Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
Вторая причина историческая. Теория рядов сложилась в традициях научных ткол Европы: именно ряда служили главным средством прибли жённых вычислений (приближённое нахождение корней алгебраического уравнения, приближённое представление функции в виде ряда Фурье и т . д . ) .
Как бы там юі было, но нам надо сформулировать теоремы, дока занные ранее для числовых последовательностей в форме тѳоре"м для рядов.
Превде всего имеет место следущѳе утверждение; Теорема. Если ряд
си, -t + ... + (Хп. ...
сходится, и его |
cjT.ff.Aa равпа |
Я |
, то |
последовательность средних |
|
арифметических |
частных |
сумм |
|
|
|
|
* |
> |
3 |
•> |
" ' |
сходится к тому же пределу. |
|
|
|
||
Это утверждение |
немедлѳішо |
вытекает из определения сумш |
|||
ряда и теоремы о пределе среднего арифметического. |
|||||
Обратное |
утверждѳ:ше,вообішэ |
говоря», неверно. Рассмотрим ряд |
|||
|
І - І |
+ І - І + І - . . . |
|||
Этот ряд очевидным образом расходится, |
не выполняется необходимый |
||||
признак сходимости. Однако последовательность средних арифметических частных сумм
/ ± А 1_ Ä. X ± і
имеет предел равный |
2 |
Математики ХУІІІ века оперировали с рядами, мало обра щая вшіыаиие па то, сходится они или нет. Расходящимся ря дом приписывали сут.іг,іу. Так Лейбниц писал равенство
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - . . . = ! .
Расходящиеся ряды присутствовали как промежуточный этап в вычислениях. Эйлер, оперируя с расхсдают.лгся рядами, открыл одно из фундаментальных соотношений теор:п: чпсол - фуіпщпо-
.палыюе уравнение для дзета фушицш Римана. Как известно, О.Коши создал теории пределов и строго определили понятие суммы ряда. После этого все рассуждения, в которых встреча лись расходящиеся ряды (в том числе и рассуздекме классиков) нужно было признать ошибочным и искать доказательств кх утверждений на пути строгой логики.
Но наряду с этим был другой, менее формальный подход. Предполагалось взглянуть на ряд несколько ииими гла
зами. Пусть ряц не иі.іеет суммы в смысле Кош::, т . е . является расходящимся, однако возможно, что он ЯВЛЯЕТСЯ носителем некоторой "скрытой суммы", и задача математика состоит з том, чтобы эту"скрытую сумму" "выявить". Сразу приходит в голову попытаться приписать ряду
а А + а г -г . . . |
+• clil + ... |
скрытую cyr.if.iy равную пределу среднего арифметического част ных суш
cl = Lim |
с |
n |
Нам важно заметить, что при этом мы не прихода:.) в противоре чие с понятием суммы по Коміи: в саком деле, если ряд
Clj t- CtP +,..
сходится к сумме Cl |
, то и oi'o "скрытая сумма" равна |
t |
Термин "скрктаи оуѵъи" |
возможно стимулирует интуицию, но |
не |
имеет четкого сіліела. |
|
|
- ІУ -
On itoделение. Ми будем говорить, что ряд
суммируем |
методом |
средних |
арифметических |
|
или |
методом |
(C,ï) |
||||||||||||
к сумме |
О. |
, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
= |
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
О |
О |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
, |
)>5 |
, |
|
. . . |
, |
Oft. , |
|
|
|
|
|
|
|
||
последовательность частних |
су;..-.; ряда |
( I ) . |
|
|
|
|
|||||||||||||
Буква |
|
С |
в |
обозначении |
{С, і) |
|
ставится |
но |
первой |
букве |
|||||||||
латинского |
|
і:а:с:саішя |
фнмішш |
математика |
Чезаро, |
хотя исходные идеи, |
|||||||||||||
о которііх |
мы говорили, |
принадлежат |
Фробеппусу. Иногда |
для |
|||||||||||||||
краткости |
пииу? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(с,.i) |
|
|
CLiч-а, |
|
і-••• -г |
а |
п |
*... |
- |
а . |
|
||||
Так, |
|
например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
{СJ) |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||
Из марем.. о пределе среднего арифметического сле.цует |
|||||||||||||||||||
свойство перманентности |
метода |
(<2, |
I |
) |
. |
Это означает, |
что |
||||||||||||
если ряд имеет суі.гг/ в осшчиом |
