Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

или а векторной форме

*Ф

и

S

- взатрмцы пхп

•

X. = (х,,

scis...

x „ J

_ фазовый вектор Ù^iu1tU,,...Un)

-

вектор

управления..

Оба вектора есягь фунвди ареиешо

US и- будем ечвдаяь,, адо

Un-

мерный

паранлеяекйнед,,

Требуется

к а й я •паразленаэ

U

.

9 кагоров он иереаоди©

объект

из СОСТОЯНИЯ

X(Oh

Xе

з другое соогояшѳ,,

довдшар,

в

аачадо «хгадина?

x(Tj*Q

за шшмаяьйое

вреда.

Из рассиотрекннх ранее арьиеров и раосувдешй

ййедаеЯц «га©

эта задача разоивавѵоя на несколько ошоскоягельЕгк щадач»

Задача I .

йайтга решекае

оопрязекногс уравдеаая

при произвольном начальном условии

V(oJ «

-,

Эта 5>.'дачг в оркнцише корсшо изученао Если HSBecsnœ

зорт

характеристячасггагз

уравнения

(собственные числа

) ,

тс

(для различных .корней)

где

~ некоторые векторы.

Существуют и радличные"метода приближенного решения этой

. •

•

.п-...,э.- .

вадачн.

' " И с п о

л ь з у я

принцип максимума^найти

управление

для

аайдешого' нетривиального 'решения

-? .'-

Для решения этой задачи

составляется

гамильтониан

•V,"-, Atoo...

. . . . . .

. _ . - н ' . . .

и определяется

из условия максимума .

Шerse Й

- ГПах

£<!/У

Найденное' упра^енйеЧІЬ^ет"едннс^

4 1

" ш

задачи выполняться всегда,

[.

Зная''упракаеятв'1'^/,,^ йаЛйг соответстзуюипло

траекторию

x{tj

, исходящую ss заданной начальной сочки

,

удоздвСБсряи

-^едузвцему уровцеілю*

п

"~ Этаг задачасэодиасяJE решений

даЦдоетрального уравнения объек-

' та при оятамааьаом зшраасенни„

Эта классическая задача. Ре-

rjt

.-• • at.-

г-.

О,

rjm;

. .-.-ѴѴЧІІ"' '-.„г.

шать её

ш умеем. Однако здесь* иы сталкиваемся со следующим

u;j>.?.sHi№ уелеоа 4-- мзте/

^ЯІІѴКОВО .< іі.алхсу устойчивое-.. І - О З -

лршцашвад&нш обстоятельствок„

g^eascrc

^аижекия

агасеіо

объекта

л A :

•.-ііи.еяяьі

ид;«л:эльпь •

Управление

^/с/гашскт

от начальных условии

г

, сЛёдова-

талы ) определенная фазовая траектория xitj

будет

зависеть

В лачгсл'ф: (вуккшіЕ. .Іяг.уноза

эс-ььмеи вы ^г.-шс

от

г;*-

. Вели мы наудачу выбрали

Y

» то у нас мало шан-

ъ

• . ''

X

. з?г.. и.

ит ; dt

- V ' - ^ r .

-^tf',''

сов надеяться яа те, что полученная траектория Л"/с/попадет в

По наяалт; кс%дшшо.{нух4оег конечноеІ еостоявие^. Для разныхл f '

Аожаѵельно

определена. и>стаэи7. золну» Зіоизаод;о*

ар&меьь

Х.---А (х,,.:Я„

и,,... OlvJ (i: >,i,..,nj

о st«. «>.

X;{oJ-

x'i

<

'-0

(c-

•'• nJ

U K ( O I ,

U'K

;

W W -

О

(K*t,l....m)

Пусть требуется управлять объектом так„

что функционал

ta

У

= ff

fa,...

Х„ І U,,... Um J

&

о

.Если подставить

управление, гйинимизіфующае фунісционал з урав­

нения объекта,

то получим оптимальную траекторию в фазовом

пространстве x(tj.

Разобьем

оптимальную траекторию на два

участка: первый

от

£ = О

ди t = t

к второй

от t* î до £ * п г ' . ,

Р И-ллманом

был выдвинут

следуюліий

принцип

оптимальности:

нием т:; е. в момент

r:"X«s''VWj.:. .

. .

іеі.

Согласно

этому принЩпу,

'если траектория

в интервале

от

11 О

и

t » f

оптимальна,

то

второй участок

траектории от

t*

t до

t

* «*

также яыляется

оптимальным.

Запишем

S faff** /"следующим-образом--— - —

—

равления доставляют, минимум интегралу

ï

Fc/t

, то они ö"-

дут доставлять

также минимум интегралу.. . I-Fttt

;.,

Поэтому:>

-:

-чк.

Г

ГГІіа \fctt--

S

(г),

...л„(t)]

Вели Т

достаточно малая величина,

то

имел в

виду,

что

х.

(г)

•*"<• (о)

*

л х- .

х'

+

л xi

t

можем написать

~

.<

• • * Jug

à

-

5

i x <

• • • •

J *

Вели учесть, что <; .

у

-

у

r

я;~

±

то получим

•

SSkCtJ,...

x„

CT']

n

f.

(ас',

u'Jt