Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

Если

X =

t a u c j

llJ^j^ll t т о

динейно-невависиюсс реюннй у

системы (9.2)

Суде?

< Х ( А ) - Х

•. Отсюда

В х - / _ _ с и Х к

,

(9.8)

где

dU.~

произвольные постоянные, Х к

- линейные

комбинация

элементов rjCK

, они, очевидно,

линейно-невавиоимые. Из (9.8)

получаем

сЧ(6)-1

сЦ(В)

где

Хц^ — решение

уравнения

- бавис

нулей оператора

3 , (2i< - проиввольвыо поотоянные.

будет показано,что

система

функций

| ^ } к | к

ц

линейно-независима.

Это легко док а вать( сравни

о рассужденянни

в книге [ В ] стр.

200-201) методом

от противного.

Пусть

и не все С Ц

^6*;

равны нулю. Если при этом

все

q . K

—

^

то получится,

что

линейно -

вависимыми будут

/ l j K ,

что

налов-

можно. Если же хотя бы одно из

cLK

отлично от

нуля,

напримерj

А у. ,

то неоднородное

уравнение

(9.3)

будет

иметь

своим

решением

нулевой элемент,

что также невозможно.

Подсчитаем теперь j3 (А в )

= <Х [ ( А В)

J ^ рассмотрим урав-

нение

( Д В ) Ч = В " А Ч = о

н применим к нему

предыдущидрассуждения. Тогда получим

А Ч

= )

,

причем постоянные

й к

следует

выбрать так,чтобы

это уравнение

было

разрешимо.

Из теоремы Б I I

следует, что условие,

необходимое

и доста­

нении равенств

f>(b)

или

В(В)

операторов Фредгольма I -t

и

Т ^

] - [ . ^

равен

нули,

получаем

требуемое.

Покажем,

что

свойство':

^-ССАВ)— >С (А)+"Ж-£1Ь)

нвляет-

ся

характерным для

индекса

в том смысле, что любой функционал,

обладающий этим свойством, при выполнении некоторых условий

лишь целым постоянным множителем отличается от индекса.

С этоа

целью рассмотрим

множество

W

операторов

Нетера В 6 {F1 ~>Ег|',

удовлетворяющее следующим

условиям:

а)

если

, Btfc W

,

то

и

B-i

В г

6

W )

б)

если

любой

вполне-непрерывный

оператор,

то

в)

существует

такой

оператор

W

,

что

LncL С

-

1

,

г)

если оператор

B & W

,

то

его

регуляриаатор

R ^

также

принадлежит

Теорема

г.Э.

Пусть

функционал

V ( B )

t

определенный

на

множестве

операторов W

,

удовлетворяет

следующим

условиям:

1 ° .

Значения

VI В )

-

целые

положительные

или

отрицатель­

ные числа

или

ноль.

2 ° .

Функционал

V ( 6 )

непрерывен

на V\/ .

-

46

-

8

. Если

4 .

Если

и мнеет

ограниченный обратный оператор

При этих

условиях имеет место

равенство V(&)=

рХ(В),

где X (В)

-

индекс

оператора 3

«

а р -

целое число.

Доказательство.

Докажем

сначала,

что функционал

У(В>)

не

меняется, если

к В

добавить вполне

непрерывный оператор

Г

Б самом

деле,

и по l°t

2° выражение

J4(X)

~

~ У (13 + ^ Т )

будет целоэиачной непрерывной функцией *\ „

Отсюда

следует» M(0)siV(B)xJM(<)aV(6+T)i

что и утвержда-

аооь.

J

Теперь докажем следующее свойство функционала V(&) : Бели

K(B)=Os

то и V ( B ) = 0

. Действительно,

если

Х ( & ) = 0 ,

то по теореме

Никольского

(ом. § * }

обратимый,

а *Т - вполне

непрерывный

операторы. Следовательно,

Переходим в докавательству

соотношения X f B O ^ p X C B )

Возьмем

произвольный

оператор

B^W . Пусть X (&)=:?];> О

Учитывая

равенства

ьпА С =i 4 t

, indL

- ~ \

,

1н.с1 Й.£ s*-Vt >

(

R £ £

- регуляризатор

оператора

С

)t вавлючаем,

что

( $ £

В) =0

. итсюдайз

доказанное

го

выше вытекает,

что

V { £ t ^ S ) = 0 , следовательно,

по ь° ,

Для вычисления значения V

заметим,

что

RC C ~ I + T ^

|. г д е Т ^ -

вполне

непрерывный

оператор.

Следовательно, V (ft t C) = Л К 1 + Т С ~ )

- V C D

=

О

, но

так

как V ( R C C ) = V ( R C ) + V ( c )

, то

V ( R C ) = - V ( C ) .

Следовательно, V ( B )

=

РК(Ь)

,

где

p - V ( C )

, что

и требовалось. Если

же

^ С ( В ) = ' Н : ^ О

,

то

( С

П$)~0

и,

следователь»?» V I L-

и снова

V v - 7 / —

Теорема

доказана пол­

ностью.

Теорема 3.9, Еоли любые два из трех

операторов А

,

В> »

А Р>£"{Е""УЕ') нетеровы,

то и третий оператор нетеров,

причем

Х ( А В ) = Х ( А ) + Х ( е О .

Доказательство. В случае,

когда Д

и

В

- операторы

Нетера, теорема доказана выше. Иуоть

-

операторы

Нетера. Обозначим черев

W.

регуляриэатор

оператора

А

и" приме­

ним

I X

к равенству

А В - С

слева, что приводит

к

соотношению

U C = U . A B = a + T ) B ,

р л }

в котором ТГ

-

вполне непрерывный

оператор, йа

(9.4)

заключаем,

что

оператор

представим

в

виде

& = И С - Т & .

w

Так

как U.C

-

оператор Нетера И ' Х ^

-

вполне

непрервшвй1

оператор,

то из

(9.5) следует,

что1 иг ?S

-

оператор

Йетера,

Воспользовавшись

второй

частью

тебреиы:

1,9',, из равенстваАВ - С

П О Л У Ч А 9 М

Ж С ) = Х ( А В ) - Х ( А Н К ( В ) .

Аналогичным

образом

доказывается теорема и в случае, когда

В

и С

-

оператора1 Htere^a?..