ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
диться в этом состоянии бесконечно долго. При М-»-оо спек тральная функция оператора Нм сильно сходится к спек тральнойфункции оператора Н, поэтому естественно рассмат ривать функцию
Ум(х, t, bj) = exp (— itНм) ф(х, lj) |
(6Л) |
как волновую функцию квазистационарного состояния (эта функция была бы стационарной, если бы оператор эволюции системы ехр(—itHM) немного поправили и заменили бы на оператор ехр(—itH)).
Вероятность Рм{1) того, .что частица, описываемая вол новой функцией (6.1), в момент времени t будет находиться
в состоянии ф(х, ij), есть |
* |
|
|
Рм(0 = |(Ф (, |
b,), |
exp (— UHM) ф(, Ч )) I2 = |
|
= {2n)~ZN|j |
exp (— ik2t) |ф.м {k, bj) |2 dk |2. |
(6.2) |
|
Наша задача состоит в том, чтобы вычислить асимптотику функции Рм{1) при t-yоо. Очевидно, что интеграл (6.2) мо жет 'быть записан в виде
Рм (^)<)=|j“ *-ш (ф. (£(чфя))^|
и поэтому в силу теоремы Винера [15]
|
р 11о§ рм0) |
d t < ^ оо. |
|
|
|
1-И2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, вероятность |
Рм{Ц не может |
убывать |
||
экспоненциально при |
Однако именно |
экспоненциаль |
||
ный закон наиболее |
естествен |
с физической |
точки |
зрения, |
и возникает математическая задача оценки точности, с кото рой он выполняется-. Полученная здесь оценка имеет, грубо говоря, следующий вид
Рм(t) = Ае~™ + О(Г‘/а),
где величина О(Г1/3) мала при Г->-0 равномерно по t.
Нам удалось оценить порядок величины Г в зависимости от параметров потенциала.
§ 2. Оценка энергетической ширины квазистационарного состояния и понятия квазиуровня
Сначала оценим вероятность Р (о) того, что система, опи сываемая волновой функцией (6.1), будет найдена вне интер
103
вала энергий [X;—ст, Х,--Ьа]. Из общих принципов квантовой механики вытекает, что
Р (а) = {2n)~N |
f |
|$м (k, |
Xj) |2 dk, |
|
Ift2—Xy|>o |
|
|
||
где |
|
|
|
|
■флг (A. Xj) = j u A,(x, |
k) ф(x, Xj) dx. |
|
||
Из теорем 1.8 и 5.2 следует |
|
|
|
|
Лемма 6.1. Справедливо неравенство: |
|
|
||
|
|
|
N—2 |
|
Р ( ° ) < 1 + 4/Г |
(d(M)M'/*/2) 2 J |
х |
||
X [1 — ехр(— od (Д4)/2 |/Л4)]~2ехр( |
М — Xj |
|
||
Ум |
|
|||
если |
|
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
|
d{M)M'd>2\{N — 2), |
|
|||
где |
|
|
|
|
d{M) = 0,5 р ({*, V (х) < |
М), |
{х, |
V (х) = |
оо}). |
Данная оценка является мажорантной и все входящие в нее величины вычисляются в явном виде по потенциалу.
