Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

іункцил

(8)

определяет параболу,

правая

ветвь которой

(хъ

І представляет собой частное решение уравнения ( 5 ) , проходя­

чеє

черев

точку

іМ>(Х',У°).

Подставляя в уравнение (S) функцию

У~°

,

видим,.что эта

функция обращает

его в тождество

при любом

-*

..Следовательно,

функция

$~ 0

есть решение

уравнения

( 5 ) . Легко

видеть,

что

о

есть

особое

решение

уравнения ( 5 ) ,

ибо черев каж­

дую его точку

°) ^проходит

еще частное

решение травне»

вия ( 5 ) , а именно, правая ветвь

параболы

\/~ (х- *'J*>

х^ь-х*

Таким образом,

в каждой точке, лежащей на решении

у =*о

нарушается единственность. Легко видеть также,

что ато реше­

ние

у-

о

нельзя

получить из общего решения

(в) ни при каком

(постоянном)

значении параметра

С

(см* аамечание

Ц ) .

На примере

простейшего уравнения

j£

= і(у]

мы видим,

что решения дифференциального

уравнения

не всегда

являются

елементарними

функциями,

ибо

Jff*J*x

может

оказаться

незлементарной

функцией.

Более того,

не всегда

решения диф­

ференциальных

уравнений

можно

представить

при помощи интег­

ралов или, как говорят,

в атом случае,

ори помощи

квадратур.

Ниже мы рассмотрим различные

классы

уравнений

I-го порядка,

решения

которых

представніш*-

в

квадратурах.

| 2 .

Уравнения с разделенными

и разделяющимися

переменными.

Крок* дифференциальных уравнений первого

п о р я д » ,

раз ­

решенных

етаосительво производной

0)

мы будем рассматривать также уравнения айда

*W',yj

-- о

fa

называемые уравнениями в дифференциальной форме.

В уравнении (2) каждую иа переменных х и

у

иожно рассматр

Два

дифференциальных уравнения

иы называем эквивалент­

ными

в некоторой области

£>

, если

любое решение

одного

ив

них в

области

Э

является также

решением:, второго урав ­

нения

и

наоборот.

Уравнение

(1)

мы всегда

можем

ааписать в виде

эквивалент­

ного

ему уравнения

J W

-

<

t

y *

o .

(з)

Так

как уравнение

(8)

есть

частный

случай уравнения

( 2 ) , то

мы всегда можем

перейти

от

уравнения,

раврешенного

относитель­

но

проиеводной

вида

( /

)

г.

эквивалентному ему уравнению в

говоря, неверно'. Для того чтобы перейти

от уравнения (2) к

уравнение

вида

(1),

мы должны проиБвести

деление на

функцию

<,V(*,\j)

, І

тем самым исключить ив области ^

точки, в

которых

tM(x,y) = o

і

тогда получится уравнение

Проивведя

esy

операцию,

мы можем потерять некоторые

решения

уравнения ( 2 ) ,

а

именно те функции

}/(*)

, определяемые

урав ­

нением <У(*,у)-0,

которые могут

ока виться

решениями уравне­

ния ( 2 ) . Н а п Р и м в Р >

лобое

уравнение

вида

,

имеет решение

х~ і

(ибо для точек

етой

прямой

о/х-о

) f

а при переходе

к

уравнению

где <Afrl •

- функции,

непрерывные в областях а І у І і

Є £ у ± с(

соответственно.

,

„U(x)

с/х

у ^

=• О.

•Тем самым рассматриваемая

функция

у= уґ*)

является

решением

тоаввення

(5)

в

(&•, ^При

рассмотрении функций

х=х

(у)

рассуждения",

аналогичны. Перейдем теперь

к уравнение

uUfrj

$

(у)

of* -t P(Y) и/

(#)<>(#:- <?,

ftf

называемому уравнением с ра8делмющимисл переменными.

8десь

асе),

PC*)

I

GW^t/J

-

функции

непрерывные в

промежутках

eti/i.

€

I

с

е у

с

/

соответственно.

Ив прямоугольника

2^;a^д•s(f^

с*у±с/

исключим

все

прямые

у

- х«

и

,

где

-Ук и

у*

-

вещественные

числа, для

которых

Р(*«.)

= о

Q

(#к)

- О

.

Тогда

в

оставшейся

часта

Э

РС*)*-о,

Q(y)*o

Деля

уравнение

(7)

на

'

P(*)Q()f)

,

мы можем «вписать

его

в

виде

уравнения

с

равделанным*

переменными

рс*>

W?)

* '

совокупность всех решений которого, в силу теоремы I , опре­

деляется

ооотнояением

где

С-

пронввольная

постоянная»

Для получения всех решений уравнения (7)

к

совокупности

.функций,

определяемых

соотношением

( 8 ) , следует

прибавить

все

прямые X -/к

и

У~У<

* Д** которых

Р(х*)-о *.

•елі

уравнения

Pfxj

= o

и

имеют вегрственные корни.

интегрируется в

квадратурах.

_фШМ«£.

j(</X+yJ/=

О.

Bee решения данного уравнения даются формулой

/ж***/у*/

-С

или

лгЬу^С