Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

т

'

2,+ 2

•2N

sm —рг

^ ' >

2 f t + 2 ‘ *к I

sin ЛДгі \ 2v+2

dt:

'*1

2

N sin t

, N sin -

2N

.2fe + 2( A

f +2

1

tkd t >

4

/2n2v+1 1

A ™

Ъ + 1

N ft4-1

ft4-1

Лемма доказана.

С л е д с т в и е

1. Справедливо неравенство

1

< ~ N .

(1 .6)

Ф/w

^

Л<!)

С л е д с т в и е

2.

Пусть

Р 0ѵ(х) = V ак х к— произвольный

h —О

алгебраический полином степени не выше 2ѵ. Тогда

-

А (2)

2ѵ

П М " И ) і ^ < н л < - й г 2 К І -

п-7)

- -

л

ѵ

fe= 0

Д о к а з а т е л ь с т в о . В

силу

определения UAh{t) и нера­

венств (1.3) и (1.6)

получим

(1.9)

Из леммы 1.1 следует, что 7'yVv (tp; t)

является тригонометри­

ческим полиномом

порядка

не

выше

(ѵ+1 ) t( N — 1), причем

если ф(t) — четная

функция,

то

полином ГЛ,Д®; і) тоже будет

где А\ — абсолютная константа, а о

(ф; Ô) — модуль непрерыв­

ности функции ф (см. Дополнение Г).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу (1.1), (1.9), неотрицательности

Um (t) и определения модуля непрерывности получим

? (О — Tm (cp; t) ] =

I [? (0 -

®{t + 2)] и т (г) dz <

« ( I г I ) = (в [ N I г I

< (Л /| г I + 1 ) ш

,

Сл е д с т в и е . Для

каждой функции ф е С и любого нату­

рального п найдется

такой тригонометрический полином

что

I

I

?

—

Q

J

<

2

До к а з а т е л ь с т в о . По л о жи м N =

п

+ 1. Тогда ГЛЧ(ф; і)

будет

тригонометрическим

полиномом

2

порядка

не

выше

2 (N — 1)<Тг. Обозначим его через Qn (t) . Учитывая теорему

1.1,

1

2

и (Г.З), получаем требуемое.

неравенство - д р О —

Утверждение доказано.

функция

cp(t)

имеет

не­

Лемма 1.3. Если 2п-периодическая

прерывную k-ю производную

( ф е О Т ) ,

то

Т№(г,

t) =

7 \ѵ „ (cp(ft);

t).

( 1. 10)

Это непосредственно следует из

(1.9).

отрезке

[—-1, 1]

функция.

3.

Пусть f(x) — непрерывная на

Положим

Если ввести обозначение <p(/) = f (cos t), то

p NAf> Х) =

7 ;Vv(?; arccosх).

(1.11)

Из этого

равенства,

леммы

1.1 и (Б.2) следует,

что

х)

является

алгебраическим

полиномом

степени

не

выше

( ѵ + 1 ) ( Я

—

1).

любом

натуральном N

и

произвольном

Теорема

1.2. При

х е [—1, 1] выполняется неравенство*

I/(*> - р т (/;

*) I < Л » (/;

+

/ ) .

где Аг — абсолютная константа.

(О ^ г/^ я ). Так

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим, у ==arccosх

же, как при доказательстве теоремы 1.1, будем иметь

|/ ( х ) - Я Ѵ1 ( / ; X) I =

j

[/(cos у )- /( c o s

(у + 0)]

UNX(t)dt

Um {t) dt.

браический полином Gn е

Я „ , ч т о для всех Ï

E

[ —1, 1]

|/(А-) -

Gn ( X ) I <

47Цсо (/;

.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно

положить Gn (х) = PN 1(f; х),

где іѴ :

1,

и воспользоваться теоремой 1.2.

4.

Последнее утверждение может быть

усилено. А имен

справедлива

Теорема 1.3. Для каждой непрерывной на отрезке [—1,1]

функции f(x) и любого натурального п найдется

такой алгеб­

раический

полином gn(x)

степени

не

выше п,

что для всех

X 6= [ —1,

1 ]

будет *

l

/

w

Л»

(/;

а

д

,

(U 2)

где А3— абсолютная константа.

Предварительно докажем одну лемму.

Лемма

\ А. Если

] / 1 —

H J C > 0 , т о **

IЛ ѵ, < /; * ) -

А , , ( / ;

1) I<

А " ( / ;,

* И. Е. Г о п е н г а у з

[10], С. А. Т ел я к о в с к и й [27]. Дальнейшее

обобщение этой теоремы получено в [2].

** В. Н. М а л о з е м о в

[19].