Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
Х о » к * |
* i - t*cLc , |
t - c . i , . . , * |
или |
Да - 6 , |
(4 . 1 . b) |
|||
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
где |
о, - |
(au. |
. , a O г 6 = C 1 . ^, - , /м+Лнвекторы-столбцы, |
|
||||
|
|
A = ( K c ) ^ 0 |
| K ; J - * ьетрица |
|
« К |
(4 . 1 . 6) |
||
Ясно, |
что при |
K * M + i |
система (4.1.5) |
разрешима. |
||||
|
Для |
П. - |
мерного |
случая положим |
|
|
|
|
Проверим условие ( 4 . 1 , 4 ) . |
Пусть иггрихи |
означают, что |
|
|||||
рассматриваемые величины относятся к 0>~О - мерному |
» |
|||||||
случаю с |
переменными |
х ' = |
( х , х п . , ) |
<& ft" L |
|
* ' ' |
К »\ - 1 |
=(по индукции) - 0 .
Таким образом, формула (4..1.3) построена , С = |
К. |
||
3°. Построение функционалов погрешостей. |
|
||
Для кажд»й функции |
(х) > ( j = i,_,3"построим свой |
||
функционал |
( х ^ так, чтобы £^"(эс) получилось |
по |
|
•формуле |
|
|
|
J •
Одновременно |
будем |
строить функционалы ^ (*-.) ц |
^ ( * Л |
|
с помощью которых |
зададим |
1^С<) и £ " ' ( * • ) ' |
из оп |
|
ределения ^ |
( Л , M ( j М в ) 2 ) |
класса формулами |
|
Уы опишем |
построение /М'-О,1 ?'1 *^ 9 Д х ) , а для^ ос |
тальных j = 2,... |
,7 Э Т и функционалы можно построить ана |
логично. Для определенности предположим, что на носите
ле |
|
граница |
Г |
области |
-fi- |
вырах^ется форму |
||||||
лой |
а п = |
|
С м ъ |
J 2 1 | t |
| |
Л 11 |
|
расположив в ,об- |
||||
ласти ( x l x ^ - y C x 1 ) ] |
, |
а |
J l , , t |
, |
П ( С } \ Л ) |
- |
в |
|||||
области |
{ х |
| хл > у ( х ' ) |
} . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сделаем ааиену переменных у'-- *',У« = |
|
|
при |
||||||||
которой |
Г П Л А 1 £ | _ |
|
перейдёт в |
кусок гиперплоскос |
||||||||
ти |
^ц=о к введем обозначения для областей, |
преобразо |
||||||||||
ванных этой заменой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0о |
- |
образ |
Л П Л , |
|
6 , - |
образ |
Л Л Л , ^ |
|||||
в,. - |
обраа Г Ч П Л , ^ |
|
, |
|
_ |
обрав |
|
« А ^ Л - П , , ^ . |
||||
|
В переменных у |
с помощью элементарного функциона |
||||||||||
ла |
Х{у)образуем такие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
кн) |
- |
Z |
|
|
|
|
|
|
^ |
Ъ |
( |
Щ Л 1 |
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•л * ё, |
1 |
12 ^
После подстановки А кэ (4.1.3) формулы (4.1.10) принимают вид
Пусть H*'^-) - |
•( XQ*ty/kj |
обозначает дробную |
|
|
часть числа |
^(<к)/^. Подставим в написанные выше форму |
|
||
лы вместо |
frf^-«:„ |
А.) выражения |
|
|
$ |
|
|
|
|
S-0 |
|
|
|
|
a ( ^ ~ < * t , K ' t ) a o Y ^ - i e ^ ) - ! & s ^ - ^ l C l t ' * ) i - * ^ , |
(4.1.11) |
a nocTv иные £ и <4 (s= о,определяются из условий
Замена, переменных |
+ |
_ ' f |
позволяет |
переписать систему (4.1.12) в виде
С< Z « U ОО) - « |
i5) = о, |
125
|
ы = о,м |
, t |
a |
1 , |
i - г.(>'ЛУ |
|
|
||
Это даёт алгебраическую,систему для иахоздешш |
J * , , |
||||||||
гЭе' 3 = ( е / . Д , . . . , а 4 \ г = о , г , - - . г 4 ) |
- |
в е к т , > р * о т о |
л б , ц ы ' |
||||||
В - |
матрица |
С^-<1)(МчГ) |
, |
В = C£ J t )S | V.о |
('причем |
||||
Q °sl) |
(4.1ЛЗ) |
очень |
похо-да на ( 4 Л . 5 ) |
