Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.08.2024

Просмотров: 55

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

+ 2 (u*-*;i>o) и p ( i K n - y ; i > « ) < 2 Р ( - 1 - | А * - А ; | >

>~T>7T^+

2

P * ; C M - А а л е е з а Д а ч У 8 -

2N

ft=/V+l

 

 

 

Г л а в а 6 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

§ 51. Характеристические функции

Пусть w(x) = и(х)-{- iv(x)— комплексная функция дейст­ вительного переменного х. Математическое ожидание комп­ лексной случайной величины ш (X) = и(X) + iv(X) по опре­ делению есть

M[w(X)]=M[u(X)]

+ M[v{X)],

(1)

если математические ожидания в правой части равенства су­ ществуют.

Рассмотрим функцию eltx действительного переменно­ го х, содержащую действительный параметр t. Характери­ стической функцией случайной величины X называется

ср(0 = М(е'*)

( - с о < * < + с о ) .

(2)

Иногда функция (2) будет обозначаться <px{t). Опасность спутать характеристическую функцию с нормальной плот­ ностью распределения ф(лг)=<р(л:; 0,1) (см. § 21) исключе­

на, так как

аргумент характеристической

функции

будет

обозначаться

t.

 

 

Если X дискретна и принимает значения

хи дг2 ,... с

веро­

ятностями ри

р 2 , . . . . то

 

 

<Р(9= 2

(3)

к

 

Если X непрерывна и распределена с плотностью

вероятно­

сти р(х), то

 

+0О

 

tp(*)= ^ eitxp(x)dx.

(4)

—СО

В общем случае, если F(х) —функция распределения случай­ ной величины X, tp(£) выражается интегралом Стильтьеса

[ e»*dF(x).

(5)

—00

81

Так как \е"х\= 1, то ряд (3) и интеграл (4) сходятся абсолютно и равномерно (относительно t); следовательно, функция ф(/) определена при всех t\ нетрудно показать, что она непрерывна. То же справедливо и в общем случае, ког­ да q>(t) выражается интегралом (5).

Отметим еще некоторые простые свойства характеристи­ ческой функции, непосредственно вытекающие из ее опреде-

ления:

ф(0) =

1; при всех ^lcp(i')

| < 1 и

<р(—t)=<p{t);

если

р(—х)

з = р ( х ) ,

то ф(^) принимает

лишь

действительные

зна­

чения.

 

 

 

 

 

Допустим, что случайная величина X обладает абсолют­ ными моментами M ( | r V | m ) порядка m < n . Тогда ф(£) имеет непрерывные производные порядка < я. В самом деле, при этом в случае непрерывной X интеграл (4) можно я г ( < я ) раз дифференцировать по t под знаком интеграла, в результате чего получатся абсолютно и равномерно (относительно t) сходящиеся интегралы

срО") (/) = ^ е"* (ix)m p{x)dx (т=\, ... , я).

(6)

—оо

Тогда, когда X дискретна, аналогичное рассуждение приме­ нимо к ряду (3), следовательно,

<Р«"> (0 = ^

Шт

Рк

im =

1, • • - , я).

(7)

к

 

 

 

 

 

 

Положив в (6) или в (7) ^=0, получим

 

 

 

«p(m)(0)e x*am

( m = l , . . . , n ) ,

(8)

где a m = M ( A ' m ) — м о м е н т порядка

т

случайной

величи­

ны X (см. § 38). Таким

образом,

если

ат (яг< я) существу­

ют, то

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

= ! + 2 ^ t

m + o(n

(9)

В частности, если случайная величина X обладает математи­ ческим ожиданием М(Х)=а, то ее характеристическая функ­ ция имеет непрерывную первую производную; при этом

ф ( * ) = 1 +iat-\-o{t).

(10)

Отметим еще одно простое свойство характеристических функций: если Y=aX+$, то ЩеиУ) = М(е" <«*+?>)=е'Р'М(е<°'* ), т. е.

b(t) = e>V<tx(at).

(11)

92

В частности, если существуют М(Х) = а и D(X) = а2, то для

нормированной случайной

величины

Х=-^-{Х

 

— а)

 

 

 

=

4

(

7 -

) .

 

 

 

 

(12)

 

§ 52. Характеристическая функция суммы

 

 

взаимно независимых случайных

величин

 

 

Пусть X и У— независимые

случайные

величины

и Z =

=

X + У. Если допустить что е"х

 

и e"Y

также

независимы,

то,

воспользовавшись

известным

свойством

математического

ожидания, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<PZ (*) = М (eltz)

= М ( в " i X +

r ) )

=

М (е'7 А ' • eilY)

=

 

 

= М( е " А ') - М( е ' 7 1 , ) =

срх (0срк (0-

 

 

 

Итак, для независимых X, У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W W

= ?x(0«Py(0.

 

 

 

 

(1)

Вообще, если Х[,...,

Xп

взаимно независимы,

то

 

 

<?Xt+...+Xn(t)

=

<

?

