Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.07.2024

Просмотров: 176

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 89 -

§ 8. Регуляризация операторов

Пусть

В £ {Е4

- >

 

. Ограниченный оператор

 

 

 

 

 

 

 

где

Т!| £

{ Е ^ ^ Е ^ -

вполне

непрерывный оператор,

называется

левый

регуляризатором

оператора

, Аналогично

вводитоя поня­

тие о

правом

регуляризаторе,

т . е . таком-ограниченном операторе

R n t { F t - * F , ) . « «

В R „ = I + % ,

Ц -

вполне

непрерывный оператор»

 

 

 

Замечаний 1 . Вопи оператор допускает левую регуляризацию, то он,

очевидно,

имеет

не более конечного Числа нулей. В самом деле,

вое

нули

иоаодного

оператора будут нулями

рзууляриаованного,

т . е .

|свд. В

С

Re/tRflB.

Отсида вытекает, что

 

 

 

c U i t e t B *

 

W R j , B < « 3 ^ т а к

к а к

g ^ g

_ о п е р а _

тор

Фредгольма,

раамернооть ядра которого, как известна,

конечна.

Замечание

2.

Если

RJI tJEjf*"*

^ " j - л е в ы й регулярцзатор

оператора

В

и оператор Т

£ \ E j f * E ^ -

вполне

непрерывный,

s o R ^ + T

также будет левым регуляризатором оператора ЕЗ . Аналогичное

утзервдение

справедливо и для правого

регуллриватора.

 

 

Теорема

1.6.

Если у ограниченного

оператора

6»<г { Е

^ Е%\

есть

левый рзгуляризатор

Й л ^ ^ Е ^

Е.*^

и

правый

регуляриза-

тор

R n

£ { Е г

- > Е < ] .

« К

j) будет такие

правым

регуляриза­

тором оператора

В> , а

-

его левый регуляризатором.

Доказательство.

По определению

регулприэаторов

имеем

равенства

- *0 -

,

-

где 1 ^

и

HFjo

~ вполне непрерывные

операторы.

 

 

 

 

Умножая первое из полученных равенств справа на

\ \ п

,

а

второе

-

слева

на

Rn

• и вычитая

из

первого

соотношения

 

вто­

рое, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R n i - T j R n - R ^ - ^ T ^ O .

 

 

 

 

Отсюда

заключаем,

что

R n -

Р д =

~rJ{

R n

R^l

 

ь .

 

 

Операторы

TJ

R n

£

l E V " *

Е|)

и

$ Л

I*,

(:

( E < f

^

E-i]

-

вполне непрерывные как композиции вполне непрерывных и ограни­

ченных,

следовательно,

R N

^RJI+Tt,

, где

Т з

-

вполне

непрерывный

оператор. Поэтому R N

будет

также

левым

регуляриза-

тором,

а

 

-

правым

(ом. замечание

2

на стр. 39).

Заметим еще,

что из условий теоремы вытекает, что В

-

оператор

Нетера

(См.теорему 2 . 7) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие. Любой регуляриэатор оператора Нетера - также

оператор

Нетера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В самом

деле,

если

R. -

левый

(правый)

регуляриэатор

нетеро-

ва оператора

 

 

,

то

R.

также

будет

и правым (левым) регуля-

ризатором этого оператора, так как

у

В

по первой теореме Аткинсо-

'на заведомо

еоть

еще

правый

(левый) регуляриэатор. Отсюда

 

получаем

BR = i + Т г . . т . » j s , - \

- 41 -

где Т< и Т1 - вполне непрерывные операторы. Отсюда видно, что Е» ! можно рассматривать как левый и правый регуляризатор

оператора R.

. Существование левого и правого

регуляриэатора

у оператора

R. обеспечивает по

второй теореме

Аткиноона его

нетеровость.

 

 

 

Теорема

2.8. Если оператор

В (г { E f * Eg.] допускает

левую регуляризацию, то он нормально разрешим.

СЛ'.Михлин доказал эту теорему для линейных замкнутых операторов. Для ограниченных операторов В доказательство этой теоремы содержится в приведенном выше доказательстве достаточ­

ности уоловий второй теоремы Аткиноона,

причем

это доказательст­

во можно приспособить и к более общему

случаю

замкнутого опера­

тора

(см. [15],

отр. 27-28).

 

 

 

 

§ 9. Свойства операторов Нетера

 

 

Теорема 1.9.

(Теорема Аткиноона о

композиции операторов

Нетера).

 

 

 

 

 

Если В ^ { Е . , - *

Е*,)

> A f c { E j C * y

-

операторы Нетера, то

оператор

 

также

оператор Нетера, причем

 

Х М В ) = ' К 1 А ) + Х ( Ь ) ,

 

г л е

K C A ) - i « d A , X ( B ) = l r u l B , X t A B ) = L M A B .

Доказательство. Покажем

сначала, ч т о / \ В

- оператор Нетера.

По первой теореме Аткиноона (обозначения ясны из текста) имеем:

Ч А = 1 - К ; , M ^ h X Д В = 1 - З С ; & И г 1 - » . г

Тогда

-42

UJUB = UJJ -!R'(B) = U,B - ид' В=I -XrUД'В,

л в и д = А ( 1 - К : Ш , = л и , - л з С Ч = I м. •

Операторы

 

 

 

 

 

,

по свойству

компоаиции

огра­

ниченных операторов, из которых один является конечномерный,

будут конечномерными, а тогда по первой теореме

Аткинсона

(доста­

точность)

оператор

 

будет

оператором

Негера.

 

 

Определим теперь

К ( Л

&)

=

С* (А В )

-

^ ( А В ) .

 

Для подсчета (X(А

Ь )

обозначим

черев

 

.

 

базас

нулей оператора

J\

,

а базис

нулей

оператора

В

черев ^

^

. . . ^^^^у

•

Ив уравнения J\ ВХ-Ополучаем

 

'

 

 

 

 

+

 

 

г д е

С к

"

некоторые

постоян­

ные. Если С к таковы, что это уравнение разрешимо, то его решение

будет решением исходного уравнения. Следовательно, для отыскания

воех

решений уравнения

надо подобрать

постоянные

С к 1

а к » новь* уравнение

о(£А]

 

 

В а с

I С к х к

( 9 > 1 )

К«4 оказалось раврешенным. Условия разрешимости уравнения (9.1) , если

принять ва дефектные функционалы оператора 13 элементы базиса ядра оператора |^) , имеют вид

Смотрите также файлы