Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
Рис. 49
111
Примеры. |
1. |
П р я м у ю 2л: 4-4у — 1 = 0 |
функция іш=—^- пе |
|||||||||||||||||
реводит в окружность, так как бесконечно |
д а л е к а я |
точка, |
лежа |
|||||||||||||||||
щ а я па прямой, переходит в начало координат, |
а |
остальные |
||||||||||||||||||
конечные |
точки |
прямой |
переходят |
в |
конечные |
точки |
|
плоскости |
||||||||||||
ю. Уравнение |
этой |
окружности |
(рис. 47) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
2 И - 4 - 0 — и 8 — г ; г = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( « - 1 ) 2 + ( г / + 2 ) 2 = 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. П р я м у ю |
у = кх |
функция |
w — — п е р е в о д и т |
в |
прямую |
|||||||||||||||
ѵ = —ки |
(рис. 48). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Окружность |
| г | = |
2 функция |
w—-^- |
переводит |
в |
окруж |
||||||||||||||
ность |
|
I w |
I = |
-—- (рис. 49). Внешность |
i<pyra|z|>2 |
перейдет пр |
||||||||||||||
этом во внутренность |
круга | w | < |
так как точка z — co области |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
| г | > 2 отобразится |
в точку ш = 0 области |
\w\<~~2~ |
• |
|
|
|
|
|||||||||||||
4. О к р у ж н о с т ь |
\z—1| |
= |
I преобразованием |
w= |
—^- |
п е р е |
||||||||||||||
водится |
в |
|
прямую, |
|
ибо |
точка |
2 = 0, |
л е ж а щ а я |
на |
этой |
окруж |
|||||||||
ности, |
переходит |
в |
w = cc. |
Найдем |
эту |
прямую . Точка |
2 = 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
. . |
|
|
|
|
|
|
окружности |
переидет |
в точку IÜ = —^- |
прямой. А так как в |
точке |
||||||||||||||||
2 = 2 окружность |
и вещественная ось пересекались |
под |
прямым |
|||||||||||||||||
утлом, то их образы по конформности преобразования г«у=—^— |
||||||||||||||||||||
пересекутся |
т а к ж е |
под |
прямым |
углом. Но вещественная ось |
||||||||||||||||
при нашем отображении переходит в вещественную ось. Тогда |
||||||||||||||||||||
уравнение |
|
искомой |
прямой |
будет |
и=~^- |
(рис. 50). |
Поскольку |
|||||||||||||
ж е |
точка |
|
2 = 1 |
отобразится |
в |
ш = 1 , то |
внутренность |
|
круга |
|||||||||||
\z—1|<1 |
|
перейдет |
в |
полуплоскость |
іі>—^-. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. Найдем |
окружность, |
в |
которую перейдет |
с |
|
помощью |
||||||||||||||
преобразования w = |
-^— окружность \z—2—i\ |
=2. |
|
Уравнение |
||||||||||||||||
этой |
окружности |
можно |
записать |
иначе |
|
|
|
|
|
|
|
112
( А - - 2 ) 2 + ( у - 1 ) 2 = 4
или
л - 2 + ; у 2 - 4 л - - 2 у + 1=-0.
Тогда уравнение преобразованной о к р у ж н о с т и будет (рис-
51)
\-4и + 2ѵ-і-и2+ѵ2
или
( и - 2 ) 2 + ( г / + 1 ) 2 = 4.
|
|
|
|
Рис. |
50 |
|
|
|
П о с к о л ь к у |
здесь |
г = 0 |
п е р е х о д и т в |
ге'=со, |
то круг \ z—2— |
|||
— 1 | < 2 |
п е р е х о д и т в |
круг |
| г ѵ — 2 - Й | < |
2. |
|
|
||
|
|
§ 4. Дробно - линейная |
функция |
|
|
|||
Дробно-линейной |
функцией |
называется функция |
вида |
|||||
|
|
|
W- |
a z + ô |
|
|
|
(1) |
|
|
|
cz+d |
' |
|
|
||
где а, Ь, с, d— |
комплексные числа и ad—ЬсфО. |
При |
ad—bc=0, |
|||||
|
а |
С |
Л. |
|
„ V |
|
|
|
т. е. при -jj- |
= - ^ - , ф у н к ц и я |
(1) п р е в р а щ а е т с я в п о с т о я н н у ю , |
||||||
так как |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
8 Зак. 227 |
ПЗ |
П о с к о л ь к у lim - w — |
, то будем считать, что точке z = c o |
соответствует точка w= —^- . В таком с л у ч а е функцию w
м о ж н о согласиться назвать непрерывной на со.
•о
|
|
|
|
Рис. 51 |
|
|
|
|
Если |
ж е |
считать, |
что |
образом точки |
г = со |
является |
точка |
|
a |
|
|
|
d |
|
|
|
|
•ю-——^-, |
а |
ооразом |
точки |
z — — •• - |
точка к' = |
со, то |
получа |
|
ется, что |
дробно-линейная |
функция |
(1) |
осуществляет взаимно |
однозначное отображение полной плоскости z на полную плос кость W.
