Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
- 3 3 -
Имеем |
, |
|
вательно, искомая циклоида должна пересекать прямую х |
= х, |
|
под прямым углом, что монет быть, когда точка {j?t , ^і |
5 есть |
|
вершина циклоиды. Вершине соответствует значение параметра
£ = J |
, поэтому л?, = Cgjr |
, откуда Q : |
. |
Искомый |
эксг, емум реализуется |
на циклоиде |
|
|
3 . |
Экстремали |
о изломами. |
|
|
|
Условия Веиерштрасса - |
Эрдмана |
|
||
Ранее |
было показано, что для функционала |
|
|||
экстремалью является гладкая кривая, если F(^,y,y'J |
- не |
||||
прерывная функция своих аргументов и f^y&O |
|
||||
Если |
равна нулю в отдельных точках, то экстремум функ |
||||
ционала монет достигаться и на кусочно-гладких кривыхв |
имею |
||||
щих изломы в точках, где |
- 0. |
|
|||
Более того, в некоторых |
случаях, |
экстремум вообще мохет до |
|||
стигаться лишь на кривых с изломана. |
|
||||
Рассмотрим, например, функционал |
|
||||
|
|
о |
|
|
|
при граничных |
условиях |
y(Pj*> |
01 y(z) = ï° |
|
|
Этот функционал при любом p(xjue |
отрицательный, поэтому,, |
||||
очевидно, |
его наименьшее |
значение равно нулю. |
|
||
Непосредственно видно, что это наименьшее значение Moser до стигаться либо на функции у(хМ 0, либо на $0^) - ж* С
( т . е . |
когда f~#'- |
0). Ни та ни другая кривая |
не удовлетворяют |
||||||
граничным условиям, |
но каждая из ;тх удовлетворяет лишь одному |
||||||||
граничному |
условию, |
если |
|
С = - I . Таким образом, |
минимум |
||||
|
|
|
|
|
|
|
равный нулю, |
может достигаться |
|
|
|
|
|
|
|
|
лишь на составной кривой, сос- |
||
|
|
—yt |
|
|
тоящий из кусков у-О |
[0£Xîi)i\ |
|||
|
|
s^f'1 |
|
|
|
^=дг - / |
2) с изломом |
||
о |
11? |
/ |
. |
" |
X |
э |
точке ( I , 0). (Рис.16) |
||
|
" |
"г |
|
|
Для рассматриваемого |
функциона- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рис.16 |
|
|
|
ла Fyg, -2#г |
, |
откуда |
|
видно, |
что возможен излом при у |
- 0. Чтобы уметь находить экст |
|||||||
ремали с изломами, необходимо определить условия, которые долж ны ^выполняться в точках излома.
|
Пусть задан функционал |
|
|
|
Будем предполагать, что в некоторой промежуточной точке |
X |
= X, |
||
возможен излом (т . е . Р^ух^ = 0 ) . На каждом из отрезков |
( л : 0 , |
|||
Х{ ) к |
( ДГ^Яі ) кривая, на которой функционал достигает |
экст- |
||
ремуаба, |
удовлетворяет уравнению Эйлера |
~3xfy ~® |
|
|
Представим рассматриваемый функционал в виде суммы двух функцио налов
•Я, »1
и вычислим вариации для каждого из этих двух функционалов в отдельности. На. каждом кз отреэков {x,,xt) и {x,,xt) i'paничше условия состоят в том, что один конец допустимой кривой закреанаы,, а другой свободен. Поэтому, принимая во внимание уравнение Эйлера, получаем
- -J5 -
Для экстремума необходимо, чтобы суммарная вариация Ь% О
Это даст
откуда, в силу произвольности <5эс, и |
, получаем |
Эти условия называются условиями Вейерштраоса - Эрдмана, Итак, если экстремаль имеет излом, то каздый кусок её удовлет воряет уравнению Эйлера, а в точке излома должны выполняться условия Вейерштрасса - Эрдмана. На каждом участке экстремаль имеет две произвольных постоянных, следовательно всего их бу
дет 4. |
Эти постоянные находятся из граничных условий {2 урав |
|
нения) |
и условий Вейерштрасса-Эрдмана (ещё 2 уравнения). |
|
Пример. |
Найти решение с.одной угловой |
точкой в задаче о |
|
минимуме функционала |
|
э ф - / V - 4 Ѵ ^ Ѵ |
~ |
'• |
foh°-> |
? C 4 J - Z - |
|
||
о |
|
|
|
|
у- |
, |
, то |
Поскольку подинтегральная функция зависит только от |
|
||||||
экстремалями являются прямые |
у |
-' С,х |
* Сг . |
|
|
|
|
Искомая экстремаль имеет излом, |
следовательно, |
она |
состоит из |
||||
ДВУХ ПРЯМЫХ j / f : С,Х*Сг И t£f г Qx
Напишем условия Вейрештрассе-Эрдмана. 1-ое условие дает
|
|
с,л-сг |
С/- |
Сл |
|
Случай |
= £"3 |
=0 исключается. |
Возможны следующие случал |
||
а) СГ |
= X; |
£i = - I ; |
б) |
Q = - I ; |
Г, = I . |
мапишем 2-ое условие |
|
|
|
||
(f-fijrL*., |
--(F-yïfL.,,.* |
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
Для обеих случаев 2-ое условие |
удовлетворяется, |
|
|
||||
йгаа,возможны 2 экстремали |
(Рис.17) |
|
|
|
|||
а) |
" ^ * Ci |
Из граничных условий найдем Q |
к С4 |
||||
|
|
у (4)-.у.(4/ |
* г |
--не,,; |
с,-- |
6 |
|
|
|
о. |
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
8(o)*#r(o) |
-c,-o. |
|
|
|
|
|
|