Файл: Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы.pdf

Д о к а з а т е л ь с т в о

легко следует

из интегрального

представления

К1 (г,

г', p ) = j [р — ехр(— 7&2)]-1exp (— tk2)Ji+i/2(rk) X

о

X Ji+ч, {r'k) kdkr~ll2r'3/2.

Следствие. Если |ф|<Сехр(— аг2), то

(р£ — Go) р_| (Е + К1± (р)) ф = ф.

0 < р < 1 .

(5.42)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При указанных

условиях

на ф

функция

(£ + /(+ (р)) ф —

голоморфная на

(0,1) функция р

Положим по определению

^ ( р ) = - ц - 11£ + ^ (Ю к м ,

и £[0,

и.

Ниже мы рассматриваем оператор Ум (р)

как функцию

пара­

метров М и р со значениями в Сиа, а > 0 .

Лемма 5.18. Оператор Tm (M')

голоморфен

по р

при

р §£ [О, 1] й в некоторой окрестности отрезка [б,

1 — б]

имеет

аналитическое продолжение Тм+ (р)

из верхней полуплоскости в

нижнюю Т!м~ (р), из нижней полуплоскости в верхнюю.

Спра­

ведлива оценка

1 В наших прежних обозначениях пережиная р

это ехр(—Xt).

sup ITai (n) — t L(h)||i, «-*-0, • M -+00.

(5.43)

К1(р) А £ Сд.а,

А~хglM£ С2,<х>

что и доказывает нашу лемму. Оценка

(5.43) есть следствие

оценки 5.38 и того факта, что

glM(r, г’ ,

t) — gl{r,

г',

t)\0,

М-+-СЮ.

Лемма 5.19.

1)

Оператор (Е — Т^(ц))-1

не

имеет особых

точек

при

Р (Ё [0,

1];

2)

при M < oo

оператор (Е — Тм (р))-1

не имеет особых

точек на отрезке [5,

1— б], б > 0 ;

3)

операторы (Е — т£г (р))-1 имеют простые полюсы в точ­

ках р; = ехр(— ik\),

kj — собственные значения оператора Н-1п1-

Д о к а з а т е л ь с т в о этой

леммы является

тривиальной

модификацией доказательства теоремы 5.4.

Следствие. Пусть б > 0 таково, что на

отрезке [б,

1— б]

лежит п, /г >

1, чисел ехр(— k)t),

пусть

М < оо

и достаточно

велико.

Тогда

в некоторой окрестности

отрезка

[б, 1 — б] у

собственному значению kj,

*

Положим по определению

X‘f ± {М)-=-----Х- log pf (М)1,

(0 <

arg logz < 2я). (5.44)

Так как оператор {Е — Тм1 (р))-1

имеет

полюсы в тех и толь­

ко тех точках, где уравнение

' (£ —

= 0

(5.45)

имеет нетривиальные решения из Ва, то точки

± (Л4) — это в

точности те точки, где уравнение

(Е— Т%(к))Ц = 0

(5.46)

фЛ, (г, 0, ср) = ф*(г) Р\",] (cos 0) е‘"'ф,

— I < m < L

Так как у оператора (Е— Тм+ (р))” ’

все полюсы

простые,

'то у каждой точки р = ё~‘^ есть такая окрестность,

в которой

при достаточно больших М лежит в

точности один полюс

(М)1= ехр(— (к)± {М)1). Таким

образом, у каждой

точки /Ц

есть такая окрестность, в которой

при

достаточно больших М

Д'и (р) = det (Е— (рЕ — Gor1( G m

— Go)] = det (E— Tlu Qi))

и из леммы 5.18 в силу теоремы

11, стр. 202

и утверждения

8°, стр. 207, книги [13] вытекает

голоморфна

по р в области

Лемма 5.20. Функция Дм(р)

плоскости в нижнюю и из нижней полуплоскости в

верхнюю

(Дл,- (р)), причем справедлива оценка

'sup

|ДАт± (Р) — ДгД± (р)|^0,

М-*оо.

(5.47)

6<|Х<1—6

Лемма 5.21. Справедливо равенство

Д „±-(р) =

А± (GLt/Go) (Ц) П U -

ехР (-¥ ))•

(5-48>

/= 1

новых операторов для фазового сдвига бм(X)

операторов Нм и

Но справедливо равенство

-

6 ^ ) =

argA ir(e-w)

.(5.49)

(наша нормировка фазы такова, что

S(HlM, Hlo)(X) = exp(2i8lM(X))).

Из (5.49) и лемм 5.19'— 5.21 вытекает

Теорема 5.11.

Пусть выполнены

условия, I—'II, е)> 0 вы­

брано так, что на интервале

[Я,-— е,

1/ + е]

есть

только одно

собственное значение X= Х;-

операторе Н\пt.

Тогда

существует

6м (X) = arc cos ( — ReXt

(yVtj— -— \ + бм {X),

(5.50)

V \Xl? + ( M) - X \

j

где X\’ + (Л4) — введенные формулой (5.44) .числа и

i im И

I ®А1 (Ь) - Sext(X) 1=

0,

lim X}' + (M) =

Xj,

М-»оо |A—A.J 1<е

M-*oo