Файл: Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 62
Скачиваний: 0
Последняя формула совпадает с вероятностью безотказной работы для случая резервирования без восстановления при кратности т = 1. График этой функции уже был подробно исследован. Очевидно, что при кривая вероятности без отказной работы пойдет выше (рис. 49).
Таким образом, резервирование с восстановлением целесо образно для большей области М, чем резервирование без
.восстановления.
Г Л А В А 5
ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ
§ 27. Понятие эффективности функционирования
Сложные автоматические системы, как правило, имеют не которую структурную, элементную или информационную из быточность. Поэтому при появлении частичных отказов ра бота систем не прекращается, но качество функционирования снижается.
Для оценки качества функционирования систем с учетом частичных отказов вводится специальная количественная ха рактеристика— эффективность функционирования. Эта харак теристика учитывает не только потоки отказов и восстановле ний системы и ее частей, но и качество функционирования си стемы в том или ином состоянии.
Для оценки эффективности функционирования можно раз делить системы на два типа: системы кратковременного дей ствия; системы длительного действия.
Системы кратковременного действия предназначены для выполнения задач, продолжительность решения которых такова, что за время решения система практически достоверно остается в одном и том же состоянии. Эффективность функ ционирования таких систем оценивается вероятностью выпол нения задачи.
Системы длительного действия в процессе работы пере ходят из одного состояния в другое за счет отказов и восста новлений подсистем.
Эффективность функционирования систем длительного дей ствия оценивается количеством переработанного продукта или информации.
«О
Эффективность функционирования применяется для срав нения вариантов систем при проектировании и для проверки их соответствия техническим требованиям.
§ 28. Эффективность функционирования систем кратковременного действия
Обозначим через hs (t) вероятность того, что система крат ковременного действия в момент времени t находится в s-u состоянии, а через Ф8 — условный показатель эффективности
•функционирования в s-м состоянии. Тогда эффективность функционирования системы кратковременного действия оцени вается по формуле
£(*) = 2 л, М ф,
S
(суммирование производится по всем возможным состояниям системы).
Входящий в формулу условный показатель эффектив ности Ф„ представляет собой вероятность выполнения задачи системой при условии, что она находится в s-м состоянии. Конкретная его величина определяется из технологических со ображений.
Вероятности состояний hs(t) определяют исходя из пото
ков отказов и восстановлений системы в целом |
и |
ее |
частей, |
||
как мы делали это в предыдущих |
главах. Например, |
для си |
|||
стемы, состоящей из п независимых |
элементов, |
каждый из |
|||
которых может находиться в работоспособном |
состоянии или |
||||
в состоянии отказа с вероятностями |
соответственно |
Pi{t) и |
|||
qi{t), вероятности состояний определяются так: |
|
работоспо |
|||
вероятность состояния, когда |
все элементы |
||||
собны, |
|
|
|
|
|
П
М О = П i-i
вероятность состояния, когда отказал только один /-й эле мент,
hj (О = Р\ (0 Р* (*)■•• (*)•■ •Рп (*) |
9/ М |
П М * ) ; |
||
Pi К ) |
||||
|
|
i-i |
||
вероятность состояния, когда отказали только /-й и k-& |
||||
элементы, |
|
|
|
|
4j{t) 4k[t) |
П />,(*) |
|
||
Pj[t)pk\t) |
|
|||
|
/=i |
|
|
|
и так далее.
6 |
81 |
Порядок расчетов по приведенным формулам поясним примером.
Радиолокационная система аэропорта предназначена для осмотра пространства в пределах 180° по азимуту и обслужи вается двумя одинаковыми станциями 1 и 2. Станция 1 пере крывает пространство в пределах сектора 0— 110°, станция 2— в пределах сектора ПО— 180°. Коэффициент готовности /гг каждой станции равен 0,95. Вероятность обнаружения само лета на заданной дальности в зоне действия одной станции равна 0,9.
Требуется определить эффективность функционирования радиолокационной системы, если задачей является обнаруже ние на заданной дальности самолета, появляющегося в любой момент времени с равной вероятностью на любом азимуталь ном направлении от 0 до 180°.
Рассмотрим возможные состояния системы, их вероятности и условные показатели эффективности.
Состояние So — ни одна из станций не отказала. Его веро
ятность !г0 = kr2 = 0,9025. При этом в |
секторах |
0—70° и |
|
ПО— 180° вероятность обнаружения |
равна |
0,9, а |
в секторе |
70— 110°, где действуют обе станции, |
вероятность |
обнаруже |
|
ния равна 1 — (1 — 0,9)2 = 0,99. Таким образом, условный по казатель эффективности
Ф° — Т§о°’0>9 “Ь |
40°180° |
0,99 |
18070°е •0,9 = |
0,92. |
Состояние Si — первая |
станция отказала. Его вероятность |
|||
h [ = (1 — /гг)kT= 0,0495. Условный показатель |
эффективности |
|||
Ф ,= 70° |
•о |
ПО-10,9 = 0,55. |
|
|
180° |
|
180 |
|
|
Состояние So — вторая станция отказала: /?2 = 0,0495; Ф2 =
=0,55 (состояние s2 идентично Si). Состояние Si2 —-обе станции отказали:
Л12 = ( 1 — /гГ) (1 - £ г) = 0,0025; Ф12 = 0.
