ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
Пусть Di={x, \х\^АR}, где число R выбрано так, что
£><={*, |x|^i?}. При х<={х-, |х|^'4/?} оценка (1.30) следует из уже доказанной оценки (1) нашей теоремы, поэтому (1.30) верна при всех x^R n. Так как
f|g(*> У, t)\dy = |
sup |
1Г |
(jc, у, t)y{y)dy\, |
J |
iMU<i |
IJ |
I |
то из оценки (1.30) следует оценка (2) нашей теоремы. Оценка (3) доказывается совершенно аналогично, если
применить к области {х, \x\~^AR) оценки (1.20), |
(1.21) и |
|
(1.29), а область {х\ р(х, |Q)^.6, |
включить в объеди |
|
нение конечного числа шаров, расположенных на |
положи |
|
тельном расстоянии от множества О. • |
|
|
Теорема 1.1 доказана полностью. |
|
|
Следствие. Если выполнены |
условия A (a, R), |
то спра |
ведливы оценки: |
|
|
J|g(*, У, t)\dy<C{\ + |д;|Jv+cc)_i, |
|
|
У> Оф О/) d^|<C(l + 1*|ЛГ+“)-1М#)||«, |
\х\>2R. |
|
Отметим, что попутно нами доказана
Лемма 1.7. Пусть-функция ср(у) непрерывна и ограни чена, D — любое множество с гладкой границей, располо женное на положительном расстоянии от множества £2. Функция
ср (х, t) = | G (х, у, t) ср (у) dy
есть решение смешанной задачи |
|
|
|
|
|
|||
-5г = А(р — V (jc) ср, |
х 6 А |
* > 0, |
|
|||||
dt |
ср(дг, + |
0) = ср (х), |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
ф (х, t) UerpD= j G (x, у, |
t) <p(у) dy. |
|
(1.31) |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из формул (1.18) |
и |
(1.22) |
следу |
||||
ет, что функции фб>(х; t) |
и cp<2)(x, t) |
при £>0 |
непрерывны по |
|||||
xeD 1, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ - |
а (1). |
|
_ V(xy<f(x, |
t), |
ч |
. |
. у,. , |
|
|
-1 Аф(1>= |
|||||||
х |
.== Аф(2>t |
|
t>0,. |
■ -X6 Dl |
|
|
||
Следовательно, |
функция. ф(^,Т)- = фУ)(д^ |
О+Ф^А. 0 |
удов |
|||||
летворяет уравнению |
‘ 5 |
- |
*- ‘ |
' |
|
|
|
|
|
■|2. = Дф-У(*)Ф, |
t> 0 |
, |
x £ D lt . |
(1.32) |
|
at |
|
|
|
|
Из формулы (1.18) следует, что |
|
|
|
||
lim(p(„v-, |
t)— lim ГфО (jc, <) + |
ф(2>(х, |
<)] = |
ф(х), |
x^Dt. |
f—>-|-0 |
t—>-|-0 |
|
|
|
(1.33) |
|
|
|
|
|
|
Так как D\ — произвольный шар, расположенный на поло жительном расстоянии от множества Q, то уравнение (1.32) и равенство (1.33) выполнены в каждой точке множества
А так как функция JG(t, |
у, t)q>(y)dy непрерывна по |
х е ,vDi при t>0, то задача (1.31) |
имеет единственное реше |
ние, и функция |
|
ф (х, t) = ф(» (х, t) + ф(2) (A', t) = j G(а, у, t) ф (у) dy
есть это решение. Лемма доказана.
Теорема 1.2. |
Функция G(x, |
у, |
t) |
при |
любых |
(>0 |
и |
||||
y^RN удовлетворяет соотношению |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m es{A; x£Q, G(а , |
у, |
t)=£0} = |
0. |
|
|
|
||||
Доказательство. |
Ясно, |
что Q = Q ( + ) U ^ <_). где Q<+>= |
|||||||||
= {а, |
V (а) = + оо}, |
= {а; |
V (а) = — сю}. |
Из |
условий |
||||||
A (a, |
R) следует, что mes Q<_) = 0, |
поэтому |
достаточно |
рас |
|||||||
смотреть лишь случай а 6 Q(+). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У(+) (а) = max(У (а), 0}, |
vffl (а) = гшп{И<+> (а), |
М}, |
|
||||||||
ШЧх, у, i) = |
G0(а, у, |
Q £ { e x p ( - 2 * J v f r W f ( A ( T ) - |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
— та(1)) + * + |
{У—*)т)£гт)}, |
|
|
|
|
||||
|
5<+> (а, у, |
t) = Пт2й") (а, |
у, t). |
|
|
|
|||||
При каждом М е (0, оо) функция G ^ (*, |
У, |
t) |
удовлетворяет |
||||||||
интегральному уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ш \ х , у , t) = G0(а, у, 0 - 2 |
|
|
|
|
I, t — т) X |
|
|||||
xVtf>(g)Gtf, (E,-y, т )# ] .
