Файл: Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 82
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
1 - |
|
і ч |
|
|
Пусть і -~ 0j в силу соотношения (7) по второй теореме |
|||||||||
Абеля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І-* |
О |
|
|
|
|
|
Далее мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
-it |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
Так как |
1 - 6 |
é -J-C |
, |
то |
|
|
|||
и значит. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При любом |
T |
в |
силу |
Y (і) |
|
С |
|
|
|
Отсвда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это неравенство |
верно |
при любом |
/ |
и значит, |
|||||
Итак, при |
i |
—>с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
- |
Ltf' |
~ |
« і ^ |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
126 |
- |
Таким образом, при 4 —~ О
j |
it |
LLjc |
ас |
l__Lt |
|
|
|
|
|
Поскольку |
II U) г |
0 , |
то по таубѳровой тѳореиѳ |
Харда а Литтлвуда |
|||||
для преобразований |
Лапласа при |
Т ~ * |
^ |
|
|
||||
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и1 u m |
'V |
|
х |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(T)-ü(o)~ |
|
X |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
/TL j |
|
|
что равнозначно |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
e r ) - |
X |
• |
|
о ) |
|
Теорема |
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы были вынуждены ограничиться |
минимумом' |
сведений, |
отно |
|||||
сящихся к уравнению восстановления |
( I ) . Лнцс Ентересущи^ся |
sтам |
|||||||
кругом вопросов, мы отсылаем к главе УІІ книги Р.Беллмана и К.Кука
"Дифференциально |
разностные |
уравнения", М.ДЭ67. |
|
|
|
|
||||||
§ 3. |
Тауберова |
теорема о |
свёрткеиг |
|
|
|
|
|||||
Нижеследующая теорема |
носит |
элементарный |
характер, |
однако |
||||||||
в приложениях она оказывается весьма ^ффектиБноа. |
|
|
|
|||||||||
Теорема. Дана последовательность вещественных чисел |
||||||||||||
|
о |
|
|
р |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
. f t |
•? |
/ і |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jo-О, |
|
U |
|
> |
Р, |
|
|
|
|
||
|
X |
|
h |
|
= I |
< |
|
|
|
|
|
|
|
/1=0 |
тех |
It |
, |
для которых |
/п |
> |
j в |
равен |
|||
общий наибольший делитель |
|
|||||||||||
единице. Положим |
І10 = і |
|
и определим |
{і п при |
п |
? |
і |
формулой |
||||
- 127 -
Тогда |
|
|
|
|
|
|
где |
. |
|
|
|
|
|
|
^ к fn ' е с л и ^ ^ |
І Ь І П |
- |
С Х О Л И Т С Я ' |
||
|
* = і ' |
|
|
|
|
(2' |
|
0 |
если ряд |
J>__ /г / п . |
расходится. |
||
|
|
|
л = і |
|
|
|
|
Доказательство. Положим |
|
|
|
|
|
|
2/г |
~ І~п->-і |
~* |
fn+ц |
+ |
|
Отсюда
Мы имеем
Отсюда /поскольку получаем Обозначим
Получаем
|
|
ѵ4/ г |
r |
d „ _ t |
- •• • - Ac-2c |
LLC |
- t . |
|||
Итак, при любом И- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из определяющей формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|||
по индукции |
получаем |
^ л |
* |
i |
. Положим |
|
|
|||
|
|
./1 |
= |
Um. |
lla. |
|
|
|
||
для любого |
L |
> 0 и всех |
достаточно |
больших |
iL . |
|||||
и суш.ествуѳт |
подходящая |
последовательность |
номеров И ( , такая, что |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
- 128 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
Ü,i, |
- 'X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пусть |
j.. > 0 |
такой |
номер,' что |
^ |
> О |
. Докажем, |
что |
|
||||||||||
Доказываем это от противного. Если бы это было не |
так, |
то |
нашлось |
|||||||||||||||||
бы такое |
.Я |
, что |
при достаточно |
больших V |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Так |
как |
Р,ь |
|
есть |
остаток сходящегося |
ряда, |
тс |
найдётся |
^ |
|
та |
|||||||||
кое, |
что |
|
у |
-é |
£ |
. |
Tait |
как |
ІІК |
< j |
, то |
при |
а |
? JV |
имеем |
|||||
по формуле ( I ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ÜII |
é |
ft {1>L -Г h |
Un-L |
+ |
• +/jf |
U-П-А' + |
Д > і |
|
|
( 4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
.'I - |
1 ; |
с |
большим индексом |
^ |
|
. В этом |
неравенстве |
ъ |
|||||||||||
правей |
части |
воспользуемся |
тем, |
что |
|
|
< Я + £ |
и |
Ui,-J. |
< |
. |
|||||||||
Это |
даёт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмём £. настолько малым, |
чтобы {:(%-Л') |
У |
. |
тогда |
id' s |
' |
|
It г < |
Я - С |
|
|
Это противоречит предположению, йтаіс.
Повторяя эти pêR-еувдения, получаем, что орк любам целом А.' » О
Предположда, что |
fL.1 >С |
, т . е . |
что |
j . = £ |
. |
Тогда |
при любом фик |
|
сированном |
целом К |
|
|
|
|
|
|
|
Полагаем в |
формуле |
(3) |
П- = |
,) , |
получим |
|
|
|
При фиксированном |
У |
каждое |
О-п -ц |
Л |
. так |
что |
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ilm /-/„
По
Отсюда
Устремляя Л' к бесконечности, получим
|
à/71 |
CL. |
± |
p |
|
|
'A |
|
|
|
|
Если |
p = 0 |
, |
т . е . ряд |
|
|
расходится, |
то в силу |
неравенства |
На ? і |
||
Пусть |
теперь |
ряд |
|
|
|
2L, 1 1 fil
~ 130 -