Эффективность функционирования радиолокационной си стемы
Е — /?.дФ0 “Ь ^i®i ~Ь |
“Н^12^12 — 0,883. |
§ 29. Эффективность функционирования систем длительного действия
Расчетная формула эффективности в этом случае учиты вает тот факт, что по ходу работы имеют место переходы из одного состояния системы в другое. Конкретная реализация:
82
процесса переходов состоит из ряда событий — отказов и воестановлений подсистем, происходящих в моменты времени
tu hi hi •••
Эффективность функционирования системы оценивается на участке времени от 0 до t п представляет собой количество переработанного продукта или информации. Обозначим: dh,z(t) — элемент вероятности того, что система в интервале времени от 0 до t имела я-ю реализацию процесса переходов; Ф* (t) — условный показатель эффективности функционирова ния для этой реализации процесса переходов.
Тогда эффективность функционирования выражается фор мулой
E { t ) = J Ф o*,t
где интегрирование производится по пространству всех воз можных реализаций процесса переходов и по времени.
Величину Ф_ (t) определяют из технологических сообра жений, dh^ (t) находят исходя из потоков отказов и восста
новлений системы и ее частей.
Составим формулу Е (t) для случая, когда система состоит из п независимых невосстанавливаемых элементов, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний (рабо тоспособном или состоянии отказа).
Здесь имеется ограниченное количество возможных реали заций процесса переходов, поэтому интегрирование по прост ранству переходов заменяется суммированием. Каждой реа лизации соответствует определенное слагаемое в общей фор муле E(t).
Рассмотрим отдельные реализации и соответствующие сла гаемые.
я = 0 (нулевая реализация); за время t ни один элемент не отказал. Здесь
l d h a { t ) = p l {t) р 2 ( t ) . . . p n{t),
о
где pi(t), . . . , рп (/) — вероятности безотказной работы элемен тов. Слагаемое
тг
S0 = P i (t) р 2( * ) . . . Р п (t) Ф о = П А (t) Ф0.
1=1
я = 1 (первая реализация); за время t отказал первый элемент, остальные не отказали. Если считать, что отказ эле мента произошел на участке времени dt\ вблизи t\, то
d/ц (*,) = а, (t) dhp2(0 ..-рп(О-
6* |
83 |
Слагаемое
si = J a>\ {ti) dtxp, {t)... pn(t) Ф, (4).
U
Случаи я = 2, 3, . . .. /г соответствуют реализациям, когда отказали второй, третий и т. д. элементы. Формулы для сла гаемых находят аналогично случаю я = 1. Учитывая, что вероятности p\{t), ... , p n(t) не зависят от tu всю группу сла гаемых si + s2 + s3+ ... + s n можно записать так:
о
Следующая группа реализаций связана с отказом двух элементов. Предположим, что сначала отказал /-й элемент на
участке времени dtx вблизи 4, |
а потом /е-й элемент на уча |
|
стке dt2 вблизи t2 (случай я = |
j k ) . |
|
Элемент вероятности этой реализации переходов |
||
Пд/(Л |
|
|
dhjk (tu ^ ~Pj[t)pk (0 / ai (*i) d ti |
ак (*г) d t 2 • |
|
О) |
(2) |
(3) |
Сомножители (1) — (3) в формуле имеют следующий смысл: (1) — вероятность безотказной работы всех элементов, кроме /-го и &-го; (2) — вероятность отказа /-го элемента на участке времени от 0 до 4; (3) — вероятность отказа k-ro эле мента на участке времени dt2 вблизи t2. Слагаемое
П
П Pi(<) |
, |
,2 |
|
|
Sjk = -p ~ { t ) P k (t) |
l |
^ 2 ) d t 2j a } (4) ФуА(4 , t2) d tx. |
||
Условный показатель эффективности Ф |
t2) |
внесен под |
||
знак последнего интеграла, так как он зависит |
от |
моментов |
||
отказа 11 и t2. |
|
|
|
|
Вся группа слагаемых, соответствующих реализациям с от |
||||
казом двух элементов, |
|
выражается следующим |
образом: |
|
2
1 -6j <п
1 <к<п
П Pi (t) |
t |
tn |
|
i= 1 |
I a k (4J dt2J ctj (4) (t>Jk (4, 4 ) d tx. |
||
PjWPkV) |
|||
о |
0 |
||
84