Из леммы 6.1 вытекает, что в том случае, если
1, _М _У rf(Л4) > 1,
'Ум
описываемая волновой функцией (6.1) частица' с вероят ностью порядка ^1— ехр ^— М d (М) ^ будет найдена
в интервале энергий {X,—«т, Х/-Нсг], где а~ехр (— М — d (М)\
\ |
2 /М |
1 |
причем эта оценка равномерна по времени. |
Следовательно, |
|
волновая функция частицы в энергетическом представлении со временем остается локализованной достаточно четко и имеет смысл говорить о частице в состоянии (6.1) как о квазистационарной, что является косвенным оправданием нашей
модели. |
|
|
V(x)=oo}, |
— |
Напомним, что по определению Q—{x\ |
||||
связная компонента |
множества RN^Q, содержащая беско |
|||
нечно удаленную точку, Q2 = Rn'^ (Й U Qi). |
|
|
||
Теорема 6.1. Пусть mesQ2> 0 , р ^ , |
П2)> 0 , ||ф||2= И ' |
|||
а > -у , suppcpg Q2, |
|(Е+ Д)аср |2 = С< |
оо, |
IIР (X) IU = |
1> |
ф/ = (ф, Ф(, Х})) 02(М, т) —\\Gm(т) — G(т) |2. |
Тогда справедли |
|||
во неравенство |
|
|
|
|
104
F (Нм) cp — ^ cp7 (2я)~* |
J |
F (k2) uM(, Щфм (k, Ц dltU2 < |
|||
Xj<X |
\ k ~ X j\ < a |
|
|
||
exp (Vr) 0 (M, t) |
[£ e x p (2 (^ -X )T ) |
'U |
C,UE + H)a y b |
||
|
(1+A,)®-W4 |
||||
< 1 — exp (— fft) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В |
силу теоремы 5.1 собственные |
|||
функции точечного |
спектра |
оператора |
Я |
образуют полную |
|
в L2(Q2) систему, поэтому |
|
|
|
|
|
/?(Яд,)Ф= £ |
ф/ ( Я м)Ф(А/) + Е |
Ф / (Ям)Ф(А;), (6-5) |
|||
где ф .= (ср, ф(А^>. ф (А/) — собственные функции Я. Второе слагаемое в (6.5) оценивается так:
I v ф/ (нм)ф(а,)|[< Е 1ф/К(Е (1+ |
х |
|
kps-X |
h>% |
|
|
N |
|
X- ( S -<1 + |
+ ">“ 'РЬС(Я=) <* + Л) 4 |
■<6'6) |
причем в силу теоремы 4.1 константа в (6.6) зависит лишь от области Q2. Первое слагаемое в (6.5) преобразуем так:
Е [ф;Я (Нм) Ф (А,) = Е Ф/ |
J F ^ |
U*! ^ ^ ('k’ ^ |
^ = |
|||
Xj<k |
|
xj<x |
|
|
|
|
= |
£ |
Ф/ (2*Г"' |
J |
F(k2)uM(,k)^M(kyh)dk+ |
|
|
+ |
E |
Ф/(2я)- " j |
F(ki)UM(,k)$M(k,h)dk' |
(6-7) |
||
Оценим норму слагаемого: |
|
|
|
|||
|E |
ф/ (2я)—ЛГ |
J |
F (Щ (им (А) Фм А, V ^||2 < |
|
||
А;.<А |
lfe=—?.jl>0 |
|
|
|
||
|
< |
Е I фуIf(2it)_w |
J I ^ |
x>) i2dk\u < |
|
|
|
|
1 |
|
ifc’—m >° |
|
|
|
|
< ( E ( 2 « r W |
J |фм(йДу)|г^ ) ,/а. |
(6.8) |
||
|
|
\“<X. |
|fc2—Xjl>a |
|
|
|
105
Правая часть неравенства (6.8) оценивается по теореме 5.2. Подставляя оценки (6.6) — (6.8) в . (6.5), подучим утвержде ние теоремы.
Следствие. Если выполнены условия теоремы 6.1, то
IF (Нм) Ф - |
Ф/ (2n)~N |
f |
F (,k2) им (,/г) фм (k, Я;.) dkII < |
|
||||
|
я,-<я |
|
|Л2—Я3-|<а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N \ / сЦМ) М \ |
N— 2 |
|
|
< [l-e x p (-a d (M )/2 l/M )j-1|' 1 + 4/Г |
2 |
X |
||||||
|
■) |
|
||||||
|
/ |
М — Я |
|
|
|
|
|
|
|
X ехр \ |
2 уж - w |
) ) ( S |
|
0 '" + |
|
|
|
|
|
|
|
Яу<Я |
|
|
|
|
|
+ С||(£ + |
Я)“ ф||2(1 + Я) 4 |
|
(6.9) |
||||
В неравенстве (6.9) выберем Я достаточно большим, а потом выберем большое М. Тогда мы увидим, что для разложения функции ф в непрерывном спектре оператора Н существенны лишь узкие участки в окрестности собственных значений Я,-, эти участки —о, Я,+ц] имеют смысл «квазиуровней» опе ратора Н.
