Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

- so

-

где 2

е 1 E

~

^

~ мерное

подпроотранство.

8аметим,

что

любой функционал

£ £

Е

мокно

задать,

опре­

делив

его

на

каждом

из слагаемых прямой суммы (6.4),

в

частно­

сти,

функционалы

£

^1 п

п

обращаются

в

ноль

на

Jbr\ О

/^S

^

слагаемом

J-vr« &

j

H i следовательно,

мномеотво

J L O M B

в о в п а ~

дает

о пространством

функционалов

над

2 ,

» т - 8 '

0

пространством,

сопряженным с

2 ; .

Воспользовавшись тем,что размерность

конечно­

(еж. {Ч],

г л . 1 , § 6 ,

стр.

49),

приходим

к

равенствам

c L l m Q j ^ g

= c L m X = d i m Ъ .

( б ' 5 )

Из (6.5)

и (6.8)

вытекает

доказываемое

соотношение

§ 7.

Уоловия

принадлежности линейного оператора классу

операторов Нетера

Вернемся к рассмотрению операторов Нетера. Обобщением тео­

ремы Никольского является следующее утверждение,

содержащее

необходимое и достаточное условие принадлежности оператора

классу операторов

Нетера.

Теорема 1,7.

Первая теорема

Аткинсона.

Для

того,чтобы оператор

2>6

^ Е ^ ~ ^ E g J

^ ы л

оператором

Нете­

ра, необходимо и достаточно, чтобы

существовали:

а)

линейный

оператор

Е ( £• |

Е г , ^

E/t^ >

б)

конечномерные

операторы

£-

|

Е ^ - *

Е ^ и

K ^ j E ^ E t } т

а к и

е » q

T o

-

81 -

Доказательство. Необходимость. Покажем,что

если

В

-

оператор Нетера о

d - характеристикой (с?^ ji)

, то

имеют

есто представления

(7,1),

при

0

н

а

- к

>

где

Р

и

Q

соответственно

<^

и

& -

мерина.проекте-

ft

П

роа-сх

ры

вида (2,1)

и

(2,4), а

£*>

- сужение

р

на

t

•

г ( §

8)*

Действительно,

в о л и . Х ^ ' Е ^

,

то

U B x = & ' 4

В х * Ь"1

B ( P t 1- Р ) х Л 4

Ъ ( \ - №

- 0

-

№ ,

а

если ^

£

Е я,

«

5 0

B U i j * В И ( ( Ы :

Щ * В & 1

( 1 - Q ) i J - С I - Q V ^

В первой

отроке

В Р ^ О ,

& * * В Л

ва

элементах

из

Е * * * * .

Во

второй

отроке

, так как 1я чет С *

и

В

^

« I

на

элементах ^ I - Q ) l i ,

принадлежащих

пространству

Е

оо -

ft

'•

о

доказательстве

Г

. Достаточность будет докааана ниае при

второй теоремы

Аткиноона.

Теорема а . 7» Вторая теорема Аткиноона,-.

Для того,чтобы оператор

В

6 •( Е ^ " -

^ Ёа.^ ^ а л

н е * е Р ° в ы м »

необходимо и достаточно,

чтобы

существовали

линейные операторы

такие,

что' И В

. B I T -

нотеровы

операторы.

доказательство. Необходимость уодовий теоремы

вытекает

из

Докажем юс достаточность. С церва установим, что числа сЧ

и

0

у оператора

и

конечны. Раоомотрим

уравнение

Каждый

нуль оператора

D

являетоя

нулем

Тан как

CtLlnf^CA. 1iB

-

конечная величина, ибо И В

-

оператор

Нетера,

то конечной

будет

и величина

Учтем теперь, что BU" - оператор Нетера. Равложим простран­

ство Ев

в прямую сумму.'

Е», = ЕГ~ ? С М Г ) +

Е / (

где

- равмернооть

коядра

нетерова

оператора

Имеют меото

вложения!

Поэтому

справедливо

неравенство

A i m

E ^ W B U

>

,

i . e . |>(В) 4

|»

(BU)

кИтак^

ortepatop

Имеет

конечную

О.» жарай8ерио*Ику»

Оотается

поКавать,

Чтб множество

Jrrt

В

вначенйй

Оператора

D

замкнуто»

0 этой

целью представим

прост-

ранйтво

E"i

в виде

прямой оуммы

. . j |

я

пище

-1

подпростран

'

=

-

В

и

Г 7

<ств

£ f

Ь . 1

докажем «начала, чяю выполняется

неравенство 4)

I x l ^ ^ ^ s t l i e a c i ] ^

>

а с с Е Г " *

(7.2)

и* которого ватем выведем вайкнутооть

образа оператора

В

•

'Воли указанное

неравенство

Не выполняется,

то найдется

такая пос­

ледовательность

{Tnji

х и

| |

^ o d ^ t E ^

.

что

| В э С ! к

| H K L

Действ иадвлшо,

для каждого

fu

в этом

случае

Ч

{-дао- *

II g r t j

вайдетои

такое

Х н . ^

С ij

•

что

~ |

|"

*

Можно о читать,

что

Ц SCtiil ~

^

' И - ' ^ Й , , . . .

Ё самом

деле,

llXnl!

.л

J

•

"

Г Ц к

следовательно*

.V ^

• <

*

и

где

Х ц -

" j j ^ j

l

• п Р и Ш 4

'НЭСкй

=

А"

. Учтем

теперь,

что

операторуЦВ

"8* нбтероед-

дахвечае*

Такой

оператор

V\/

i что

-

конечномерный»

а

вйачйт, й Вполне непрерывный.

Так на*

последьмтельйо.ть

{ Г п

|

о т ч а л а ,

то

*аная

ее

под^ооледовательНоЬтв (впять

наеовем

ее

Jj

что^Ц

сходится

к

некоторому

е л в й е й т у ^ ^ .

Таи най W ^ B ^ - H ^ O ,

той»

О

Оценки

вида

(7.2)

называются

априорными» они йовволяю*

заранее,

не решая уравнения, оценить норму решения (величина

известна, так как

Й З С ^ ^

-

известный элемент).