Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р ем ы . Рассмотрим вначале случай,
П
когда г — четное число. Обозначим через Т п (л) = ^ ск cos kx
k= о
четный тригонометрический полином порядка не выше п, для которого
|
Tl {xs) = Вг (je*), s <е е [0 : п], |
(А. 12) |
где x s = |
— корни функции cos(n+l)A:, |
принадлежащие |
интервалу (0, я). Полином Т*п (х) можно записать в явном виде:
|
|
T U x ) = |
V f ß r ( x ;i) |
f l |
|
COS X— cos х„ |
|
|||
|
|
COS X, — COS X„ |
|
|||||||
|
|
|
fe=0\ |
|
v=0 |
Il |
|
v |
|
|
|
|
|
V |
|
V ^ |
ft |
|
|
|
|
Покажем, что T*n (x) является |
полиномом |
наилучшего |
прибли |
|||||||
жения, т. е., что для любого ТптНЦ |
|
|
|
|
||||||
2п |
|
|
|
|
2к |
|
|
|
|
|
I’ |
IВг (л) — Т„ (.г) I dx > |
I” IВг (л) — Т*п (x) I dx. |
||||||||
Ô |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
Для этого заметим, что функция Фг( с \ х ) = Вг(х) — Т'п (х) |
||||||||||
обращается |
в нуль в п + \ точке |
|
|
|
, s e [0 : /г], интер |
|||||
вала (0, я). В силу леммы А.2 других |
корней в |
(0, я) |
Ф,-(с*, х) |
|||||||
не имеет; |
более того, xs— простые корни. Отсюда следует, что |
|||||||||
функция |
Ф, (с*, х )sign cos{п+\)х |
сохраняет |
знак |
в интер |
||||||
вале (0, я). Учитывая это, а также соотношение |
(А'. 10), для лю- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
бого четного тригонометрического полинома Q„ (л) = ^ |
сь cos ^х |
|||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
k =о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J Вг |
(I -■ Qn* |
)X)( \dx^\ |
|
JВг ( х ) ~ |
V ckcoskx |
X |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k= о |
|
|
X sign cos (л + 1) x d x |
I*Br {x) sign cos (n + 1 ) xd x |
j \ВГ(x) — T"n (x)] sign cos (« -f- 1) xdx
Фг (c®, x) sign cos (n + 1) xdx |
x) I dx — |
= \i \Bt { x '\ - T 'n (x)\dx. |
( A . 1 3 ) |
о |
|
4* |
83 |
Пусть теперь Тп (х) — произвольный тригонометрический по
лином порядка не выше п. Положим Qn {x) = |
Тп ^ |
. |
||
Поскольку Вг(х) и Qn(x) — четные функции, то в силу |
(А. 13) |
|||
[ I Br (X) — Тп(х) I dx > f |
\Br (X) — Q„(x) I dx = |
|
||
Ô |
0 |
|
|
|
= 2 1 1Вг (X) - |
Q„ (X) I rfx > |
2 f |-5r (X) - n |
(x) [ û?x = |
|
.0 |
|
ü |
|
|
|
2- |
|
|
|
= j1 I Br (x) — Tn (x) I dx,
0
так что Tl (x) является полиномом наилучшего приближения. Теперь в силу (А. 13) имеем
|
2- |
|
|
|
^ |
71 |
|
|
|
|
|
En (Br)t = J |
) Br (x) — Tl (x) I dx = 2 |
j" I i?/(x) — Tl (x) ( rfx = |
|||||||
|
= |
2 J Br (x) |
sign cos {n -f- 1 ) x d x |
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2- |
Br (x) sign cos (n + |
1 ) xd x |
|
|
|||
|
|
|
J |
|
|
|||||
|
Воспользуемся разложением функции sign cos{n+\)x в ряд |
|||||||||
Фурье и равенством Парсеваля. Получим |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2« Г |
г оо |
|
|
оо |
|
||
|
Еп{Вг)і = |
J |
( - П 2 |
|
|
v = |
0 |
) - х |
||
|
|
|
|
|
ft= 1 |
|
|
|
||
X |
cos (2v -|-1) (n + |
1) x |
dx |
4 |
2 |
|
( - |
1)” |
*Kr |
|
2Т+Т |
|
|
|
|||||||
|
|
|
(n+\y |
|
(2v -I- 1У+1 |
{П+ 1Y |
||||
|
|
|
|
|
|
Y= 0 |
|
|
|
При четном г теорема доказана.
Если же г — нечетное число, то полином наилучшего приблн-
|
|
|
П |
|
|
|
жения |
Тп(х) = |
^ CftS'inkx |
определяется из условий |
|||
|
|
*= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Tl (xi) |
= |
Br (xi), |
S E [1 :я], |
где |
t |
= J T ] — |
корни |
функции |
sin(?i+l)x, принадлежащие |
|
л'і |
интервалу (0, л). При доказательстве этого следует восполь зоваться соотношением
J sin kx sign sin {n + 1 ) x d x — 0, k œ [ 1 : n\,
и |
тем, что |
при |
нечетном г |
функция Ф,-(с, |
x ) = ß , ( x ) — |
|
|
П |
|
|
|
не более іъ нулей |
|
— |
У cAsin/ex |
имеет в |
(0, л.) |
с учетом их |
||
|
k= 1 |
|
. |
|
|
|
кратности. Полином |
Тп (х) |
можно записать в явном виде: |
||||
|
Тп W = V |
|
|
COS X— COS x, |
||
|
|
|
cos xk — cos xv |
|||
|
|
к= 1I |
|
|||
|
|
|
ѵ = 1 |
|
||
|
|
|
|
|
Vфk |
|
Как и б случае четного /\ получим 2—
Еп (Вг)с = J* Вг (х) sign sin (а + 1 ) xdx
о
2it |
г-1 |
sin kx |
4 "V sin (2v + 1) (n + 1) .у dx |
|
( - 1) |
^ |
|||
|
k= l |
kr |
K V = 0 |
+ 1 |
|
4 |
_ V |
____ !____ = |
*/<r |
|
(л + 1)г |
(2V4- l)r+1 |
(n + l)r |
Теорема доказана.