X

l

(

t

Y -

( 2 )

Доказательство независимости е"х и е"у сопряжено с из­ вестными трудностями. Поэтому мы приведем здесь прямое доказательство формулы (1) для случая, когда X и У имеют непрерывные плотности распределения р(х) и р(у). Тогда (см. § 23 формула (6))

-fOO

+ ОО - f ОО

<P (Q =

5

e

"*(

\

P(x)p{z-x)dx

)dz

=

Z

 

 

 

>

 

 

 

—00

 

—00

 

 

 

+00

 

 

+00

 

 

=

^ JD(A-)^

^ e!tzp{z — x)dz^dx.

 

 

—CO

 

 

—00

 

 

Сделав замену переменного z — x = и, получим

+oo

+oo

<P2(') = \ e»*p(x)dx-

^ el<»p(u)du = <px{t).<?y(t).

93

Заметим в заключение, что из соотношения (1) менаду характеристическими функциями величин X, У и X-\-Y неза­ висимость X и У не вытекает.

§ 53. Формулы обращения

Напомним читателю некоторые сведения из теории ин­ теграла Фурье. Если функция f(x) определена на всей число­ вой оси, непрерывна, всюду имеет правую и левую производ­ ные и абсолютно интегрируема на ( —оо, 4 - ° ° ) , то f(x) мо­ жет быть представлена в виде

 

 

-Ьоо

 

 

 

/(*)=

^

C(u)e^du,

(1)

 

 

— О О

 

 

где

 

+О0

 

 

 

 

 

 

 

С(и) = -^

$

f(x)e-'»*dx.

(2)

 

 

—оо

 

 

Рассмотрим

теперь непрерывную случайную

величину А'

с плотностью

вероятности

р(х), для которой

существу­

ет М(А'). При этом ее характеристическая функция ср(/) бу­

дет всюду иметь производную

(см. §

51).

Допустим, кроме

того,

что (p(t) абсолютно интегрируема

на

всей числовой оси.

Тогда

формулу

 

 

 

 

<р(0 = \

e"*p(x)dx

(3)

 

—оо

 

 

 

можно истолковать как представление ф(^) посредством ин­

теграла Фурье. При этом

согласно

формуле (2)

 

 

 

 

 

 

 

+оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ e-"x<?(t)dt-

 

 

 

(4)

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

 

Так как по нашему

предположению

 

 

 

 

 

 

 

 

+оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

\<?(t)\dt<

ОО,

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то интеграл в правой части формулы

(4)

сходится

абсолют­

но и равномерно

(относительно

х),

и

его

можно

интегриро­

вать по х под знаком интеграла. Следовательно,

каковы

бы

ни были х'<х"

приращение

функции

распределения

F(x)

на

отрезке [xf, х"]

выражается

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+оо

—Мх'

 

— Их"

 

 

 

F [х") -

F (х') = ±

 

J

е " Х

~

е " Х

<р (0 dt.

 

(5)

— О О

94

Из формулы (5), в частности, следует, что для любого х

 

F{x)=4z

,

 

+2°

-их' _

.-их

 

 

 

 

 

(6)

 

 

lim

\

- i

^

<?(t)dt.

 

 

 

 

 

 

 

—со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно доказать

(здесь

это доказательство

не приводит­

ся), что для произвольной

случайной величины X с функцией

распределения

 

F(x)

справедливы

формулы,

подобные

(5)

и (6), если только х'

и х", а также х в формуле

(6) —точки

непрерывности

F(x),

а под несобственными

интегралами по­

нимаются их главные значения. Таким образом, в общем

слу­

чае, если F(x)

непрерывна

в точках х' и х",

 

 

 

 

 

F(x")-F(x')=^

 

 

Hm

\

 

= i

 

 

 

 

(7)

 

и, если F(x) непрерывна в точке x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

_ L

U

 

 

 

 

 

 

F[x) = ^r

lim

llm

\

e "

~ e '*

 

<?(t)dt.

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

—A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В формуле (8) x'

стремится к — со по множеству

точек не­

прерывности функции распределения.

 

 

Х\, х2,...

 

Если

X — дискретная

случайная

величина,

— ее

значения, р\, р2,...

— соответствующие вероятности,

то, фик­

сировав

какое-либо

хк

и

выбрав

х'=хк—h,

 

 

 

x"=xk-±-h

(/г>0)

так, чтобы

отрезок

[х', х"]

не содержал

значений X,

отличных от хк,

получим согласно (7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р к

= ± -

lim

\

e - u ' * ^ < t i t ) d t

(k =

\,

2,

. . . ) .

(9)

 

 

 

 

—А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы

видим,

 

что закон

распределения

 

случайной

величи­

ны X однозначно определяется характеристической

функци­

ей. Формулы

 

(4), (6),

(8) и

(9), при

помощи

которых,

зная ф(0, можно при различных предположениях

относитель­

но X восстановить закон

распределения X, носят

общее на­

звание формул обращения

в теории характеристических функ­

ций.

 

 

 

§ 54. Сходимость законов

распределения

Рассмотрим последовательность

случайных

величин

Xi, Х2,...,

X „

, . . . ,

(1)

имеющих соответственно функции распределения

 

Fi{x),F2(x)

 

Fn{x),-...

(2)

Смотрите также файлы