Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
i-ЪЦ
Kkte
^ a 4 M T l |
I I I I I H f c i j T i i + i i s i y i i |
Подставим в скалярное |
произведет; |
вместо |
g = £ J- его |
|
ряд Тейлора,раалсжега-шй |
по ^ а относительно |
точки (к*-! •*».) А. |
||
ГП-1 |
|
|
iu)V-, + |
|
9 М - Z |
9 (у', с v to k.) • (y~- |
|||
г » |
|
|
/ , э ' |
|
b силу условий ортоюнальности,наложенных на Д , после подстановки от ряда Тейлора сохранится только остаточный член
о |
ч |
|
as |
|
|
, Сделаем |
замену ( к п + О tv + t L ( s - . t ) |
$ |
и получим, |
огрубляя |
постоянные,не зависящие от |
(и, |
|
Используем то,что
fill! * СV1 |
ma* w p j W ^ y |
( ^ i / ^ ' - A W Y v ^ ^ V |
||
« 11С J Ш] |
* С V W |
sup j ItffJ• ob, X Jf |
• |
|
|
^ . S . J |
*• |
К l i t 9 |
|
так как I/ I>£ 9fl*.* С W w »
Теперь,оценим
. сделаем замену 3 = t +fct , o* t^</L, ^. = ot <,*2,... C j - / ^ ) ,
|
|
i |
Ъ 6 |
|
|
|
|
|
|
< |
г |
, , ь | _ |
лгк t V h . г |
-5-- |
-tz*t,*„\ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Z d , e |
|
) ] | |
' |
I |
^ |
l |
^ |
i |
r |
I
Так как
TO |
/ |
Sup : |
< L Sur, ГПЛ.Я. (TiTTx."^; l i s С 7-^7—Tm |
Обозначив |
|
,.2 „^л |
iainC,^Kjk |
- t w t . o * |
|||
A K |
- |
= Z |
e |
<4-e |
Z ^ e |
3 |
|
|
к,Ле-е„С«> |
|
|
e |
|
||
применим |
к - |
|
|
лемму |
u (а-1>-мфном случае: 1 |
||
Z ^ ° ' - ° | Z |
e ^ V N ^ Z |
I A K - 1 : |
|||||
- 4 |
|
|
K'tvt-e' |
|
k'kte' |
||
Подставив |
это в основные., вычислении,получаем |
|
|||||
к Z |
о п |
я , г ь |
применим лемму 20 |
в одномерном случае |
|||
• |
C ^ V " Z <• Z |
i |
i C ' ^ / e / ' , |
||||
,что и требовалось доказать.
1 3 ?
[FlUlClUiHJIE
§ 5 . 1 . . Формулировка ококчательнгос результатов.
Мы сформулируем «кончатель.де результаты ^топ риботц в
виде следующих утверждений. |
|
|
|
1°. Над пространствами |
п.риодических |
>руил1^И §" |
,облада |
ющими нфма-и)инвариантныу.и по сдит'у |
и ки;»-лактно'вложенны |
||
ми в с с о |
|
|
|
после введения эквииалентнои корьы по ^ормул^ |
|
||
И К * ) Ц = n w > * . ( l l K * > - * o l i g |
, 14.1) |
|
|
универ^альну оптииалъ |
кубатурной формулой на |
задании |
|
а к. ( |
tej-o,*i.,*2,••) |
^ |
|
становится "формула прямоугольников" |
|
||
2°. Над пространствами |
|
|
|
И, ( Л ) |
с нормой U . C . I ) у JH-Cg-) £ |
n t C M i . M , ) ^ |
|
(в частности, |
W^C-Q-) при |
m e f M ^ M j ) |
^ |
при |
«пеГМ^М»- ] |
с нормой i ^ . i . t ; |
|
со. a
(5.3
(Л) х. С^С-0-) ири. т. с Гм,,Mj с нормой (Ь.^. 5) .