§ 3. Вычисление асимптотики вероятности распада квазистационарного состояния
Рассмотрим интеграл |
|
|
|
|
|
||
afj (М, a, t) = (2n)~N |
j |
ехр(— ikH) |ф;И(/г, Я,-) |2dk. |
(6.10) |
||||
|
Ik’— Яу|<(Т |
|
|
|
|
||
Лемма 3.1. Пусть 2|Яf |
(М)— Я/ |<(а<6/, М > уИ)., |
где Ь,- |
|||||
и Mj — константы леммы 5.7. |
|
|
|
|
|||
Справедлива оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|£!; (М, о, 0 - А3.(М) exp ( - iXf (М) /) |< |
Cj (а + а1/. + |
Г,-\(M)/a\t |
|||||
где |
|
|
jv _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
М М ) = |
|
( Я + ( / И ) ) 2 |
|
X |
|
|
|
|
П(/И) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
Г |
п, |
ГJ ф^'Ф/ |
|
(6. 11) |
||
|/ аИ +) |2( |
с й |
г |
|
||||
|
|П1=1 |
|
|
|
|
|
|
С7-— константа, |
которая |
не. зависит |
от t, М и о, |
величина |
|||
а+(п,М) и функция ф+ определены, формулой 5.22.
106
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Воспользовавшись леммой 5. |
, по- |
||||
лучим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
фм (k, kj) = j |
uii (x, n, Y'X) op (x, kf dx = |
|
||||
= j |
[exp (i (n, x) l/X) |
+ |
Sj (к, M) (x)] ф~(х, kj) dx -f |
|
|||
+ |
(к- |
к~ (M))~l af (n, M) J y f (x, kf (M), M) x |
|
||||
|
X ф(x, kj) dx = a, (k, M) + (к— kf (M))~1 X |
(6. 12) |
|||||
|
|
|
Xaf(n,M)((pt,4>i)\ |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
I i>M(k, kf |2 = |
(k, kj) |
(k, kj) — |
|
||
|
|
= |a, (k, M) |2 + 2Re {(к - |
kf (M))_1 X |
|
|||
|
|
X af (n, M) <cpf\ -фу) a, (k, M)} + |
|
||||
|
+ \k -kf(M ) Г 21af (n, M) |21(cp+, ф) |2. . |
|
|||||
Интегралы от слагаемых в (6.12) можно оценить так: |
|
||||||
а) в силу ограниченности функции а;- |
(k, М) по k и по / |
|
|||||
|
|
|
| |
|а3-(£, M)|2d&<Ca; |
(6.13) |
||
|
|
|ft=—ХуКсг |
|
|
|
||
б) в силу теоремы 5.9 |
|
|
|
|
|||
|
j |
|/г2 — kf (М) Г 11af (п, М) а; (к, М) |dk < |
|
||||
|Аг—Xyl«J |
|
|
|
|
|
||
|
|
< С ( |
j“ |
\aj(k,M)\2dky*<Co'/*-, |
(6.14) |
||
|
|
Ik2—ХуКа |
|
|
|
||
в) так как по условию 0 > |
2 |Я,у— Я/'ДУИ)], то |
|
|||||
|
|
|
|
. |
N —1 |
|
|
|
|
|
|
е~ш к 2 |
dk |
|
|
|
|
|
(k-kf(M)) (к•— Ху (М)) |
|
|||
|
|
IX—Ху;<а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
2ni exp (— ikf (М) t) (kf (M)' |
: (6.J5) |
||||
|
|
: |
kft(M)-k-(M) |
<С/о, |
|||
|
|
|
|
||||
следовательно, в силу равенства 5.35
107