Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.08.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Употребляются

обозначения

 

 

 

 

 

 

Д г - 0 л2

 

ИЛИ

 

 

d m

 

 

Aw

 

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

=

LIM —.—

 

 

 

dz

 

ДГ-О

Az

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

имеется

предел при

Az

->0,

т. е. при условии, что

точка

г + Дг

стремится к точке

г, причем стремление это должно

осу­

ществляться

по любому

пути.

Это условие и накладывает на

дифференцируемую

функцию

комплексного а р г у м е н т а / ( г )

более

жесткие требования, чем на дифференцируемую функцию дей­ ствительного переменного. Можно доказать, что и здесь диффе -

реицируемость

функции

/ ( г ) в точке z влечет и непрерывность

функции в этой точке, но не наоборот.

Пусть w = f(z)

= u(x,

у)~\-іѵ(х,

у).

Займемся выяснением условий, которые нужно наложить на функции и(х, у) и ѵ(х, у) для того, чтобы функция f(z) была дифференцируемой .

 

Допустим,

что f(z)

дифференцируема

в точке

г. Пусть

 

 

Дг=Дл- + і Д у ,

Aw

= j(zA-Az)

— f (z)

= ii(x--Ax,

 

у4Ду)

+

+

i V (х+Ах,

у + Д у ) — и (х,

у)—

i V (л-,

у ) = и (х+Ах,

у + Ду) —

—

и(х, у ) - М

[v{x+Ax,

у + Ау)—ѵ(х,

у)] = Д « ( л ,

y) + iAv(x,

у).

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim -

Aw

=

,.

Аи(х,

у)

+

іАѵ(х, у)

 

 

 

.

^

lim -

 

Ах+іАу

 

 

 

 

 

 

Д 2 - 0

û

 

Д.ѵ-0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДѴ-ll

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот предел существует и не зависит

от

способа

стремления

Az к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть (рис.

15, и)

Az=Ax

( Д у = 0 ) .

Тогда

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

=

lim

An(x,

у)

 

 

 

 

Дх

 

 

 

Ах

 

 

 

Д.1--0

 

 

 

Д.1~0

 

 

 

 

 

 

 

У)

 

ди(х,

у)

 

дѵ(х,

у)

 

 

 

 

Ах

 

 

дх

 

+ і

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть теперь

(рис. 15, б) Az — /Ду (ДА-

0).

Тогда

 

 

f'(z) = lim

bLi±jWï^y±

 

=

_]

да (х,

у)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ду^О

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

 

 

 

дѵ(х,

у)

 

да(х,

у)

,

дѵ(х,

у)

 

 

+ 1

 

ду

 

 

 

ду

 

 

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

Полученные выражения для f?(z)

равны

 

ди(х,

у)

.

дѵ'(х,

у)

: -

да

(-Ѵ, у)

дѵ (л\ у)

дх

 

 

дх

 

/

 

дѵ

 

 

 

 

 

 

поэтому

 

du

(x,

y) __

дѵ

(x,

y)

 

 

 

 

 

 

 

dx

-

 

d'y

 

 

 

 

àv{x,

y)

du(x,

y)

(6)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dy

 

 

Условия

(6)

называются

у е л о в и я м и

К о ш и - Р и м а н а

(условия

С.—R.)

 

или

Э й л е р а - Д

а л а м б е р а.

УХ

a) A Ï - д х

Рис. 15.

Таким образом, условия /Г . — R . необходимо выполняются в точке, в которой функция f(z) дифференцируема .

П о к а ж е м , что если функции

и(х,у)

\іѵ(х,у)

(6)

дифференцируемы

в точке

(х, / / ) , то из выполнения

 

условий

будет

следовать

диффеоенцкруемость

функции

 

f(z)

в точке z — х

-і- і\>. Действи­

тельно, еслѵ\і((х,

у)

и V

(х,

у)

дифференцируемы

п точке

(х,

у),

тогда

 

да

, .

<

? «

. ,

.

 

.

 

 

 

 

 

Ди

 

 

 

 

 

 

=

 

 

ду

 

А у -|- а,Дх

-г а,Ду,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дг»

=

Лл--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

а.,, ß,, ß2

стремятся

к

нулю,

когда ДА- и Ду стремятся

к нулю.

Так как условия

( 6 ) , по

предположению,

выполняются,

то

можно

ввести

обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

дѵ

= CL,

 

 

 

du

àv

=

b.

