Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 43
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
- 26 - |
|
|
|
|
|
|
|
TSE как |
à y |
- функция произвольная, |
то |
вариация |
$У |
будет |
|||||||
равна |
яулюр |
если |
выражение s скобках |
равно нулю, |
т . е . |
|
|||||||
$ - і ъ+£>Fr |
|
|
~ • • •+ |
|
fa |
|
- ° • |
|
|
||||
Это дифференциальное уравнение |
2 п |
-порядка называется |
уравне- |
||||||||||
акем Эйлера-Пуассона. Общее решение |
содержит |
2 п |
произвольных |
||||||||||
ЛОСТОЯЕНКХО которые могут быть определены из |
2 л граничных ус |
||||||||||||
ловна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим простой пример |
Задан функционал |
|
|||||||||||
|
|
|
JZ>7= |
|
Jjttty'J'Jc/* |
|
|
|
|
|
|||
Зайдем экстремаль |
зря |
следующих граничных условиях; |
|
||||||||||
у_(о)ш |
О? |
у'{о)« |
I ; |
I ; |
у'(іЫ |
I |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
» |
|
|
|
Уравнение Эйлера -Пуассона имеет вид |
|
у |
= 0 |
|
|||||||||
Граничные условия дают следующую систему |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
* |
С* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
• |
С<* |
CL*СІ* |
С* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
* |
ЦІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С,-О, |
|
сА--0 |
|
; |
/ ; c4tO |
|
|
|
|
|
|||
у*X |
= гсть аскомая |
экстремаль. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Раесаютриэд белее |
слоиный пример. |
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
J- |
\ |
|
&.(£'j'+ XtWj'J |
|
|
- |
есть интегральная |
|||||
квадратичная ошибка некоторой системы автоматического регули рования (САР). Найдем экстремаль.
£(ОМ Is |
£'(oh 0j |
é(<oj= t(•&,'- |
0 - САР устойчива. |
Экстремаль удовлетворяет следующему |
уравнению: |
||
Характеристическое |
уравнение |
Лі Р*-Л,Р** |
1-0 |
является |
биквадратным. В общем случае |
корни будут |
комплексными: |
||
\ |
Тлі |
„ причем |
|
|
можно видеть» что два корня будут иметь отрицательную вещест венную часть, а два других положительную.
Пусть
Тогда |
|
|
|
|
|
£(і)-- £d |
[c,SLmx>t+ Сг CosiutJ* |
à**[G 5<Л<О£ |
<f<r Cosiot] . |
||
Чтобы выполнялось условие |
é(°°J= |
£'f°°J - О |
, очевидно |
||
нужно положить |
Cj = Cjf |
* О |
, следовательно, экстремаль |
||
имеет вид: |
-dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â(t)= |
е |
[С,Sinat* |
Q C o s |
<ot]. |
|
i l l , ЗАДАЧА С ЦОДВИШіМИ КОНЦАМИ
I . Основная формула для вариации функционала
Исследуя на экстремум функционал |
|
|
|
|
ш предполагали, что граничные точки |
(ЛІ, |
) к ( х. |
, у. |
) |
заданы. Если предположить, что один или |
обе граничные |
точки |
мо |
|
гут перемещаться, тс класс допустимых кривых расширяется.(рис.
.Кроме кривых сравнения, имевших общие граничные точки можно брать я кривые со смешенными граничными точками,
НаЁден выражение для Еариации функционала a этом более общем Для простоты предположим, что левый конец экстремальной кривой закреплен, а правый - свободный. Напишем приращение функционала
X-,
ВариацЕя функционала есть главная часть приращеішя функциона ла (т,з„ линейная часть относительно е'ц, к Su' ) точно также sas дифференциал функции есть главная часть приращения функции. Итак найдем главную часть приращения функционала, т . е . вариа цию.
Не теореме о эредаем значении имеем
|
|
- |
29 - |
|
где |
. Последнее выражение можно представить Е виде |
|||
fa^Stx |
' |
F(XWJ/bc. |
Х, • fa * |
, |
причем ât = 0, |
когда |
и fy.-~ 0r |
т . е . 6)J'x,- есть |
|
величина |
2-го порядка малости. |
|
||
Подинтегральное |
выражение во втором интеграле разложим з ряд |
|||
Тэіілора |
при Jy. |
= 0 и <5у'= 0. |
|
|
Так как Fl*.} |
ft'rfy} |
= F(x.ff.f) |
+ ^f^.^'.'fy * |
|
R ~ величина 2-го порядка |
малости. |
|
Интегрируя по частям второе слагаемое, получим |
||
Так как граничная точка |
(.Л,,^) |
закреплена, то <^^,Х)- 0. |
Следовательно і |
X f |
|
Отбрасывая величины более высокого порядка малости, найдем следующее значение вариации функционала
jjj
fa |
fa.^ |
[ffy-£ |
FM** |
|
a с |
• Найдем выражение для |
оу/^.х. |
||
|
|
Из чертежа |
имеем |
(Рис.II) |
|
|
Aß*J>£= fy/x.Xt |
, |
|
|
|
ЕС - fy, ; |
CD*yYxJ<k*y^<Jx,. |
|
_ |
|
Таким образом Ab -М- EC-CD, |
||
Рис.II |
. т - е |
- 4*™* * |
' * х ' |
Вариацию теперь можно записать |
в виде |
|
|
|
- 3 0 - |
Еслк |
оба конца варьируемой кривой свободны, го вариация функцио |
нала |
будет равна J теперь &у/ХіХ £0 и d V ^ c J |
2. Условие трансверсальности.