является асимптотически оптимапьпуи *оид&пной решётке •
(5.3.1) обладающая регулярным погранкчги** и««см любая ку-
батурнвн формула с функционалом погрешности |
^ ££"i>oj |
|||
an |
I L u a C C a |
|
|
|
. |
Г U . |
П |
О 0 * и » Н П K K L „ L O |
V • |
а 0 . Над пр-бстранствры |
W x |
с условием |
\
й < rV ^ nun. т.; $ rn.Qx т.,- <- т."
2 |
А |
6 |
( j ^ ^ i ) |
и нормой (2..0.U , |
,^С?)= |
2 1 |
|
а: -овдснной реикугке |
|
J*<- |
J |
|
|
|
= o , H , t l , - ,
—h.
JV V. ; С - i - , "О |
-цельЕ числа |
асимптотически .иы-.и^тныь при J>f-»<x= и обладающий регу лярным пограничным ошем является любая кубатурная форму-
»
ла с функц..ипслОМ |
погрешности |
|
|
из класса |
|
|
|
4°. Для ограничениях ооластей SL |
с гладкими границами |
||
описано пистроение новых формул, обледапцих регулярный |
|||
пограничным споем |
и универсально |
асимптотически оггеиыаль- |
|
ных(на |
заданной решетке и в одной и:Гэквивалентных нормиро- |
||
В01с)нод |
множеством пространств |
(£5.3.2) |
|
1Ь9
§ 5.2. Оосувд?ш:е результатов и постановка
нерешенных задач
Мы хотим обратить внимание на то, что использо
ванное в этсИ работе понятие ослабленко регулярно погра ничного слоя отличается от. определения Соболева. Данное нами определение менее ограничительно. Применяя его и сде
лав |
одним из центральных понятий предложенно.1 |
аксиомати |
|
ки, |
мы и з б а в 1 л и с в от некоторых дополнительных |
требований, |
|
заложенных в прежнем определении и не .игригацкх роли в |
|||
явлении |
асимптотической оптимальности. |
|
|
|
8 |
треиова- я к рассматриваемым функционалам погреш |
|
ностей раньаг всегда зключалось условие ортогональности многочленам некоторых степеней. Оставим в стороне тот специальный случай, когда элементами пространств являют ся фактор-классы по многочленам и когда требование орто гональности просто необходимо, и рассмотрим пространства, элементы которух - функции. Мы замени,! это требование ор тогональности условием точности по поряд i у для некоторого интервала гладкостей. Можно было бы показать, что из ло кальной ортогональности функционалов погрешности много членам уже следует наше условие точности по порядку, JTO значит, мы накладываем меньшие ограничения, расширяя класс допустимых функционалов погрешностей и кубатурньч; формул.
Интересно здесь, то, что Ослабленных требований хватило для установления асимптотической оптимальности.
Зазно таете заметать, что на расширившееся множест-
•1 if о
ве Функционалов стали возможны (то-есть оставляют это множество Функционалов инвариантным)такие4 основные в анализе операции,, как замена' переменных и перемножение Функций. Используя эти операции и удалось построить новые формулы приближенного интегрирования, асимптотически оп тимальные и обладай'.',:-- ослаблено регулярным погт&ичнкм слоем.
В связи с полеченными в работе результатами возник ли ..лвые вопросы, ответ га которые нам представляется полезным для развития рассмотренного направления теории приближенного интегрирования. Сформулируем несколько гаДач.
1) Все результаты об' асимптотической оптимальности устанавливаются для конкретных нормировок банаховых прос транств. Но не известно такого факта, чтобы формулы асимп тотически оптимальные в одной иа нормировиК теряли свой ство асимптот»-! ской оптимальности в друшл эквивалент/
ных нормировках. Ьерно л » , что асимптотическая оптмыал--
О
нисть кубатурных формул проявляется с р - 3 У *>о nctoc эквива лентных нормировках данного пространства.
2) Предложеннке нами но^ьь^овки банаховых пространвтв
*
Ъ(^1) опираются на периодические продолжения функций из Si на бее Я\ Эчо стеснительное ограничение вызвано методом доказательства - мы'воегда существенно опирались на теорему 1, доказанную для пространств периодических функций. ' -
Представляется желательным построить теорию без ус ловия нормировки по периодическому продолкению, заменив