Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 0
-У1 -
Функционал получав? вид
следовательно. Г,, |
= Сг |
= .... |
Сп |
= Oj |
С^, |
= |
1 . |
|
||||
Задача |
отличается |
от іфедыдущих„ тем что конечное состояние |
||||||||||
о б ы ж т |
заданор а |
время |
не фиксировано. |
|
|
|
|
|
|
|||
Находим вспомогательные |
переменные |
|
|
|
|
|
|
|||||
^ ' . „ Т Ѵ . М |
(\*{.г,...п) |
Ф„.,--0; |
|
--Ccast |
|
|||||||
7 |
tri |
1 ?*/ |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничные |
условия. УѴ'"- ^/ 0 = |
п- |
|
У н е |
н е |
имеют |
||||||
место, т.к. они получены для свободного правого |
конца |
у |
нас |
|||||||||
зе |
он фиксирован. |
Но граничное условие |
% * t (TJ = -i |
- - |
СП,/ |
|||||||
сохраняется т.к. |
правый конец координаты |
Х П |
І 1 |
как |
|
|||||||
функции времени остается |
свободным. Найдем |
гамильтониан |
|
Оптяшдькое управление найдется из условия максимума гамиль тониана
-moss. Й иеЦ
т^е. |
вС можно не учитывать (т . е . можно не учитывать |
хпН |
) , |
||
а граничные условия кмеют вид |
|
|
|||
х(Ь) |
*х° І |
X(TJ --xr, |
Z Vi (TJft [x(r/M(rJ, |
rj*et |
|
или |
ß-/(rj |
>0, |
|
|
|
т.к. произвольное числа oL>0 . |
|
|
|||
Рассмотрим пример. |
Объект управления описывается урав |
||||
нением |
|
|
|
|
- 92 -
Требуется найти алгоритм управления,, переводящий объект из
положения |
x(oJ' = о, |
x(ûj=0 |
|
(т . е . из состояния |
покоя) в |
|||||
положение |
х(т)'• |
x r |
; |
x(Tj s |
о |
за |
минимальное |
врелет.. |
||
Ils управление U |
наложено |
ограничение- |
/и/ * |
t-'max |
. За |
|||||
пишем уравнение |
объекта |
в |
виде |
системы |
( X, = х |
) |
|
или |
|
. |
* |
ь |
и |
|
|
jf-l-J. |
1 - -h9Lt ! ' |
|
|
ê-l |
• |
||
|
ai |
ail |
|
|
' |
G>J |
|
Находим вспомогательные |
переменные |
|
|
||||
Ъ -'К |
?x~t |
Г г |
Эя, |
- |
а, Ъ |
|
|
ИЛИ
Ч>=-Ж-Чч |
J -- / / |
_ St j |
|
L |
at •' |
Составляем характеристическое уравнение для полученной системы
\ Р ~Wl |
I - pfP- |
: рг- |
+ -L- -О |
Характеристическое уравнение можно получить из характеристичес кого уравнения объекта, если у коэффициента при Р изменить знак.
Пусть корни характеристического уравнеші/.- будут /і и Ѣ
|
- 9 3 - |
Режеш* дня |
assess звд |
Vi* С,
Составляем ramussTOsesaH
Мшсзхст $унхцвя |
достигается при |
|
||||
= umScan |
4<i |
- Um |
Sign /с, »Рі^ CiePci |
) |
||
Это H acïïb искомый алгоритм |
управления. |
|
||||
Зосле окожчаиня |
управления |
U |
' должно |
быть равно Щт~ |
||
Зосздянше |
С,, |
н |
доляжы быть подобраны так, чтобы в |
|||
момент t • Т объект оказался в |
аоложешш s ' „ |
Яродасс з/нраздгшя МОЕНО иллюстрировать следующими дкаграм- шиш, (Рис.17)
Рис.17 Переходный процесс при Оптимальное управление
подаче на вход и~ —
ЕСЛИ объект описывается дифференциальным уравнением
-94 -
••силу зздишюв ѵкстеми дифференциальны:-, уривѵыыи.