смисле слова ( т . е . в смысле |
||||||||||||||||||
Кош), |
то |
он |
суммируется |
методом |
(С, |
і |
) |
к тому же числу <-1 . |
|||||||||||
|
Теперь переформулируем теорему Харци-Ландлу на языке |
||||||||||||||||||
рядов. Для |
этого |
нам |
необходимо заметить, |
что |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
- |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Дан ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a L |
+ |
а |
г |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
( i ) |
||
с вещественными членами, суммируемый методом |
(С, |
d) |
к чис |
|||||||||||||||
лу |
О- |
. Если |
существует |
такая |
постоянная |
Ks |
О , |
такая |
||||||||||
что либо при всех |
Гі |
=1,2, |
••• |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
либо при всех |
К |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
ri |
|
|
|
|
|
|
|
|||
то ряд |
( I ) |
|
сходится |
в |
обычном |
смысле |
слова и |
сумма |
CL . |
|||||||||
|
В формулировке |
атоіі теоремы есть ограничение, что чле |
||||||||||||||||
ны ряда |
вещественны. |
|
Это ограничение можно снять ценой отка |
|||||||||||||||
за |
от одностопных |
условии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Теорема.Дан |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
а |
< |
• |
а , |
г . |
+ |
ссп |
|
h,.. |
|
|
( 2 |
) |
||
с комплексными членами, суммируемый методом |
(С, |
1) |
к |
чис |
||||||||||||||
лу |
а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коли |
выполняется |
дополнительное |
условие |
|
|
|
|
||||||||||
то |
ряд |
(«) |
сходится |
к |
сумме |
Ч- . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Доказательство. |
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Cl - |
АЛ |
i |
I С\ |
, |
|
|
|
|
|
|||
il силу |
условии |
теоремы ряды с вещественными коэффициентами |
||||||||||||||||
|
|
|
|
І>і |
|
*- |
^ |
|
*• ... |
••• |
è,t |
|
+ •• • |
|
|
(2') |
||
|
|
|
|
CL |
|
+ |
Г г |
+ |
. • •> |
Сй |
|
-г ... |
|
|
( 2 . t ) |
|||
суммируются |
методом |
{(-'>•!•} |
к |
сукнам соответственно k и С t |
||||||||||||||
где |
|
А = |
/?е |
« |
|
, |
<: = |
&ч |
CL . |
|
|
|
|
|||||
Так как
- 21 -
Применяя к рядам (2 ' ) и (2 |
" ) |
теорему Харда-Ландау, |
||||||
получаем, |
что |
ряды (2 ' |
) и (2 " ) |
сходятся в обычном |
смысле |
|||
к суммам |
В |
и |
С |
, |
а,значит,ряд |
(2) сходится к |
суммеß |
|
Это и требуется доказать. |
|
|
|
|||||
§5. |
впадения |
из |
теории рядов |
Фурье |
|
|||
Теория рядов Фурье, иными словами анализ Фурье или гармонический анализ, прилагается к изучению периодических
функции. 'Зутсция вег.іествегаюго |
перемешюго f ( X) |
называет |
|
ся периодической, если существует такое постоянное |
число Cl, |
||
что при любом X |
|
|
|
f(X+CL) |
= |
fU) |
|
Теория развивается .для случая футодш, у которых наименьший полокительшіі период CL равен 29і , но, конечно, вся тео рия без труда переносится на случай функции с любым периодом.
Примером функции такого типа являются тригонометричес кие полинога (многочлены), это выраяеішя вида
/Гх) = Jll + ^ [ a , L тих + 6 п и я и х ii'-i
Mu видим, что коэффициенты тригонометрического полинома У' ( X ) выракагатсщ по форлулам
ein - ^ |
J |
f(u) ced/пи daf |
ія-С.і,...,*/. |
|||||||||
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
- |
1 |
J_ |
If |
и) |
iem |
uni |
du, |
m=Lp. |
|
, . ,л/ |
|
1 J i u |
£ |
' |
J |
|
|
|
|
' J |
' |
|||
|
|
|
-% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Естественно |
попытаться выписать подобные соотношения |
|||||||||||
для более |
широкого |
іихасоа |
периодических,о |
периодом |
£ |
|
||||||
функции |
/ (X) . |
Л\;ен;ю |
мы будем |
рассі.;атривать |
абсолютно |
|||||||
интегрируемые на f-ST, ',% ] |
по |
Рпману функции |
/ |
(X ) |
|
, пе |
||||||
риодически |
продолженные |
на |
пега ось. }'ля такой фуіищші |
|
f(X) |
|||||||
выпишем коэффициенты <5урье |
|
|
|
|
|
|
|
|||||