и так же, как |
|||||
( 4 Л . 5 ) разрешима при $ |
|
Пусть |
£ а |
o l s £s •- с7 $ ") - |
|||||
какие-нибудь решения |
(4 . 1 . 12) . Заметим, |
что все |
с(6 |
||||||
ограничат равномерно по к |
|
|
|
|
|
||||
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
Q l ( ! r ) |
= |
^ Z ! |
А * &(М-к'к)&(Ь-<*К |
к',к)г |
(4.1.16) |
|
|
рСкЬ.еЛь к'к |
|
|
|
Q l C W |
= |
C Z - |
СВ^-к'к)йС%-кЛ,^) |
|
( 4 Л Л ? ) |
и положим
Обратная замена переменных *'=ч"' 3Cn=4n +jf(4') при ведёт нас к искомый функционалам
ft(x) = g > ( x ' , 3 |
c , - ^ x ' j ) ) ^ C x ) = Q / ( x ; x , - ^ x ' j ) , |
|
(4.1.19) |
|||
4 |
о |
. |
* - |
, |
л |
t f x ) . |
|
Формулы для коэффициентов функционала |
|
|
|
ч |
|
|
12 6 |
* |
|
Преобразуем выражение для |
|
||
P , ( w 4 -J s(V>) = ^ ( « ) = |
Z |
> ч - - ; ~ - ) + д з * б о = |
|
|
|
к и е , |
v 4 |
= - 4 > ' u ) - ^ Z |
X |
ot | ...at ,8-^-tK4t)t) + ?a Cu)=. |
i -- Г, i£
Заметим, что |
нам достаточно иметь выражение для |
р± |
|
только на |
в 0 - носителеsсрезывающей функции ^.Обовна- |
||
чив через |
j> |
часть рА ? не попавшую на носитель |
^ t |
имеем |
|
|
|
|
|
Д-х |
У |
В последнем выражении переставим порядки суммирования таким образ 6м
Получим
= Р6/)^> / i - ^ Z I . Z 4 Z a*J *•(»'--'0'
12 ?
Перейдём к переменный х
p . C ^ x h y ^ i - ^ Z |
|
Z |
|
l a , |
J f r ( * - « t ) j |
||||||
Таяш образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tyx)ft(«) |
- ^ |
W |
j |
^ |
- |
C |
Z |
С* |
к О } |
, |
(4.1.20) |
**e _ C R |
« |
|
Z |
|
|
4 |
|
Z |
а«г . |
|
|
Нмфрициенты |
dt |
|
зависят от |
уравнения границы. |
|||||||
Выделим явно эту зависимость. При этом мы останавли- |
|||||||||||
вммся на одном на возможные вариантов выбора |
за |
||||||||||
одно подберём и |
CL* |
Для бояьюей простоты |
a r и |
di |
|||||||
лнрояим похошш формулами, приняв |
<±»=о, 3 =К= М+i. |
||||||||||
Нуе» «гирь |
а = (а,,...,аО |
, « |
= ^ . ^ , - И / м , 1 ) , |
2 « 0 А - А \ |
|||||||
I |
lt, . - . «l H ) |
— |
ве«тора-столбцы, |
матрица А |
|||||||
м л н Фадомв* |
(4.1.5).Тогда |
Д 3 = £ , Д а = й . |
|
||||||||
FLYW* |
А-* |
|
Л , |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
А « C a y ) C 4 f 4 . |
|
|
|
|
|
Of эрааяшш границы зависит только 1= { |
j . ° * * < А • |
Пцммаш значения о£4 • a r в (4.1.21) |
|
|
K . |
C ^ Z * £ ^ |
Z |
^ |
z a<rt |
1 2 8
Аналогичные формулы получаются и для остальных С^ .
Для того, чтобы выписать |
общую формулу |
условии- • |
ся считать что в областа |
Г-{х| х,у =^ |
0 х ! , - , x t j - i ,х у+«,-15 с ч)] |
Кроме того, будем писать |
|
|
Тогда
К. |
nli»Jl |
i i i « |
J
где |
|
|
|
|
|
мЛ |
Mti |
nUh(M-M,5j4-i) |
imh |
О |
(4.1.23) |
с О * ) = Z t |
Z * j ? |
Z ' Q s t |
Z |
a s t |
|
Формула (4.1.23) может бить полезной для факуического вычисления С к для точен к k , удаленных от Г меньше чем на 2(м+1)к\?(кк,Г)< 2(ги+.9)к. ' Если
р(к(\,Г) |
-9 2(M+i)k, |
то мы понажем позже, |
что |
в этом, |
||
случае |
С к ~ i • |
|
|
|
|
|
|
Можно иыло бы, проделав аналогичные вычисления, |
|||||
пп |
учить подобные формулы для |
функционалов |
t ( « ) и |
|||
• t |
^ ' C x ) |
, но такие |
исдрооные |
выражения •£-Г*Сх) и |
£ . ш * 0 ^ |