Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

В =

Е .

^ , т.е. на одном ив слагаемых прямой суммы, в

которую разлагается пространство E t ;

Ниже будет

показано,что

значения

f

на элементах подпроотран-

отва

можно задавать произвольно. Возьмем далее

V ^ f c E j ,

и

положим i j =

H I

_

. Т о г д а

_ j _ y ~ ^ (^^(.^Ьц^

.Первое

слагаемое

в атом

равенстве опре­

д е л и в ,

так как

(I-Q)^^-"3MB

,

а

именно

^

Q ) ^ ] ~

- C j ( x )

,

где ОС -

решение

уравнения

В

х "

( l

- Q ) ^ j

. » . . , . = „ »

х . а + ^ о с ; . '

Вдесь {Хк} -бавио ядра оператора , & j X as ^

[(1~0)^]

(определение

оператора

D

ом. в § 8) . Таким

обравом,

рвши-

ние уравнения

В

\ £

^

имеет

в и д *

Дяя непрерывности

функционала

f ^ )

необходимо

и доста­

точно,

чтобы

С| ( 0 С к ) - О ^ K i l ^ j ' . * , ^

.В саном

деле* лишь

при выполнении этого условий

f-C^j)—* О

при f l j j {

<0 :

Отсюда

заключаем,что

Далее имеем

Л

-

86

-

fui. как

— О

, то функционал

f-

, определенный

формулой (7.3), будет

решением

уравнения

B*f-

— Q

при произ­

вольных вначенияк

-f

.

Следовательно,

Таким образом,

p(BW(BV-Vf(E»t

что

и требовалось

докавать.

При доказательстве

второй

теоремы

Лткинсона мы воспользо­

вались тем фактом,что

оценка (7,2) позволяет сделать вывод о.

замкнутости

образа оператора

В .

можно доказать более сильное утверждение.

Теорема

3,7.

Пусть

где

j ^ ^ E ) " *

Ei}

~ некоторый вполне непрерывный оператор.

Тогда ядро оператора В конечномерно,

а его образ

замкнут.

Доказательство. 1,

Покажем,что иа любой последовательности

решений

однородного

уравнения

В х = - 0

моаяо выделить

сходящуюся

подпоследователь

ность. Это будет

означать, что единичный шар в

подпространстве

компактен,

Ччо можбт

быть лишь в случае,

когда

-

конечномерно ( Б Ж ) . Указанный свойством

обладает подпоследо­

вательность

Х и

такая, Ч^то последовательность

,

w i ^

р

v.

к ;

имеет предел. В самом деле*

учитывая,что

D X n

~ О

, получим

из

условия

теоремы

Отсюда следует,что подпоследовательность

[ X ^

j

с ходящая-

ся,

что и трабовалосв»установить.

-

В7

-

Для доказательства замкнутости образа оператора (3

рас­

смотрим1 последовательность Ijn. t

Зт

5

t

имеющую предел

t j =; C-i m

' I j ^ . Для каждого

^ r

i

, найдем

такое

решение СС^

уравнения

В х = ^ и »

норма

которого минимальна. Такое

реше­

ние существует,

так как ядро оператора

В

конечномерно (см.,

например,

[18], стр. 27U-27I).

а, йокаяеац, w o пооледовательнооть

- {Хи ^

ограничена

в

. Предположим противное. Тогда существует такая подпосге-

довательнооть

(ОСи 1

. ч

т 0

^4 m 11 ^Си^ Й= 0

0

- Так как

F x

/

последовательность

i

*х ||Хц

II J 0 Г

Р а н

и ч е н н а

я » 1 0

M ° S H 0

построить

такую ее подпоследовательность,

что будет

существовать

предел р — |l»n1*t. i^4 »y1joCn |).^H

любых двух членов этой

последовательности

ЗС^

я Х+п^'

будет выполняться

неравенстяо

T f ^ i i i i 4

v m $ " w o e ) -

Ж # й ) - Ж ^ ) 1 | .

Так как последовательность

ограниченная,

то из (7.4)

следует,что последовательность

Л^Н^йЛи*"*

щфувдаиенталь-

на в

и имеет

предел

ОС

• Ив равенства

j

- ^

Jb^Tj

— ii- - ~

заключаем,

что В ОС: - О

. Переходя

в

(7.4) к п р е | ^ при " п '

П1— -^схэ и учитывая, что fjivn

.

t r _!L-д- ^ Q ,

получим

- - V 4 '

/

11 J L - ' V

Значит, оущеотвует таков число

f%

, что

b't

Так как последовательность "|Хм.^

ограниченная, то,

разрежая,

если нужно,

эту последовательность,

можно добиться

сходимости

последовательности

г

(избегая

усложнения

записи,

мы не вводим

новых обозначений для элементов разреженной

последовательнооти 3

)* Из С ^ )

получим для произвольных

1 ^ ~ Х п ^ № > к Г > к 4 +

Ш

х

П к Г

Х П

к

. ) (I. (7.6)

Учитывая сходимость последовательнооти

{ Ц и } и э

('/«б),

заключаем,

что последовательность

{ Х ц ^

фундаментальная.

В оилу

полнота пространства

E,j

отоюда следует,

что существу­

ет

Eitn X y j ^XtF,, ..

Следовательно,

в равенстве

, = В^Суг

,

можно переходить к предозцу при

—=>оо . Сделав этот предель­

ный переход, получаем равеш-вво 4$=В^С .Таким

образом, элемент

'tj

, определенный как предав пооледовательности

элементов

,

принадлежащих образу

опервтярнз

,

сам "принадлежит образу опера­

тора В

• Отоюда вытекает,что

Эт-Е>

-

замкнутое

множество.

Теорема

доказана.