), tQ< t |
< Т , — процесс |
с |
некоррелированными |
||||||
приращениями, |
такими, что при h > |
О |
|
|
|||||
W{t + |
h ) - W { t ) L H t{Q, |
t0< t < T |
|
||||||
(величины W (t + h) ■— W(t), |
|
h > 0, |
некоррелированы |
||||||
со значениями |
|(s), |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим процесс rj(£), |
t0< t |
< |
T, получающийся |
||||||
из процесса |
I (/), t0< t < Т , |
линейным |
н е у п р е ж |
||||||
д а ю щ и м преобразованием |
|
вида |
|
|
|
|
|||
t
=\ d ( s ) d s =
to
|
t |
= |
[ [a (s) — a (s)] ds + W (t), t0< t < T , |
|
to |
где a (s) — Psa(s) |
обозначает проекцию величины a(s) |
на подпространство tfs (£). Поскольку a (s) — a (s)_L Ht (£)
при s^ st, |
приращения |
|
|
||
11(/ + /?.)— л (/)= |
t+h |
[a(s)—d(s)]rfs+ [VP(/ + ^)—W{t)\ |
|||
J |
|||||
|
|
t |
|
|
|
обладают |
тем |
же |
свойством, |
что |
и приращения |
W (t + h) — W(/), |
а |
именно, при h > 0 |
|
||
|
т)(t + К) — I] (t) JL Н((|), |
t0< t |
< Т . |
||
При этом |
|
|
|
|
|
|
Hi (л) — Ht(W> t0 |
t <с. т , |
|||
