Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf

/—ZT

я І г } г

-

с.

откуда

А

ВЕОДИМ параметр

t

, полагая у ' -

t , тогда у-Г, -~л Cost,

не

- tat

. откуда с/а se/y/-éptt

а

-ÄSintc/t

,

поэтому

= Я Cost -dtъ

x. - %Sînt

* Сг

. Итак уравнение экст

ремалей в параметрической форме имеет вид

Х-Сг •- яЗіпІ

if-

С,

Л

Cost

шш,

исключая

і

, получил:

т . е .

семейство

окружностей.

С,-

и Q

определяются из граничных условии, а Д -

радиус

из изспериметрического

условия.

у -

ХАнонитажйі ВИД УРАВНЕНИЯ Э М Е Р А

Ma знаем, чтс уравнение Эйлера

отвечавшее

функционалу

JftfJ

' JтеF dec

является

Дифферен­

цвальнш уравнением 2-го порядка. Всякое

уравнение 2-го поряд­

ка мокко, и притом различными способами,

свести к

системе

двух уравнений

первого порядка. • .

Бредем новые

переменные

P-~Fr

и

H-~-F + y'P

( І )

Чтобы получить уравнение

(точнее

систему) эквивалентное урав-

зом,

3 связанных

между собой величины х ,

1? ,

F .

(Рис.І)

Величина х

,

,

характеризую-

р

5

щие состояние

автомобиля,

назы-

*"

*

ваются дшрв.ыми

координатами,

а

величину F

называют

управляю-

Рис.І

щим параметром.

Если рассматривать движение автомобиля на

плоскости, а не по

прямой, то фазовых координат будет 4 (две "географических"

координаты X ,

у,

и две

компоненты

скорости х

z z£.

и у -

).

Управляющих параметра

будет 2

(сила

тяги

F

и угол

поворота

руля ві

).

У летящего

самолета

фазовых координат

будет 6

( х ,

у.

,

X

, 2£

,

2£

,

) и несколько управляющих параметров

(сила тяги, положение руля высоты, направления).

Рассмотренные

примеры

позволяют сделать

следующее

обобщение.

Состояние объекта задается в каждый момент времени

П величина

ми х<,

хг

,

хп

,

которые называются

фазовыми координатами

объекта,

движение

объекта

заключается в том

Со математической •

- 51

-

точки зрения)0 что его состояние

о течением времени меняется

ave.

ssf

, sCg „ . . о

jr ß язляются

переменными величинами

(функциями

jap-екбзи). Движение объекта щюиоходит не самопроизвольно, им

моаао заправлять0 для этого объект' снабжен своеобразными

"руля­

ми", аоложение которых в жаждав момент времени характеризуется

m

зеякчжкамк U, ., i/s

, , 3

Um ,

называемыми управляющими

HajgbfôTgaMB.

"рулями" можно

"манипулировать" т . е . по своему

дейазию менять £s допустишк

пределах) управляющие параметры

ц

г

£ / s

о , »

другими словами, по своему желанию

зиСнрагд

фуккцшіі

,

Us(éj

.Un/éJ.

Естественно,

выб­

рав

уЕравлишзде фунац&да s

зная состояние

объекта в начальный

жасеяг зраменЕ

£0

„ ш можем однозначно раечитать

поведе­

ние

oöseasa для всех

i

,

î , e . можем кайти

«

,

- о .

Яп{&)° Щ>й.ътегяя?. объект,

о котором идет речь

обычно

изо­

бражают так, как это показано

на чертеже (Рис. 2 ) . .Иногда,

управляющие параметра

С/,

...и^

аазнвают

входными величинами,

а фазовые координаты

xf

..« осп -

Рис .2

-

выходнымио Удобно управляющие па-

pajässpK

&t

« о .

и,?? раосмаярввать как координаты

некоторого

вектора

(зектор-ёснкшк)

Us

(UvcUg,-.. Um)

•

U(éJ

который шанзав»

gspaBjgHHeMo

Точно также величины

...

зс„

удобно рассматривать

как координаты

/7 -мерного вектора

(век-

X

я х(і/«

(х,,

xs,

...

Я л / ,

т . е . жак точку

л

-мерного

пространства

с координатами

г хг

.. о .iÇ, „ Эту точку

обычно называют

фазовым состоянием

объекта,

а

о -мерное

эвклидово

пространство, з котором в виде

точек