 

 

 

dx

dy

 

 

 

dy

~dx~

 

 

28

Тогда

 

 

 

 

Дм =

аХх

— bày -f- a.làx

+

я2 Ду,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дт> = Мл: +

аДу + 3,Дл- +

ß2 Ay

 

 

 

 

 

 

 

 

А / ( г )

= Дгі

- j -

гДг) =

а(Дл:+іДу) - f го(Длн-гДу)-]-

 

 

 

 

+

(а1

+

ір 1 )Дл+(а 2 - Г - гЭ 2 )

Ду = ( а

 

+ і6)

Az +

[(*, +

# , )

Д Л +

 

+ (a2 +

iß2)

Ду] =

( а + і 6 )

Дг

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дг.

 

Таким

 

образом, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

= я + / 6 ; ( a r ! - i 3 , ) | £ - f ( , 2 +

^ 2 ) ^ = а + /6 1-е.

 

 

Остается

доказать,

что при Дл'-^О

и Ду->0 е->0.

Этим

и

будет

доказан а

дифференцируемость

f(z).

 

Действительно,

 

 

 

 

i4 = I K + i ? . ) - | j + ( A 2 + ^ ) - | F < « i + i ß i

АЛ-

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

Ду

 

< h i - f i ß i H - h 2 + i p , | < | a i H - | ß , n -

 

 

 

 

 

 

 

Д2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та к

как

 

 

 

 

 

 

+

Ы +

І Ы ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дд: j

 

 

 

Дх

 

 

 

 

| Д * |

 

<

1,

 

 

 

 

 

 

 

д * Т

Д А ' + І ' Д \ /

 

 

1/ Ах 2 + Ду2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ау

 

 

 

|Ду

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Az

 

У

Дл-2

+

Ду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•Но

поскольку

a,,

3,, а,,

3, стремятся к

нулю

при

стремлении

Ах

и Л у к нулю,

то ие-ä-Ö.

А при

Дл:->0,

Ду-э-0

обязательно

Az-s-0

тогда

при Дг-5-0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A A z )

,,,

,

 

, , .

 

да

 

. . дѵ

 

дѵ

.

du

 

 

 

 

 

 

 

 

^f'(z)

=

a + bi

=

- , - -h-1

-j

=

- з

 

1 - 3 - = =

 

 

 

 

Az

 

^ v

 

 

 

 

ÖJC

 

(?JC

 

dy

 

<?y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

.du

 

дѵ

 

дѵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

ду

~

ду

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

F [так,- доказана

следующая

теорема:

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Д л я

того чтобы функция f(z)—u(x,

у

) \-іѵ(х,

у)

была

дифференцируема

в точке z = x + iy,

необходимо

существование

в этой

точке

частных

производных

 

ди

 

да

дѵ

дѵ

и

- ^ - ,

 

- ^ ,

-^—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч

29

выполнение

У С Л О В И Й

Кошн -- Рнмана —— =

дѵ

'

дѵ

du

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

ду

~дх

ду

а при

дополнительном

предположении

днфференцнруемости

функции и(х,

у)

и t'(.v,

у)

условия

Кошп - Рнмана

являются

и достаточными

для

днфференцнруемости

f{z).

 

 

Определение 2. Ф у н к ц и я / ( z ) , дифференцируемая

во всех точ­

ках области

D,

называется

а и а л и т и ч е с к о й

млн

р е г у л я р -

и о й

в этой

области.

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 3. Функция

/"(г)

называется

а н а л и т и ч е с к о іі

или

р е г у л я р н о й

в т о ч к е

2,

если она

регулярна в неко­

торой

окрестности

этой

точки:

 

 

 

 

 

 

Определение 4.

Функция

f(z)

называется

р е г у л я р н о й

вз а м к н у т о й о б л а е т и D, если она регулярна в некоторой

области D.

§ 6. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения.

Рассмотрим

функцию іс> = f (z),

дифференцируемую

в точке z,

причем

Г (z)^Q.

Функция

w=f(z)

переведет некоторую

окрест­

ность точки z в окрестность

точки гс\ Тогда точки

z

и

z -І-Дг

окрестности z перейдут соответственно в точки w

и w-\-Aw

окре­

стности

а1 , а произвольная

кривая

у, на которой

л е ж а т точки г

+11

Рис. 16.

30

Смотрите также файлы