Файл: Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 0
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:,виду того, что|А. ^=А t ï 0 ннокестар A С |
A u |
и.- изыеримр |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
л t |
' |
~~~~ |
|
|
|
т^да^і^гмько^ тогда, когд^е^о^гао^нение A |
|
д^ізиер^шо. |
|
||||||||
|
9.5.Ï е о р е и а. / П р и з н а к и э м е р и и о |
||||||||||
ие^бходѵшо и^достамчнод^^іто^^ія^каждого £ > О' |
^2Щ5£3!В2Нг |
|
|||||||||
ло^такое^3JieMeH^pmoejäHOHecrBO A t |
, длі |
которого |
|
|
|
||||||
|
|
^ Ч А * A . l < t . |
|
|
/э.і/ |
|
|
||||
До к аз ателье т во. Достаточность. Предпо |
|
||||||||||
ложим,что существует такое алиментарное иконество А £ |
С Д 0 |
, |
|||||||||
.что |
выполняется /9.1/. Тогда, применяя предложения 9.1 и 8.3, |
||||||||||
находии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ^ * ( А \ - ^ І М І = I . R 4 A Ï - ^ U * ( A Ê M < £ . |
/ 9 > 2 / |
|
|||||||||
Легко видеть, что для произвольных А , , Ад_ С Д 0 |
|
|
|
||||||||
|
А , с * А^ |
= A, A. Aj_ |
|
|
' /э.з/ |
|
|
||||
^Действительно, |
учитывая что F^ E |
= F A E C |
находим |
F C ^ E < L |
= |
||||||
= Гса(,ЕЧе = F c n E |
= Е Л Г |
|
, так что |
|
|
|
|||||
|
• K C N Ес |
- Е |
, Е ,F С До . |
|
|
|
|
|
|||
Поэтому, А,° |
АЛС - СА,С4 |
А £ ) |
l A j _ c |
^ А , Ч |
= |
|
|
|
|||
- ( А ^ А й и ^ л А х ^ А ^ А ^ ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Из /8.1/ и /9.5/ вытекает, |
что .U* (Ас ДА^ 1 < £ |
, |
|
|||||||
следовательно, учитывал , что А^ |
* - элементарное |
иножест- |
|
||||||||
BÛ и рассуждая как при доказательстве /9.2/, |
заходим |
|
|
||||||||
|
|
| ^ ( А е | - д С А 6 с ) | < е . |
|
|
/ 9 i g V |
|
|||||
В свлу аддитивности меры аленентарного множества |
|
— |
|
||||||||
— рЛА^Ѵ ц\Р\^) , ti поэтому, |
принимая во внимание /3.2/, |
||||||||||
инеем |
ЦДАІ = ,0-*(АЬ [ МЛ0 1-,ц « ( Дс)] = |
• |
|
|
|||||||
= Г |
М С 4 Ѵ ] V t Д |
ф - U.4AC )]' |
, откуда, в |
|
|||||||
I |
i |
1 |
- |
'ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•силу /9.г/ и /9.2'/, находим чти (u*{f\) |
- и* (.А)! |
£ |
|
|
|||||||
Так как полонительное |
'здесь произвольно, |
то ,u. ^ (А) - |
|||||||||
•= ул * С |
и |
А |
|
является |
^ |
- измеримым. |
|
|
|
||
.Необходимость. Пусть множество А С А А |
|
|
|||||||||
и. - измеримо. Зададим произвольное £ > О |
и обозначим |
|
|||||||||
через ^ / Л ^ і , |
|
такую систему |
промежутков |
.Д.у, с". Д„ |
, |
ч |
|||||
Возьмем такое натуральное N |
, |
чтобы |
|
|
|
|
|
||||
|
|
z |
u . c o < |
^ |
|
|
|
|
|
||
и положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А , |
^ |
О |
д , |
- |
|
|
|
|
|
является элементарным подшюхеством промежутка ^ |
о |
; |
|||||||||
мы утверждаем, что оно удовлетворяет неравенству /9.1/. |
|
||||||||||
Для доказательства1 прежде всего заметим, что |
А4 |
А^*" |
|||||||||
С ( U ^ = < Л - п Ъ |
AF C - |
U„>t\l |
|
.а поэтому, в силу счетной |
•полуаддитивности верхней меры имеем
а, поскольку ^ ( A A A J U A s A T H А£ ^ д ) _
то для доказательства соотношения /9.1/ нам остается провер что
С wot" целью оорвяачжм через \ Д ^ ^ |
такую систему пр |
|
хумоа Л-ѵ, С А 0 , |
для которой |
|
Заметим, что |
А =Гд £ Л Ас С AFC |
Л ( Ü ^ i А*.} = |
|
|||
— У ^ Ѵ ( Л |
rtS^ja следовательно,.чтооы доказать 3.4 достаточно |
|||||
проверить, |
.что |
|
|
|
|
|
^ |
X |
/иСАеЛ Л,,) <; % |
t |
• |
/0.4 / |
|
Принимай но внимание, что ( A ^ A A ^ J U |
(.Д^ |
4 A J = |
и что • |
|||
мера ул- |
на |
элементарных множествах аддитивна, так что |
|
|||
^ ( A J A A ^ V |
JILIA .уЛ А ) ~ |
, имеем |
|
|
||
Далее, так как системы ^ û ^ y ^ t . ^ |
и ^ A ^ ^ A ^ J ^ - h |
|
||||
вместе взятие покрывают, промежуток Д0 |
, |
то |
|
Кроме того,
4- |
|Мл~Л + Х ^м-)4 |
ДІАН - І ^ " ( А Ч f з |
и, на |
основании замечания 9.4, |
откуда, в силу |
вытекает '(9.4'J. |
|
?,f Теорема. Класс и_ -измеримых множеств о- |
||
ляатсл er -алгеброй * , JL*!ÎB2JlS^£^ |
и. , |
p^cHjwpjjMe'eiagjiä этом і!ласде^гапяе^г^я^еод£ииамлмо^й вддаіяв-
ноі^ и, нормальной.