П о к а ж е м , что |
дробно-линейное |
отображение |
складывается |
|
, . |
. |
1 |
из у ж е знакомых |
нам отображении — линейного |
н типа— |
Д л я этого запишем функцию w в виде:
114
_ az+b |
_ a (cz-\-d) |
+ (bc—ad) |
cz+d |
~ |
c(cz+d) |
|
bc—ad, |
1 |
сcz-\-d
Отсюда видно, что преобразование w состоит пз последователь ных преобразований
|
1 |
a |
c |
bc—ad |
|
1 |
Wi |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
т. е. из двух линейных и одного преооразованпи типа |
. |
||||
Из сказанного можно заключить, |
что |
свойства, общие |
линей |
ному преобразованию и преобразованию типа - ~ - присущи и
дробно-лиценному преобразованию .
Отметим следующие с в о й с т в а дробно-линейного отобра жения:
1) дробно-линейное отображение конформно на всей плос кости;
2) круговое свойство — заключается в том, что при дробнолинейном преобразовании окружность всегда переходит в окружность, если прямую считать окружностью. Очевидность этих двух свойств вытекает из того, что ими, как было пока зано ранее, о б л а д а ю т и линейное преобразование, и преобразо-
1
ванне — ; z
3) свойство симметрии — две точки, симметричные относи тельно некоторой окружности, при дробно-линейном отображе ний переходят в точки, симметричные относительно преобразо ванной окружности (доказательство не приводим),;
4) |
существует |
единственная дробно-линейная |
функция (1), |
||||||
о т о б р а ж а ю щ а я |
три |
з а д а н н ы е точки |
плоскости |
z |
в три заданные |
||||
точки |
плоскости |
|
w. |
|
|
|
|
|
|
Если дробно-линейную функцию |
записать |
в виде |
|||||||
|
а |
? л- |
b |
|
а |
|
Ь |
d \ |
|
|
~ Z |
|
|
~ |
a z + ß / |
0 |
|||
- |
г + |
Л |
_ |
|
- - г к і " |
- |
• Р - |
- • ' - - ) |
|
или |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8* |
115 |
то видно, что она определяется вполне не четырьмя значениями параметров а, Ь, с, d, а лишь тремя, за которые можно брать отношение чисел а, (>, с, d к одному из них. Способ записи (2) употребляется чаще других. Если мы хотим, чтобы точки z\, z2 , z3 перешли бы соответственно в точки W\, w2, а'з, то достаточно взять такую дробно-линейную функцию (2), у которой к, а, \і определяются единственным образом пз системы
|
|
|
|
|
= К |
— * Ï T O — . |
|
« - 1 , 2 , 3 . |
|
|
(3 ) |
|||||
Эту |
функцию мы |
получим |
иначе, |
|
исключая |
значения а, Ь, |
||||||||||
с, d из |
(3) п |
|
( I ) . Составим |
для этого |
разности |
|
|
|||||||||
•W—W |
|
|
az-rb |
|
|
az,+b |
|
|
(ad—bc)(z— |
|
z,) |
|||||
|
|
czArd |
|
|
czr\-d |
|
~ |
|
{cz+d)(cZl |
+ d) ' |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
W—W., |
|
az+b |
|
|
az.,+b |
|
|
(ad—bc){z—z2) |
|
|||||||
|
cz-rd |
|
|
~cz2+d |
~ |
|
(cz+d)(cz, |
+ d) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
az3 |
+ b |
azt-\-b |
|
|
( a d — ô c i ( z 3 — z , ) |
|||||||
|
|
1 |
|
cz, |
+ |
d |
cz,+d~ |
~~ |
|
(cz3 |
+ d)(cz^d) |
' |
||||
W-, |
|
_ |
äz3 |
+ |
|
b |
azt-\-b |
|
|
(ad—bc)(z:r-z,) |
|
|||||
|
|
czz+d |
cz-, + d |
|
|
{cz, |
+ d)(cz,+d) |
• |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
теп°р ь |
о п т 1 пения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
w — CO, |
(cz. |
\-d)(z |
|
--zl)_ |
|
|
||||||
|
|
|
|
•w—w-. |
|
|
-d)[z |
- z , ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
•ws—w, |
( c z , + |
d ) ( z 3 - z , ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
•w.A—w2 |
|
|
•uf)(z, - z 2 ) |
• |
|
|
||||||
Р а з д е л и в |
|
эти отношения одно |
на д р у г о е , |
получаем |
||||||||||||
|
W—Wi |
_ |
w3 — wt |
_ |
z — z{ |
|
_ z 3 —z, |
|
(4) |
|||||||
|
w—w-, |
' |
w.j—-w-> |
z—z2 |
|
' z-i—z-. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
Это и есть искомая дробно - линейна я |
ф у н к ц и я . |
С о о т н о ш е |
||||||||||||||
ние (4) |
у т в е р ж д а е т , |
что о т н о ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
z i . |
|
z%—zi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
Z2 |
Zj |
z2 |
|
|
|
|
|
116