Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 256

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть

у - {/(X)

-

какое-нибудь

решение уравнения

( I ) . I

Положим

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

/ .

 

 

 

d)

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и ив (1) при атом находим, что функция

 

удовлетворяет

следующему

уравнению с разделяющимися

переменными:

 

 

 

 

Utx^

 

= ГС").

 

 

СЗ)

Пусть теперь

lt-u(t)

есть

некоторое

решение уравнения

( 8 ) .

Рассмотрим

Функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У г

 

U(x)-X)

 

 

 

 

для которой

 

 

-

U. + X

<^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

u (8)

U--jf

 

и учитывая

(4),

находим

 

Следовательно,

функция

 

у-и-л

 

удовлетворяет уравнению

( I ) .

Таким обраеом, для нахождения всех решений

уравнения (1)

 

достаточно найти все решения уравнения

( 8 ) .

 

 

Перепишем

уравнение

(8)

в

виде

 

 

 

 

 

Хс/и=-

£<((Ч- bJSx-

 

 

(Г)

Для уравнения

(5)

вовможны следующие два случая:

 

I ) V>fujгс £ о

 

и 2)

-WW- и- ~?Ф о

 

В первом случае уравнение (1)

І* _ > с/Х ~ X

представляет собой уравнение с раеделяющимися переменными, общее решение которого дается формулой ]

Пусть теперь

iffuj-uy^O

. в области, где

- и Ф о

уравнение (5)

эквивалентно

уравнению с рааделенвымн

пере-

меннымн

/

 

do.- _ сіх

совокупность всех решений которого записывается в виде

Дія получения

соответствующих решений однородного уравнения ( I ) ,

в силу еавпсимости (2)достаточно в последнем уравнении поло­

жить

U.-J-

, что приводит

к

формуле

Допустим, наконец,

что уравнение

 

•

-

 

Y(u)-

и

-'

°

 

имеет

вещественные

корни

IL-UK

, где и*. - постоянная.

Легко

видеть,

что функция

 

 

 

является решением уравнения

(8І,

которому

соответствует

интегральная

прямая

однородного

уравнения

О )

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, для получения'всей совокупности решений урав­

нения (1) к однопараметрическому семейству функций (6) мы

 

должны присоединить все функции вида

(7),

если

только уравнение

Ц(и)-

и.-О

имеет вещественные корни

U - t/ic .

 

 

 

Замечание.

Рассмотрим

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОС(у,

^

fa yjetj

=

О)

 

 

_

Ґ&)

где

Jcfay)

и

>л/(*,¥)

- однородные

функцій одного

• того же

намерения

/*

... Любое

такое

уравнение в області определения

функций <уЩ*'У)ш

'"'('''У],

которойисключено

множество

точек,

где

 

<л> (Sij)-O.,

приводятся к уравнению вида

(1)

 

 

 

 

 

 

 

Jx

~ " u/faflj

.

 

 

 

 

 

ибо

при нашем условии

относительно

*Ж-/г,У) и

 

функція

_

'S.f'JJ.

является

однородной функцвей нулевого

намерения»

 

^

(х>?)

 

 

 

 

 

 

Гос.публичная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V4HO - т?>хки

г - я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скбл:іотока

OvX-r

 

 

Легко

 

видеть,

однако, что

уравнение

(8)

с

помощью той же

подстановка

 

U

- у -

приводится

непосредственно

в

вюзивалент­

ному уравнению

с равделяющвмися

переменнвми

следующего

вида:

-

Чтобы убедиться

в атон достаточно в уравнении

(8)

ааменять

ofg

по

формуле

 

 

dy*

uafy-t' хсіо

щ ваметить,

что

если

i/tfr.y)

в

 

л/Сх,у)—

однородные

функции намерения

 

>ь

,

to

 

 

 

 

Полагая

и ~ $ ~

» получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя,

 

найдем,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•L

=. -Си

(С* J у

V -

~

 

 

 

 

 

 

 

 

В рассматриваемом случае

Y(u)~

и " и*

•

Уравнение

и * =

&

 

имеет

единственный вещественный

корень

tc

= о

,

Ему соответ­

ствует

ревение

раесматирваемого

уравнения

вида

 

У -

°

•

 

Таким обривом, совокупность всех ревений нашего уравнения

 

составляется

иа

семейства

линий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

прямой

 

у

- 0

»•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим уравнение

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

й покажем, что оно приводится

либо

непосредственно в уравнению

а раэдаляввТнисяг. переменными,

либо

к однородному дифферен-

цнальному

уравнению.

Беля

=•

-о

» то (9),

очевидно,

 

является

однородный

уравнением. Будем считать, что по крайней

мере

одно

ив чисел

<*,

или

Q.

отлично

от нуля.

 

 

При

втом

могут

представиться.два

случая;

Г. Прямые

tiy-tc,

= o

иг**

hy+fj

~°

параллельны

и 2 ,

вти прямые пересеваются в

 

некоторой

точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае !. существует число

 

о

какое,

что

-

jr ~<

И потому

д^у^ £ у s

к

(а., XI £у)

и уравнение

(9)

прини­

мает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U.

 

J

f^lAl^JL

 

\

 

 

 

0°)

Положим

* = Ч * * 6 /

 

. Так как

J y " - * ' +

^ ^

» *°

легко заметить,

что уравнение (Ю ) аквиваяентно

уравнению

с

рв8деллющимися

переменными

вида

 

 

 

 

 

 

В случае 2 введем новые переменные по формулам:

Тогда

 

 

4L

ї

ї .

й

.

а

 

 

 

 

J* ~ ot^

c/J JX

J

 

 

и так как

^У.

/

еЦ

J

 

ю

 

Пусть

теперь

 

у

-

yfxj

J некоторое решение

уравнения (9).

Тогда,

подставляя

в

(9)

х=^*х<> и

y/Vj = ^ + / o

, на осно­

вании

( I I ) и (12)

видим,

что функция

^

= У$ +y'J~Jb

будет

решением уравнения

 

 

 

7 / = 7 (

<Ь1+&(+Ъ**6*<Ь

Смотрите также файлы