.1 Очевидно, |
с-алгебра Й. -иамеркмых множеств содержи все |
борелевские |
подмножества основного промежутка. |
Доказательство зтоі важной теоремы нам удобно расчленим,
на несколько |
этапов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 . 6 . 1 ° . OJÖSÄHjiejrae |
|
|
|
^^ЗЙНК. множеств |
jx |
- измери~ |
|||||||||||||
_мо. Действительно, |
пусть Д^ |
|
и |
- |
JU.- измеримые мноке- |
||||||||||||||
ства, а 5>Л |
и £>а_ - такие элементарные множества, |
что |
|
|
|||||||||||||||
Положим A S |
A, U А,. |
|
, |
А £ - |
В , ^ В ^ |
. Так |
как |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
( A < u A j M & ^ B O c ( A , A f c O u |
(А ѵ А В г . ) |
j |
/9.6/ |
|
|
|
|
||||||||||||
то в силу полуаддитивности и* |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
/А/(A * A t U |
|
|
* 7ВЛ h уиЧАя.А В J < е , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9 . 6 . 2 ° . ^ересечение |
|
JA.- изиддимых^нок^ств |
/с-изме- |
|
|
|
|||||||||||||
pjuio. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы инеем А, Л Аа__= ( А ^ ы |
|
и наше утверждение |
|
|
|
|
|||||||||||||
вытекает из замечания |
|
3.4ц. |
|
|
1\^^.ЬА° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 Действительно, |
пусть Е ^ |
|
(A,UA^ A |
(ß<u B t ) |
, тоесть, |
|
|
|
|
||||||||||
E = [ C A , U A J n |
( f e , U B j c > [ C & ^ B j O |
(.A.oAj^J |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
с |
С |
Л |
N |
C |
|
|
|
|
|
|
|
с |
Ь |
4 |
й |
] С |
Так как(МиІ\Л = М |
|
|
|
, то Е = [ С А , о A J Л В, п |
|
|
|||||||||||||
Принимая во внимание распределительный |
закон (А ° |
В ) О С. = |
|||||||||||||||||
— САЛС^Л [ В Л С ) |
|
|
, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Е = ( А , Л Ь , С |
л В ^ Ѵ ѵ |
(Ая.пВ^л |
В г Ч и ( В , л А , % |
А £ Ѵ |
|
||||||||||||||
и С Ь г л А , с л |
А^-)с |
CA,'о |
|
Ь , с ) и ( . А і л |
) ѵ_» |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
о (&,п А,Ч о |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
"СВ^Л |
А г |
) ~ (А,\ |
|
о ( А ^ B j |
|
^ |
|
|
|
|
?.ij.3°. Разность, |
^x^ÇSS^i^JlèiiSA^^^J^S^l^'iSBJl |
|
|
рзность, |
и-и^змедимых шшлестн р, -jWMepjyja. |
|
|
Ото |
вытекает из формулы А д ^ А ^ — A, л AJ^" |
( ИЗ |
|
|
I- f Jо |
|
|
замечании 9.<1 и из
Г.6.4° ^а^Лр^его__7 (^ильмe^^я5ЛJeJcnJДДJИTJJMoй,.
Ото предложение мы докажем используя аддитивность меры
элементарного множества /си.7.4/ |
и признак измеримости 9.5. |
||||||
Пусть А и £> |
непересекающиеся |
^д. - измеримые мно |
|||||
жества, a |
Af |
и В е |
- такие элементарные множества, что |
||||
u f |
А А А Н |
<•£ |
N |
М- ( . &* b f |
3 < t . |
/9.7/ |
|
ПОЛОЖИМ С |
A |
В |
, С е — А £ |
О tb |
; множество С JU - из- |
||
|
|
Р |
|
- элементарно. !і силу |
' |
||
меримо, а множество |
|
замечания 8.3 и |
|||||
соотношения /З.й/ |
имеем |
|
|
|
|
||
и І о * ^ ) 4 |
^.(.ААА^ + > ( B A Ë > J , |
|
|||||
а поэтому (_<UM. |
.4)) |
|
|
|
|
Так как мера ju на элементарных множествах аддитивна, то
u-(A'ï = 'yu С А ^ + д |
( ß t ) |
~ |
I А£ л В е ) , |
|
||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
1;о. [О ~^[Kt) |
~fu [ \ ] |
- h |
LA£ n |
1 < U . |
/ s > |
8 / |
Ma основании замечания 8.3 и неравенств(9.7)заключаем, что |
||||||
Для того, чтобы оценить ц> (.^£ Л |
^ І ) |
> заметим, |
что, |
поскольку |
I |
- |
2 5 |