,Ûi-.-rp порядка с постоянными коэффициентами, то определе ние оптимального алгоритма управления производится совершен-
|
~~й " |
|
|
|
|
> |
|
-/•77. ~ Z- "g"C. ' |
, J r - |
J"<- |
•-' |
W |
||
но аналогично. Имеет место следующая'теорема od " п " ш - |
|
|||||||||||||
тервалах',квпервыедоказанная Фельд^аумом.^тт- 1 |
•' |
і. _.- .•, |
||||||||||||
|
>Вс^-'Ьоьбкт''СШс1вве9ёй''линейв1н дифф^енциалыши.1?:- |
м ѵ • |
||||||||||||
уравнением - ff -го порядка |
с постоянными коэффициентами и |
|
||||||||||||
корни4, его' характеристического" уравнения вещественные |
отри- |
, |
||||||||||||
цательные"или нулевые, то оптимальное управление будет со- |
|
|||||||||||||
держать'не |
более" ^И;іійтерваайв;-Ше*оансет«^йака, в-кото- |
|
||||||||||||
рых оно принимает граничное^ |
|
|
|
знака Л.<.ѴИ.-Й.Н |
||||||||||
за период " у п р а в л е н и я ' н е й р е в ы Ш а е т . и о з ь |
|
а |
||||||||||||
|
Пусть |
объеіст' ^бписываетсяЧ-диіфе#ёвдиалввым |
уравнением •«.." • |
|||||||||||
с |
пдстояшшми'каэффип^ен^амИ'01^1'-" іФ-порядкать |
ііолунаалезіо- |
ликлі-. |
|||||||||||
|
- : ^ т е ш y n p ^ B h ^ c |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||
|
Ые- + |
|
cfn., |
|
+ ... |
+ с/, |
+ |
a>öX |
KU |
|
|
|||
|
|
|
|
|
oit |
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим задачу о максимальном быстродействии, г . е . |
эа - |
|
||||||||||||
дачу о |
переводе |
объекта |
из |
состояния х |
в |
х |
за |
мини |
|
|||||
мальное |
время. На |
единственный управляющий |
параметр |
нало |
|
|||||||||
жено ограничение Juf |
é Umax |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Запишем уравнение объекта в форме системы |
( х-х, |
) |
|
||||||||||
|
|
X, |
|
= |
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sc„ = - aâ/7-/ х„ |
а , х : |
- сУаХ, |
* |
KU |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Или в векторной |
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
X |
=Лх |
t |
ѣи , |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
О |
{ |
0 |
о |
|
О |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ь = (о,о, |
|
|
||||||||
|
|
а |
о |
1 |
о |
|
О |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-а. -а/, -с/г
Вздем иредаш&гать,, что собсквешше числа матрицы |
А |
т . е . кор- |
|||||||
ш яараетвркстичіеского |
уравиешвд объекта |
- |
вещественные |
отри- |
|||||
Ярвшшш для |
оаредедекня зектор-^ункцик |
Ч> - ( % , % , ... Ѵл ) |
|||||||
где |
- |
транспонированная матрица |
(поэтому |
V,- |
- |
||||
называются сооряхеЕНши |
яеременкши). |
|
|
|
|||||
Коли собственные |
числа |
матрицы |
А - вещественные, |
то будут |
|||||
|
|
|
|
|
|
„1- |
|
|
|
звщэствешшш s |
собственные числа матрицы |
- Я І |
пусть они |
||||||
а д а |
|
Рп |
, тогда общее решение для |
f- (é J |
|||||
зашшеуся так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С о с т в ш шшльтониан
Условием шксимума гамильтонигда с учетом ограничения будет
LU Umex $ig„ (%*>/ = ^внмг Sign К +п = |
VÇ, |
|||||||
S . K , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fft |
|
fr |
|
Pot |
у- _ |
/>*<! |
|
%(ij-.C,e |
*с2е'+... |
+ с„е |
= I , * |
|
||||
йоввдму оптимальное управление определится формулой |
|
|||||||
^ |
= и„ож |
Sign {LCKe |
J |
|
|
|
||
MssecTHo, что сумма |
п |
экспонент |
с вещественными |
показате- |
||||
дшкзн саэает |
шагь не более |
/ 7 - / |
корней. Следовательно, число |
|||||
ян?ерзадов |
постоянства |
знака |
U(t) |
будет |
не более |
п . |
||
именно это и утверждается в |
теореме. |
Точки |
переключения знака |