Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 177
Скачиваний: 0
48 |
|
|
|
§ 10. Теоремы о возмущении |
операторов |
Нетера |
|
Теорема 1,10. Пусть В - |
оператор Нетера, аг Г |
- вполне |
|
непрерывный оператор, тогда в+т |
также |
оператор |
Нетера,причем |
Х ( В + Т ) = Х ( В ) .
Доказательство. Воспользуемся необходимостью условий первой теоремы Аткинсоаа и найдем такой линейный оператор \\ , , что
|
|
, |
тогда будут иметь место |
соотношения |
. , , |
.< |
_,_ |
U(b+T)=,i + K,'+ i i T ;
(B+T)U = b f t 4 T U :
Так как |
|
как композиции ограниченного |
и вполне |
||||||
непрерывного |
операторов |
являются |
вполне |
непрерывными, то |
|||||
|
|
|
|
|
|
будут |
операторами |
Фредгольма. |
|
Следовательно, |
по второй |
|
Теореме |
Дткинсона В + Т |
- |
оператор |
|||
Нетера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения Ж. ( В+Т) |
заметим, что |
CU В) = |
|||||||
= Х (1 + ? 0 = 0 - |
С другой |
стороны, X [ t l ( B + T ) ] |
= |
||||||
sXCl+i^+UT) - ^ й о |
предыдущей теореме |
|
|
||||||
X ( И В ) |
|
- Х С Ш |
+ "К(60 |
, |
* Х 1 Ш В + Т ) 3 = |
||||
= Х ( И ) |
+ К ( В + Т ) . |
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
X |
(И ) + К (В) = О , X (V ) + X ( В + Т ) = О. |
|||||||
Отсюда получаем, |
что |
(В) rz3C(lB + Т ) . Смысл |
доказанной |
||||||
теоремы очевиден: возмущение нетеродаа оператора вполне непреры вным не выводит из класса нетеровых операторов и не меняет
- 49 -
индекса оператора.
Теоремы (2.У) и (1.10) очевидным образом обобщают иавь^и . , . факты теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.
|
Теорема |
2.10. Для |
того,чтобы |
|
' K ( B t C ) - |
Х ( Б ) |
, где |
||||||
В ^ { j l ^ E J j |
- оператор |
Нвтера, |
Ct^E^—? |
, |
достаточ |
||||||||
но, чтобы были обратимыми операторами |
I + |
liC |
и I |
+ |
CtL |
||||||||
(например, |
|
|
|
) , |
где |
1Л |
•• какой-либо |
регуляризатор |
|||||
оператора |
В . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. Имеем |
В |
~ |
I |
+ Т |
j B ' U - ^ |
+ |
F, |
||||||
где ^ |
I |
ЧГ |
- |
вполне |
непрерывные |
операторы. Отсюда, |
учитывая |
||||||
обратимость |
оператора |
|
I |
получаем |
|
|
v1rr>'n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
- |
вполне |
непрерывный |
оператор. |
|||
Следовательно, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
v-1 |
|
|
|
|
|
|
( 1 ол, |
|
|
|
|
a + u c y % B + c ) = i + T v |
|
|||||||||
Аналогично получаем соотношения
(в+ои = I +см +т"=t'Tti+cuTV I](I+CU)=
r ( l +ТЛ(А |
^ T t - в п о л н е непрерывный оператор), |
|
(B+cyUCI + CW4 = t + T ^ . (Ю.2) |
Из соотношений ( Ю Л ) и (10.2) и второй теоремы Аткинсона следует,что оператор В + С будет оператором Нетера. Из (10.?) получаем по теореме о композиции операторов Нетера соотношение
Х(В*СЛ + >с(1П I K[(t + C U r l ' l = > t (I + T Y l .
-50 -
Так как X [ ( I + - C U ) 4 ] = 0 ? X ( I УТз.) = О ( t i ) = - X ( B ) ,
то |
|
что и требовалось доказать. |
|
|||
В заключение этой оврии теореи мы докажем следующий резуль |
||||||
тат, принадлежащий Аткинеону! |
|
|
|
|
||
Теорема |
а.10. Для любого оператора |
Нетера В> |
существует |
|||
такое £ Г > 0 , |
что каждый ограниченный |
оператор |
Ё» |
, удов |
||
летворяющий |
условию |
, |
также будет |
нетеровым |
||
оператором |
и его |
индекс равен индексу |
оператора В |
: |
|
|
Х ( В ' ) = * ( В ) .
Доказательство. По первой теореме Аткиноона существует такой оператор l i t { Е ^ Г Д и такие конечномерные операторы
( I Q . 3 )
Тогда
|
K B ' - И В + И ( В - В ) - 1 + К + Щ в - |
В), |
110.*) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В'И - B l i + . B t f J * |
I + |
tf +(В - |
В Ж |
|
|||
|
I |
|
|
|
|
|
то |
|
Если Ц Й - В ' К |
столь мала,.что |
Й И Н В - В М |
||||||
|
||||||||
операторы |
|
|
|
обратимы, следова |
||||
тельно, по теореме |
Никольского рператоры |
|
|
|
||||
|
|
являются |
операторами |
Нетера. |
Более |
|||
soro, |
они кваэифредгольмовы, а тогда по |
второй |
теореме |
Аткиноона |
||||
В - |
оператор Нетера. Равенство Х(В') |
~ Х ( В ) |
вытекает из |
|||||
-51 -
(10.8) и |
{ЮЛ). |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
||
|
Теорема |
4,10. |
Пусть |
& а |
у В>( ^{Е^ —? |
\ |
» |
операторы |
|||||||||
Нетера. |
Предположим, |
что |
существует семейство |
операторов |
|
|
|||||||||||
зависящее от комплексного, вообще говоря,параметра Д. , |
кото |
||||||||||||||||
рое |
удовлетворяет |
следующим |
требованиям: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a v B O e ) = B o , B t t ' ) = B< . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 ° . |
В плоскости |
комплексного |
переменного |
^ |
существует |
|
||||||||||
непрерывная |
кривая |
Р |
конечной |
длины, |
соединяющая |
точки .Я |
и |
||||||||||
|
такая, |
что |
вдоль нее выполняется для всякого |
наперед |
веданно |
||||||||||||
го |
L уО |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ц в а ' ) ' В а " ) ! 1 < £ , |
|
|
( |
И Л ) |
|||||||||
как |
только |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3° . Для |
всех Л 6 |
Г оператор |
|
|
|
неторов. |
|
|
|
|
||||||
|
При этих условиях в о |
и |
В / | |
|
имею! один и |
тот |
же |
индекс: |
|
||||||||
|
Доказательство. Для каждого^ £ |
Рсуществуе* |
такая |
дуга |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г-* |
|
|
W% кривой |
Г |
, оодвржащая строго внутри оабя точку |
Я |
, что |
|||||||||||||
для |
всех |
|
|
|
выполняется равенство irt-d |
B D ) - ^ d |
В ( Л ) . |
||||||||||
Это |
заключение |
вытекает И8 свойства 2 ° , |
еоли учесть |
равенство |
|||||||||||||
B ( ^ ) - B ( ^ ) + B U ) - B ( A ) |
' |
и в |
о |
о п о л ь |
а о |
В а 1 ь с я |
теоремой |
8.10. |
|||||||||
Ив системы |
дуг |
( l i i ! , ^ Я ^ Г |
, |
воопольвовавшись |
леммой, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hi |
" И |
|
||
Гейне-Бореля, |
можно выделить |
конечное |
покрытие \ |
М Д К Г К _ ; | |
|
||||||||||||