3 a Me ч а H и e. Из определения Kr вытекает, что
Далее, поскольку
|
Д Г~ К -іг ^ ^ |
“ д2г-і- 1 |
“Ь д 2г+ 1 ^ |
— д 2 г+ 3 < Д Г |
^ 2 Г-Н 2’ |
ТО |
|
|
|
|
|
|
|
1< Ко < к, < ... < 4 • |
|
||
Таким образом, при всех натуральных г будет |
|
||||
|
|
|
\ < К Г< ^ - . |
(А,14) |
|
4. |
Из теорем А.1 |
и А.2 могут быть получены важные след |
|||
ствия. |
|
Пусть |
f ( x ) — г раз |
непрерывно |
дифференци |
Теорема А.З. |
|||||
руемая 2л-периодическая функция, причем |
|
||||
|
'(' /(* ) ( C0SkX )d x = 0; A e [0: л]. |
(А.15) |
|||
|
Л |
I sin kx J |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В силу теоремы А.1 и (А.9) |
будем |
||
иметь |
|
|
|
|
|
|
1 2г‘ |
t) dt. |
(А.16) |
f i x ) = -И f / (г>(О ВГ(X - |
||||
|
|
О |
|
|
Далее из (А. 15) следует, что |
|
|
||
Г / V |
(Л-) 1 |
C0Sk x \ d x = 0, |
A e [0: n\. |
(А.17) |
ÿ |
I |
sin kx J |
|
|
Пусть теперь Tn (x ) — тригонометрический полином порядка ■ не выше п, для которого
2тс
J \ B r i x ) - T ta(x)\dx = En[ßr)j.
о
(такой полином был построен при доказательстве теоремы А.2).
В силу (А.16) |
и (А. 17) |
|
f i x ) |
= 4 - I / (0 (0 [Вг І Х - І ) - Т'п (X - |
/)] dt. |
Отсюда на основании теоремы А.2 получим |
|
|
І І / І К А ІІ/(Г) ІіB n (B r ) L = |
||/(r)II. |
Теорема доказана.
Теорема A.4. Если f(x) допускает представление
f i x ) = j g- (0 AT (JC — t) flf*.
о
ade « E |
C, a A (ü) — 2л-периодическал интегрируемая в интер |
вале (0, |
2я) функция, то** |
B ai f ) < E n{g)EniK)L. |
(А.18) |
* Ф а в а р [37].
** С у н ь Ю н - ш е н [26].
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для произвольных Тп |
и |
Qn |
из |
Н тп |
|||||
имеем |
J \ g ( t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Q « ( 0 ] [K{x — t) — Tn{x — t ) ] d t |
= |
|
|
||||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= / |
(Je) - |
j |
Д (О |
(■* -- t) dt — J Qn ( X |
- t) K(t) dt + |
|
||||
|
|
O |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2т: |
Qn (■* - |
t) Tn (i) dt = .f(x) - |
Qn (je), |
|
|
|
||
|
+ |
f |
|
|
|
|||||
|
|
Cl |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Gn (x ) —; некоторый |
тригонометрический |
полином |
порядка |
|||||||
не выше п. Беря в качестве Qn(x) |
полином |
наилучшего равно- |
||||||||
- мерного |
приближения |
функции |
g(x) (в |
силу |
теоремы |
2.1 |
главы III такой полином существует), для любого Тп<=Нт по лучаем
£ „ ( / ) < I I / - On\\< £ „ (g ) J |
IK(É) - т„(О Idt. |
о |
|
откуда и следует (А. 18). Теорема доказана. |
|
- Следствие. Пусть f(x) — г раз |
непрерывно дифференци |
руемая 2п-периодтеская функция. Тогда |
|
е ,л л < - ^ Ѵ |
Я"(/(Г))- |
(АЛ9) |
Действительно, в силу теорем А.1, А.2 и А.4 |
|
||
En i f ) = En [ f - |
- f ) < 4 - En ( / (r)) En [Br)L = |
En (/ w). |
|
Заметим, что если дополнительно |
|
|
|
f / ( 0 |
! ^C0S\ d t = 0, |
/г е [/г + 1 : /г + |
т\, |
о1 sln kt J
ТО ДЛЯ произвольных Qn^Bfn и Тп+те |
//п+т будет |
2ті |
7\.+« (Je - O] dt = |
4 - f [ / (r>(О- Qi« (О] [ £ f.(*- 0 - |
|
О |
|
= / ( JC) - 5 „ ( л ) , |
|
где Gn (x) — некоторый тригонометрический полином порядка не выше п. Отсюда так же, как при доказательстве теоремы А.4, получим неравенство
Е , Л Л < |
Кг |
(А.20) |
|
(Л + 7И+ 1)г ^ ( / и ). |
|||
|