Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

Будем говорить, что задан закон

распределения

случай­

ной

величины X,

если

известны вероятности Р(Х 6 А) собы­

тий

(Х£ Д)

для

всех

промежутков Д.

В этом

параграфе

мы покажем,

что закон распределения

которой

функции

F(x)

числового

аргумента х,

определенной

на ДоЭто — функция

распределения

случайной

величины

X:F(x)

есть

значение

вероятностной функции

Р(Х

6Д) для

промежутка

Д = ( — о о ,

х), т. е.

F(x)=P(X

<х).

(1)

Установим некоторые простые свойства функции распре­

деления. Прежде

всего, ясно,

что

0 < F W < 1 .

(2)

Далее, если

х\

<

Х2, то

(X

<

х\)

cz (X

< х2),

поэтому

т. е. F(x)

— возрастающая

функция.

Рассмотрим

произвольную

убывающую

последователь­

ность

Xi > х2 > ...

>

х„ >

...,

стремящуюся

к —оо. События

Ап

•= {X

< хп)

(п =

1, 2,...)

будут связаны

соотношениями:

Аг ZD Аг

ZD • • • ZD Ап ZD

и, кроме

того,

Пгп7? (х) = 0.

(3)

сходящуюся к а, й рассмотрим

события

t)n

— (а < X

< х„)

(я =

1, 2,...).

При

этом

и

Д

э

Д

э

••• э £ ) „ з

• • •

оо

П

Д , =

( * = а ) .

Следовательно,

согласно § 5

Р(Х=а)

=

Urn Р (£>„) = iim [F (хп)

-

F (а)],

т. е.

л-*-со

п~*-оо

P(Z

=

a) =

F(a

+

Q) — F{a).

(7)

Если Л =

[а,

6], то

(ХеЩ

= (а<Х<Ь)

=

(а^СХ<Ь)

-\-(Х=Ь)

и согласно формулам

(6)

и

(7)

P{a^X<b)=F(b

+ 0)-F{a).

(8)

Если А =

(а, Ь),

то

{Х£А)

= {а<Х<Ь)

=

(а<Х<Ь)-(Х=а)

и в

силу тех же формул

Р{а

<

X

<b)=

F(b)~F(a

+

0).

(9)

Переходя к бесконечным промежуткам, заметим, что по

определению функции

F(x)

Р(—оо

<

X

<

b)=

F(b).

(10)

Далее нетрудно

установить

равенства:

P(-oo<X<b)

=

F(b

+ 0),

(И)

P(a<X<+oo)=l-F(a),

(12)

Р ( а <

J <

+ о о ) = 1— F(a +

0).

(13)

Формулы

(6) — (13)

показывают,

что

закон

распределения

случайной величины X однозначно определяется функцией

распределения

F(x).

Заметим еще, что вместо того, чтобы говорить о «случай­

ной

величине,

имеющей

тот

или иной закон

распределения»,

Р ( * < Е Д ) =

2

/>*•

(2)

В частности, положив

А =

( — о о ,

х),

получим функцию

рас­

пределения случайной

величины X

?{х)=

2

Pk-

(3)

хк<х

2

(

4

)

к

(2)

Для того чтобы в этом убедиться, достаточно в равенстве

положить

Л =

До.

Если

xk

и

xt

—два «соседних»

значения дискретной

слу­

чайной

величины

X

(т. е. между хк

и

xt нет других ее значе­

ний), то функция распределения F(x)

постоянна

на

полуин­

тервале (xk, xt\.

Если среди хк

есть наименьшее

значение

хт,

то F(x) = 0 при

— оо <^х

- < л т

; если

существует

наибольшее

значение хп,

то F(x)

= I

при

хп<_х

< + со .

§ 16. Непрерывные случайные величины

Случайная

величина X

называется

непрерывной,

если

су­

ществует заданная на До =

(—оо, + о о ) функция

р(х), всюду

неотрицательная,

имеющая

на

любом

конечном

промежутке

не более конечного числа точек разрыва и связанная

с X сле­

дующим свойством: каков бы ни был промежуток Д,

Р ( * 6 Д ) =

^

p{x)dx.

(1)

Такая функция называется

д

вероятности

случай­

ПЛОТНОСТЬЮ

ной величины X.

Положив'в

(1) Д =

До, обнаружим,

что

^ p{x)dx

=

\.

(2)

—оо

Взяв в качестве Л промежуток

(—оо, х), получим выражение

функции

распределения

X

F{x)=

J

p(x)dx.

(3)

—00

Р(х)=£-

(4)

Каково бы ни было а,

а

Р(Х = а)=^ p(x)dx

= 0,

Р ( а < X<b)

= P(a<X<b)

=

P(a<X<b)

=

ь

=

P(a<X<b)

= ^

p{x)dx.

(5)

а

вектор

U [X,

Y\ представляет

собой

векторную

случайную

величину

(или

случайный вектор), если имеется

поле

вероят-

ностей

(А,

Р),

охватывающее

события

вида ( t / g

М),

где М

содержащий все множества вида

Q =

{{x,

у);

xgAj,

уб ^ г !

(Ai,

Аг — произвольные

промежутки).

Соотношение

U(• М

означает, что точка с координатами X и У принадлежит к

множеству

М.

~*

Можно

убедиться

в

том,

что

А

содержит события

вида

где

(У £ М),

М — произвольное

борелевское

множество

точек

на плоскости.

Упомянутые

в этом определении

множества

Q =*{(*, у);

лсбД,,

у£Аг),

(1)

где

Аь Аг — какие-либо

промежутки,

условимся

называть

прямоугольниками

и обозначать

кратко Q[Aj, А2 ].

вектор-

Будем

говорить,

что

задан закон распределения

ной случайной

—*

У),

если, каков

бы

ни

был

величины U {X,

прямоугольник

вида

(1),

известна

вероятность

Р(С/ €

Q) =

= PL[(ATG Ai)(K€ Д2 )]. Закон

распределения

U [X,

Y\

иначе

называется совместным законом

распределения

X

и У.