Поставим следукщуіо |
задачу. |
Задан функционал |
х , |
определенный на гладаас кривых, концы которых могут перемещать
ся по непрерывным кривым ^ = ^f(xj |
а у-- WxJ |
• Требуется най- |
||||
I |
' ¥tei |
|
^ |
ти экстремум |
этого фушодиона- |
|
|
/ |
tj'fy |
|
I |
л а 1 1 1 3 5 3 указанных условиях. |
|
Л |
П |
Г ^ ^ |
- |
* . |
(Рис.12) |
|
J |
L |
|
I |
i „ |
|
|
Рис.І2 Условием экстремума является равенство нулю первой вариации,
т . е .
Если некоторая кривая дает экстремум функционалу среди всех допустимых кривых, то она там более будет давать экстремум по отношению ко всем кривым, имеющим те se концевые точки. Сле довательно!, эта кривая должна быть экстремалью , т . е . удовлет ворять уравнению Эйлера
— F,„ --О If afsc'f
В выражении для вариации интеграл исчезает.
-31 -
Іісли теперь иметь в виду, что с точностью до бесконечно малых высокого порядка имеем:
то получим следующее дополнительное условие экстремума
но так как |
&XT и |
Sxt |
|
- независимые приращение, будек кметь |
|
[F*(i- '-tf'/Fy']/x,Xi |
- О |
? |
Эти граничные условия называются |
||
[F*(Ч1'-у')Fy'J/x--x.: |
& J |
условиями |
трансверсальности. |
||
Про кривую |
у - jf(~J |
|
, удовлетворяющую этим условиям говорят, |
||
что она трансверсальна |
кривым *f(xJ к |
^CXJ . |
|||
Итак,для решения вариационной задачи с подвішшми концами необходимо :
1.Решить уравнение Эйлера.
2.Постоянные интегрирования определить из условий транс версальности.
В вариационных задача?: часто встречаются функционалы
в и д а |
fjwJmfFJx |
Для таких функционалов условия трансверсальности выглядят осо бенно просто. Действительнов этом случае
и, следовательно, условие трансверсальности принимает вид
откуда |
£'=-~ïfT |
• Аналогично |
на другой |
конце |
у'і-4р |
• |
Но это |
условіл |
ортогональности |
кривых tf(xJ |
к |
; yfaM |
|
У (х.) |
. Таким образом, для рассматриваемых |
функционалов |
усло |
|||
вие трансверсальности сводится |
к ортогональности. |
|
|
|||
|
- |
32 - |
|
|
|
|
Отметим ещё один частный |
случай. |
|
|
|
||
ЕСЛИ граничная точка |
( x t , у( |
) |
перемещается по вертикальной |
|||
|
|
прямой, |
то |
„ очевидно, Зх, = 0, а |
||
|
|
Sy, / О н равенство |
нулю вариации |
|||
|
|
достигается |
при условии |
|||
|
|
|
|
|
= 0 (Рис13) |
|
|
|
Если se граничная точка (л: , у ) |
||||
Рис.13 |
перемещается |
по горизонтальной пря |
||||
мой ^ |
= yt |
= Const |
, To<fy,= О, |
|||
a |
0; в этом случае условие трансверсальности прини |
|
мает вид |
|
|
|
T T |
yr : V>(JCJ-- Co/fit i у'-О. |
|
|
: Const |
XT Ж
Рис Л 4 Оршер. Вераемся к задаче о брахистохроне.
Предполоним, что левая точка закреплена, а правая
|
• |
|
может перемещаться по вертикальной |
||
|
|
|
прямой. |
(Рис.15) |
|
|
|
|
Ранее мы нашли, |
что экстремалями |
|
|
|
|
функционала |
|
|
|
|
|
r r J t |
[ ' |
J* |
Рас.15 |
|
^ |
J0 |
Ѵг^ |
|
являются циклоида, |
уравнения которых в параметрической форме |
||||
имеют вид |
|
|
|
|
|
х |
* Ci (t~ |
Л>» iJ . |
|
|
|
у |
-- Ctlt - |
Cost). |
|
|
|
Для определения |
Сг |
воспользуемся |
условием |
||
