Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf

в ^

, a iç

-

произвольная функция из L^tm (^О •

Кроме

того, пространство

обычно обозначают

более кратким символом

12. Интеграл Рииана-Отилмьеоа и Лвбега-Стильтьеея. Пусть

- ограниченная неубьшащая функция, заданная в промежуте

Д = \ X. 6ft'V а < X і 4

)•

. Пусть символы f и П

и

формулами /11.1/І а числа п

и S ^ j

формулами

функции . , интегрирующей функции ^

и разбиению

П

облаоти интегрирования Д

. По ним, танже как и в

Г

n

*•»-

^

* Ѵ ^

причем предпол^га-

втоя, что

— *

0

при V — * oo ,

ЕСЛИ ^ =

= "э

, то функции

-Ç

яаанваетоя интегрируемой относи­

тельно функции

Од

в промежутке ù

, общее зна­

^ ^ к і А ^ х :

/ 12.2/

а,

a называется интегралом Римапа-Стилыьеса функции -f

функцжм

в пределах от си

до (э„ . Окі

ІІадмо некоторой меры

и

, при

<\

f H M Ï моііГі справа, '

„'

-

92

12.1 Теорем a.

MSSi-^Sîê^iS&SJi^&S^?

а * * < & .

пу_сть

)*. -

MëU^$SS=5BBQ^Sj^SS

когортой Oj

MSSSSSÂJSSSS^USSS^S3S&^^S^3^'

/т0 еоть»

х+СП) = 0 ^ 1 X 1 , а «X 4

( см. п.З и п.4, § 1

Ecmjg^^»mxm

-Ç

,£щшш^»т^інте^^

тьесв. /12.2/,

тр^Іщподя -Ç

jRHJiHeTch

yu - JîHTargn^jeiiolJ

Ijn^MejgTKe (ü.+0 ,

= ^ * ft': OL < x

4 & ] _и

S

$wày<.)=

5

/08.8/

° -

(AV0,<UO)

Доказательство* Рассуждаем также как при

доказательстве теоремы

1 1 * 1 , учитывая при этом, Что <х ) ^

В случае

когда' ^

непрерывна слева, мы определяем

уо„1

как меру* для которой левой производящей функцией служи*

функция 4t—•> o^Ul - о^ 1,0.)

/ то есть, уиД(<Х->0, Х-0)) =

^г^ОЛ- ^ Д

0

^

•*напомн,ш»

что« в 0ИЛУ принятого нами опре­

нуль при X. = OL

. / . В этом случае, вместо /12.8/ имеем

^

fuO

A f t C X Ï a - $

MyU. .

/12.4/

1 3 . Интегрирование

комплеконоіначялі аргяндяИ. Распростра­

ним теорию

JA - интеграла на функции принимайте коивлвко-

ные значения. Если ^ W)

= (^СО + і Кы)

, где ^W) *

вецеотвенны,

то ^

навьшаетая yu. - ивмври-

мой /

- интегрируемой / на множестве

Д), , тогда я

98

нении двумерных промежутков, .'іозтому множество

можно

представить как счетное объединение множеств

F Л

вида

F

A

'^=\xtJ )lV^I): ^(.XJCÛJ-, де

д

- двумерный проме­

Г

жуток. Такое множество F

4

равно пересечению

Сз- о H

\ \ { < ) & \ х \

,

^

и Ь

- соответственно,

веществен­

ная и мнимая часть функции

, а

1 Ах

~ такие

одномерные промежутки, что

Д = Л^Х Д г

. Так как по усло­

вию

^

и 'К.

• ^ -

измеримы на

] )

,то множества

и

W

^-«измеримы и, следовательно,

- изме­

римо

множество Fç_ .

2° Пусть Oy

' и W

, соответственно,

вещественная

'и мнимая, члеть функции

. Так как

тЬ из

у.

- интегрируемости уункций

и .К

вытекает

у.

- интегрируемость функции

. Обратное утверждение

вытекает из неравенств \^Оо)4 $

(Уі) , l b 1x1 )

.

Что касается оценки /13.2/, то для простой

- ин­

тегрируемой функции

£

она очевидна: в прежних обозначениях

/см.п.І.Ь/

имеем

с чостными сушами, равными

, u.et,г.,... . Поэтому

U - почти всюду но 1)

существует конечный предел

/

іокакем.,

что Ç-

является функцией, существование которой

требуется доказать.

Зададим произвольное £, > О

и обозначим

через

N

такое натуральное число,- что

К - Ц и і ^

Ш

, и

что

<

с , i>N.

/ и . * /

Следовательно,

, а поэтому такие -f =

= U " ^ c \ v ^ {

6

Lyu CD)' ;

Кроме того, мы инеем

в правой части последнего неравенства,

при большие у і