Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 70

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-У1 -

Функционал получав? вид

следовательно. Г,,

= Сг

= ....

Сп

= Oj

С^,

=

1 .

 

Задача

отличается

от іфедыдущих„ тем что конечное состояние

о б ы ж т

заданор а

время

не фиксировано.

 

 

 

 

 

 

Находим вспомогательные

переменные

 

 

 

 

 

 

^ ' . „ Т Ѵ . М

(\*{.г,...п)

Ф„.,--0;

 

--Ccast

 

7

tri

1 ?*/

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

Граничные

условия. УѴ'"- ^/ 0 =

п-

 

У н е

н е

имеют

место, т.к. они получены для свободного правого

конца

у

нас

зе

он фиксирован.

Но граничное условие

% * t (TJ = -i

- -

СП,/

сохраняется т.к.

правый конец координаты

Х П

І 1

как

 

функции времени остается

свободным. Найдем

гамильтониан

 

Оптяшдькое управление найдется из условия максимума гамиль­ тониана

-moss. Й иеЦ

т^е.

вС можно не учитывать (т . е . можно не учитывать

хпН

) ,

а граничные условия кмеют вид

 

 

х(Ь)

*х° І

X(TJ --xr,

Z Vi (TJft [x(r/M(rJ,

rj*et

или

ß-/(rj

>0,

 

 

 

т.к. произвольное числа oL>0 .

 

 

Рассмотрим пример.

Объект управления описывается урав­

нением

 

 

 

 


- 92 -

Требуется найти алгоритм управления,, переводящий объект из

положения

x(oJ' = о,

x(ûj=0

 

(т . е . из состояния

покоя) в

положение

х(т)'•

x r

;

x(Tj s

о

за

минимальное

врелет..

Ils управление U

наложено

ограничение-

/и/ *

t-'max

. За­

пишем уравнение

объекта

в

виде

системы

( X, = х

)

 

или

 

.

*

ь

и

 

 

jf-l-J.

1 - -h9Lt ! '

 

 

ê-l

 

ai

ail

 

 

'

G>J

 

Находим вспомогательные

переменные

 

 

Ъ -'К

?x~t

Г г

Эя,

-

а, Ъ

 

 

ИЛИ

Ч>=-Ж-Чч

J -- / /

_ St j

 

L

at •'

Составляем характеристическое уравнение для полученной системы

\ Р ~Wl

I - pfP-

: рг-

+ -L- -О

Характеристическое уравнение можно получить из характеристичес­ кого уравнения объекта, если у коэффициента при Р изменить знак.

Пусть корни характеристического уравнеші/.- будут /і и Ѣ



 

- 9 3 -

Режеш* дня

assess звд

Vi* С,

Составляем ramussTOsesaH

Мшсзхст $унхцвя

достигается при

 

= umScan

4<i

- Um

Sign /с, »Рі^ CiePci

)

Это H acïïb искомый алгоритм

управления.

 

Зосле окожчаиня

управления

U

' должно

быть равно Щт~

Зосздянше

С,,

н

доляжы быть подобраны так, чтобы в

момент t • Т объект оказался в

аоложешш s ' „

Яродасс з/нраздгшя МОЕНО иллюстрировать следующими дкаграм- шиш, (Рис.17)

Рис.17 Переходный процесс при Оптимальное управление

подаче на вход и~ —

ЕСЛИ объект описывается дифференциальным уравнением

-94 -

••силу зздишюв ѵкстеми дифференциальны:-, уривѵыыи.

i-.-rp порядка с постоянными коэффициентами, то определе­ ние оптимального алгоритма управления производится совершен-

 

~~й "

 

 

 

 

>

 

-/•77. ~ Z- "g"C. '

, J r -

J"<-

•-'

W

но аналогично. Имеет место следующая'теорема od " п " ш -

 

тервалах',квпервыедоказанная Фельд^аумом.^тт- 1

•'

і. _.- .•,

 

>Вс^-'Ьоьбкт''СШс1вве9ёй''линейв1н дифф^енциалыши.1?:-

м ѵ •

уравнением - ff -го порядка

с постоянными коэффициентами и

 

корни4, его' характеристического" уравнения вещественные

отри-

,

цательные"или нулевые, то оптимальное управление будет со-

 

держать'не

более" ^И;іійтерваайв;-Ше*оансет«^йака, в-кото-

 

рых оно принимает граничное^

 

 

 

знака Л.<.ѴИ.-Й.Н

за период " у п р а в л е н и я ' н е й р е в ы Ш а е т . и о з ь

 

а

 

Пусть

объеіст' ^бписываетсяЧ-диіфе#ёвдиалввым

уравнением •«.." •

с

пдстояшшми'каэффип^ен^амИ'01^1'-" іФ-порядкать

ііолунаалезіо-

ликлі-.

 

- : ^ т е ш y n p ^ B h ^ c

 

 

 

 

=

 

 

 

 

Ые- +

 

cfn.,

 

+ ...

+ с/,

+

a>öX

KU

 

 

 

 

 

 

 

oit

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим задачу о максимальном быстродействии, г . е .

эа -

 

дачу о

переводе

объекта

из

состояния х

в

х

за

мини­

 

мальное

время. На

единственный управляющий

параметр

нало­

 

жено ограничение Juf

é Umax

 

 

 

 

 

 

 

Запишем уравнение объекта в форме системы

( х-х,

)

 

 

 

X,

 

=

Xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sc„ = - aâ/7-/ х„

а , х :

- сУаХ,

*

KU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Или в векторной

форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

=Лх

t

ѣи ,

 

 

 

 

 

 

 

где

О

{

0

о

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь = (о,о,

 

 

 

 

а

о

1

о

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-а. -а/, -с/г


Вздем иредаш&гать,, что собсквешше числа матрицы

А

т . е . кор-

ш яараетвркстичіеского

уравиешвд объекта

-

вещественные

отри-

Ярвшшш для

оаредедекня зектор-^ункцик

Ч> - ( % , % , ... Ѵл )

где

-

транспонированная матрица

(поэтому

V,-

-

называются сооряхеЕНши

яеременкши).

 

 

 

Коли собственные

числа

матрицы

А - вещественные,

то будут

 

 

 

 

 

 

„1-

 

 

 

звщэствешшш s

собственные числа матрицы

- Я І

пусть они

а д а

 

Рп

, тогда общее решение для

f- (é J

зашшеуся так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С о с т в ш шшльтониан

Условием шксимума гамильтонигда с учетом ограничения будет

LU Umex $ig„ (%*>/ = ^внмг Sign К +п =

VÇ,

S . K ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fft

 

fr

 

Pot

у- _

/>*<!

 

%(ij-.C,e

2е'+...

+ с„е

= I , *

 

йоввдму оптимальное управление определится формулой

 

^

= и„ож

Sign {LCKe

J

 

 

 

MssecTHo, что сумма

п

экспонент

с вещественными

показате-

дшкзн саэает

шагь не более

/ 7 - /

корней. Следовательно, число

ян?ерзадов

постоянства

знака

U(t)

будет

не более

п .

именно это и утверждается в

теореме.

Точки

переключения знака