Файл: Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы.pdf

х ( Я I 'gM ^х’

у>l) I dy]qlP' с1х)1/ч<

< с '||фW|lp( j |£м(*,

У,

t) — g(x,

у, t)\dxdyyq^O,

М -> оо.

Лемма 1.9 доказана.

вытекает

утверждение: если (gM—

Из теоремы М. Рисса

— <?)->-О, при М-+оо

в

равномерной операторной

топологии

пространства

и

то (gM— g) ->0 в равно­

1/р(т) =

T/pi-f (1 — т)/р2; l/q(T) =

T/q1 +

( l — T)/qz,

0 < т < 1 .

Теорема 1.3

вытекает из лемм

1.8 и

1.9

на основе этого

утверждения.

Операторы gM и g вполне

непрерывны в

Теорема 1.4.

пространстве (Lp-^L®,

1<р^оо,

1^р<оо]

и принадлежат

[Lp-+Li, 1 ^psgtx),

l^ p ^ oo].

как опера­

Лемма 1.10.

Оператор g вполне непрерывен

тор [L^-vL®, 1^р<оо].

леммы

1.10.

Рассмотрим

множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о

{/, /=<£Гф,

N L < .1 }

и докажем,

что оно компактно в метри­

ке L®.

Воспользуемся

признаком

компактности

М.

Рисса.

Так как при ||ф|1оо^1

1(£ф(*)1< jl£(*.

У, f)\dy,

(1.42)

то в силу

оценки

(2)

теоремы

1.1

множество {/,

f=gq>,

||ф||„<.1} ограничено равномерно по ср в метрике L®, в силу

неравенства (1.42) равномерно по <ре{ср; ||ср|1оо<^.1}

Пт

Г

(£Ф) (*)|®сД< Нт

[ J |g(*> У,

t)\ dyjqdx

0,

A-+OQ\хJ\^А

Пт |(£ф) (х + Щ— (&ф) (х) |9 ->.0,

|h\-». 0,

|Л1-»0

а это вытекает из неравенства

К е т ) (•* + *) — ( £ ф ) ( * ) 1 ? < | [ y g ( x +

h,

у,

0 —

— ё ( х , у, 0 1 ф Ы 1^

] ‘7^ < С | | ф 1|оОJ J | g ( * +

A,

у, 0 '

— g(x,

У, t)\dxdy->-0, |/г| —>•0.

Лемма 1.10 доказана.

1) j I С?ф) (*)|d*‘<

0 IIФ(у) I dyj dx <

\А>А

<||Ф1(Я

J

|g(x, г/, 0 1 ^ ]Р'Ф )1/Р'->0 .

' |*|>Л

(1.43)

2) J |(Яф) (х + Л) — (£ф) (х) |Л < 11Ф (у) |[ |g(х + h, у, t)—

— g(x, у,

f)|dxjd0 < № l „ ( J[ J|g(jc +

/i,

у, t) —

~g(x,

y,

t)\dxY dy}4"’ <C\<t%^\g(x + h, y,

t) —

—g{x,'y,t)\dxdyjlp'-+Q,

]/zj -»0.

(1.44)

Из оценок

(1.43)

и

(1.44) вытекает

вполне

непрерывность

оператора g в метрике [Lp~y-L\ 1 <р<;оо].

Из лемм 1.43 и 1.44 вытекает |[3, стр. 65].

Следствие 1.

Оператор g

вполне непрерывен как опера­

тор

• [ L p - * L i ,

1< р < о о ,

1< ^ < о о ,

р > р ] .

Из теоремы Шаудера следует, что сопряженный

оператор

g* вполне непрерывен как оператор

[L4'-+-Lp',

1 < р < о о ,

1 < р < о о ,

p>q,

У' =

<7/(<7— 1).

Р' = РИР — 1)1-

Так как в силу симметрии функции g(x, у, t)

по х и у спра­

ведливо равенство

{/;

/ = £Ф>

1|ф||Р< 1 } =

{/;

f = g*Ф.

11ф|Р<1}>

то отсюда

и следует утверждение теоремы.

(Чтобы полу­

ство полной непрерывности.)

Включение g е [Ьр-+Ьч,

1<^р^оо, l-^psgrioo] тривиально

вытекает из оценок теоре­

мы 1.1.

a Cp,a — операторы класса Cv (см. i[4])

в L2a.

некоторых

Теорема Г.5.

Если

К(х)еЛ(о,

R) и при

а>0, 6>0, С < оо потенциал V(х) удовлетворяет оценке

|V (х) |<Сехр (— (а + б) |х|), \x\>R,

то оператор g ^ C i,a.

умножения

Д ок а з а т е л ь с т в о . Пусть В — оператор

на ехр(—&|л:|). Справедливо очевидное равенство

g (21) =

G0(21) - G(21) = Gl (t) - G2 (0 = .

= {[G0 (t) - G (01 B->} {BG0(0} + {G (0 В} {Б-* [G0 (0 -

G (01).

(1-45)

Докажем, что каждый

из операторов в фигурных

скобках

принадлежит С2,а-

Ядро оператора G (t) В удовлетворяет оценке

|G(t)B(x, y)\<C(t,

||V~|?) exp(— (х — у)2/At— b\y\),

поэтому

I < C (t, |УI ) f \g(x, у,

t) |exp (2b\y\) [supexp ( — (x — y)2/At +

J

X, у

Теорема 1.6.

Пусть

выполнены условия1 теоремы

1.5,

причем б>2а, и пусть К — интегральный

оператор,

ядро

которого К(х, у)

удовлетворяет оценке

\К(х, t/) I< Сехр Э ( |л:|+

|#|),

4р < а .

Тогда оператор Kg^Ciia.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Будем считать,

что

в формуле

(1.45) В — это оператор

умножения на ехр(—Ъ\х\), причем

a<b<2b<8. Достаточно

доказать

включения

KgB~l^ C 2a,

KGB^C2ia.

Теорема 1.7.

Если V(x)^A(a, R), то оператор g ^ C h0,

т. е. ядерный в L2

(RN) .