Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 257
Скачиваний: 1
степенях |
х |
|
|
, получают систему для нахождения искомых |
||||||||
коэффициентов |
многочлена |
|
. 8та |
система всегда имеет |
||||||||
единственное |
|
|
решение. . |
|
|
|
|
|
|
|||
Пример |
у |
" |
j |
Q |
~* |
|
В атом |
случае |
характеристичес |
|||
кое уравнение |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
||||
и его корнями |
її/ |
|
- |
|
К, - |
о |
|
„ |
j |
|||
|
являются! числа |
$ |
Л* - |
- Ї . В ваиине |
||||||||
случае |
J. - |
- |
j |
- простой |
корень |
характеристического уравве |
||||||
повтоцу |
Xt |
- |
і |
я частное |
|
решение |
исходного |
уравнении надо |
||||
искать в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ к |
Отсюда
или, посла сокращения на |
Є~* |
, |
Приравнивая коэффициенты слева и справа при одинаковых етевенлх X , найдем, что
Следовательно, частное решение рассматриваемого уравнемая
имеет вид
У? - а*г+х)е~*,
а его общим решением будет функция
б) |
Пусть |
теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(») |
= ed"(P(')^f |
|
+ %(*) |
|
X)J |
|
|
• |
||||
где |
f?(*) |
|
и |
|
|
- |
многочлены степеней |
/м, |
и |
лг^ |
соот |
||||
ветственно, |
a |
oi |
к |
уЗ |
- |
вещественные |
числа. |
|
|
|
|||||
|
Теорема 2 . |
Если |
правая |
часть |
уравнения |
( I ) имеет вид (5) |
|||||||||
и число |
di-i'j^ |
|
является |
t |
-кратным |
корнем характерис |
|||||||||
тического |
уравнения |
(Э) |
( |
1^0 |
г |
если |
oC-t-^ft |
не являет |
|||||||
ся |
его корнем), |
то уравнение |
(1) |
|
имеет решение вида |
|
|||||||||
|
If^^Q^(Qt(x)ta>fi*+ |
fa |
|
CxjS>«j*), |
|
|
|
СІ) |
|||||||
где |
(*) |
и |
$л(х) |
- многочлены |
степени |
не |
выше |
|
th = |
ах(>Ъ *ь I |
|||||
|
Это |
предложение |
мы тоже |
не доканываем, |
а пользоваться |
||||||||||
им на практике |
нужно так же как теоремой |
1, |
применяя метод |
||||||||||||
неопределенных |
коэффициентов. Причем в атом |
случае |
следует |
||||||||||||
приравнивать коэффициенты слева и справа |
при Xfe"j* |
|
|
и |
|||||||||||
Xeh»Jlx |
|
|
і |
І = |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|||
Заметим, что функция (2) получается ва функции (5) при JZ = О. JJpwtep. y'L ^ - см у Характеристическое уравнение
имеет вид
а его |
корни суть |
<*", - |
, |
~1 |
. В |
навем случае |
ol- О , |
||
Jb-'l |
> • |
число |
A-ti'Ji = і |
не является корнем |
харак |
||||
теристического |
уравнения. Поэтому |
• %- |
о |
и частное решение |
|||||
рассыатвваемого |
|
уравнения |
надо искать |
в виде |
|
||||
|
у - $С4»Х |
+ 6hhX |
|
|
|
|
|||
.И
Праравнавая |
ковффвциенты оря |
Сшх |
щ Л л х |
слева а |
спра |
||||||
ва, получай |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
~1Л= I г |
- A3 |
= О, |
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
частное |
реаенне |
нашего |
уравненая имеет вид |
|
|
|||||
а его общее |
реиенне дается формулой |
|
|
|
|||||||
|
Замечание. Частное решение любого линейного неоднород |
||||||||||
ного |
уравнения |
о |
постоянными |
коэффициентами и правой |
частью, |
||||||
представляющей |
собой |
конечную сумму |
функций вида (2) |
или |
(5), |
||||||
находится укаванны» методом неопределенных коэффициентов, |
|||||||||||
применяемым |
к каждому |
слагаемому ж отдельности, |
что |
следует |
|||||||
Ив теоремы 2 |
15. |
- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ив |
всего схаванного выше следует,' что любое режевае ли |
|||||||||
нейного |
неоднородного |
уравненияj. |
постоянными |
ноаффицвента- |
|||||||
мя а правой частью, представляющей конечную сумму функций |
|||||||||||
•ада |
( б ) , явялетоя влементарной функцией. |
|
|
|
|||||||
Глава U\_. Системы дифференциальных |
уравнений. |
|
|
|||
S i . Канонические и нормальные |
системы |
уравнений. |
||||
Всякаж система уравнений, в которую кроме искомых функций |
||||||
одной переменной входят некоторые их проивводные, |
называется |
|||||
системой |
обыкновенных дифференциальных уравнений. Самую оВ*кую |
|||||
Систему |
,/г. дифференциальных |
уравнений с |
/г. |
искомыми |
||
функциями |
$*(*),••.• |
можно ваписать |
в |
ваде |
||
яС'^К-у^', |
№---yyh--'-i |
|
|
|||||||
где |
Fj (i'= |
<}1>--Л ) |
" некоторые веданные функции, определеж- |
|||||||
жы» • |
соответствующих |
областях изменения |
аргументов. |
|||||||
Всякую совокупность |
їв |
ft- достаточное число pas диффе |
||||||||
ренцируемых |
функций |
ft(*l, УьЬ); • • • |
|
|
, обращающих на неко |
|||||
тором |
промежутке |
CL'X* |
& |
каждое |
уравнение ив |
( I ) в тож |
||||
дество, навивают |
режением |
системы (1) |
на |
данном |
промежутке. |
|||||
Если систему ( I ) можно равревить относительно старжих |
||||||||||
прожажодяых |
у/"*'' |
у*1**, |
j |
Ум^К |
*о |
мы получим систему вида |
||||
Твжу» систему нааывают канонической системой дифференциальных уравнений.
Систему уравнений вида
нааывают нормальной системой дифференциальных уравнений.
Две системы дифференциальных уравнений называются еквавя- лентными, если они обладают одними и теми же решениями.
Любую каноническую |
систему |
( I s |
) . можно |
привести |
К 8КВИВЙ- |
|
ленхной ей нормальной системе |
|
уравнений первого |
порядка |
|||
вада ( 8 ) , где |
/н •= |
+ Л / Л |
- + |
, |
|
|
мы не будем приводить доказательства |
«того утверждения! |
|||||
в общем виде, |
а докажем |
его (для сокращения письма) |
для хано- |
|||
ннческой системы вида |
|
|
|
|
|
|
Введем в рассмотерние новые функции
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
если функции |
у,(х) |
, |
fat*) |
составляют решение |
системы |
(3) |
||
на |
некотором |
промежутке |
|
f |
то в силу формул |
(4 ) функции. |
|||
fit*), !fi(*>, |
Уз(*>, |
Уч(*> |
на |
том же промежутке будут |
реше |
||||
нием нормальной |
системы |
вида |
|
|
|
|
|||
N
Если же ff,(x), fit*), Уг(*' *і/ч(*) - некоторое решение системы (5) на (а.,4) , то в силу формул (4) и последних двух
уравнений ив (5) функции frfy j fo*x) будут решением системы