24
Отсюда следует, что |
|
|
|
||
2 j dt J G0 (*, |
Б, |
f — |
У, т)d l< G 0(x, |
у, |
0. |
о |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
J G0(л:, |
— т ) ^ 5(Б, р, |
x ) d K - ^ - G 0{x, |
у, |
t). |
|
0 а(+) |
|
|
|
|
|
Переходя к пределу при М->~оо, |
получим |
|
|
||
t |
J |
G0(x, Б, t — x)G{l, у, т)dg=0. |
|
|
|
j dx |
|
|
|||
0 |
Q (+ ) |
|
|
|
|
Отсюда в силу неотрицательности подынтегральной функции следует, что
mes {0< т < г !; Бб&(+)> |
G(£, У, т)=й=0} = 0. |
[О.ПХЯдг |
|
(1-34)
Переходом к пределу по М легко доказать, что при любом те(0, t) справедливо равенство
G(+> (х, у, t) = j G<+>(х, Б, г1— т) G(+> (Б, у , x)dg, Q+
поэтому
|§<+>(*, г/, *)<** = J[
j ’ G(+)(x, б, т) dxjG<+)(Б, г/, t — x)dt
а(+)
(1.35)
Из равенства (1.34) |
следует, |
что при любом |
можно |
найти такое т^(0, t), |
что выполнено .равенство |
|
|
Г |
GH->(*, |
x)dx = 0, |
|
а(+)
поэтому из равенства (1.35) следует, что при любом t^>0:
\ G<+) (х, у, t) dx — 0. |
(1.36) |
|
о<+) |
|
|
Так как G^>(x; у, t) > 0 , |
то |
|
mes(х:, х £&<+>, |
G<+)(x, у, £)=£0}=0. |
(Г.37) |
25
Справедливо неравенство
О < G (х, у, t) = G0(л:, у, t) g {ф(+> (x, у, t, x (т)) cp(->0, у, t, *(т))}<
< [G0 (х, у, t) g {ср(-> (х, у, t, х (т))2}1‘/2 [G0 (х, у, t)g x
X {ср(+) О, у, t, х (т))2}]1/2. |
(1.38) |
В силу леммы (1.4) справедлива оценка
!{ф<->0, у, |
t, х {%))*} <C \t, ||1/<->0)||9)< о о , |
|||
поэтому из (1.37) и (1.38) следует, что |
||||
■mes O', х 6 Q<+), |
G (x, |
у, t) ф 0} = 0. |
||
Теорема доказана. |
|
|
при каком-нибудь ре[1, оо] |
|
Следствие. Если ф(г/)еЕ? |
||||
н |
|
|
|
|
ф(х, |
t) = |
^G(x, |
у, |
t) ф (у) dy, |
то |
|
|
|
|
mes О ; |
|
|ф О , |
^)|=^=0} = 0 . |
|
§ 4. Операторы gM и g
Этот параграф посвящен изучению интегральных опера торов
(ёмf) О) = j gMО, у, t) f (у) dy, (gf) О) = J g (x, y, t) f (y) dy,
где функции gM(x, у, t) и g(x, у, t) определены формулой (1.12). Однако для нас существенно лишь то, что эти функ ции симметричны по х, у, удовлетворяют оценкам теоремы 1.1 и при почти всех х, у^ -Rn
UmgM(x, у, t) = g (х, у, t).
М—>00
Теорема 1.3. Операторы gM сходятся при М-э-оо к опе ратору g в равномерной операторной топологии простран ства
/ [LP-+L4, 1 < р < о о , 1<<7<оо].
Д о к а з а т е л ь с т в о основано на двух леммах.
Лемма 1.8. Операторы gM сходятся к оператору g в рав номерной операторной топологии пространства [L.P-+-D,
1 <Р<; оо].
Д о ка за те ль ств о леммы 1.8. Пусть ф(х)6 LP. |
Тогда |
||||||||
II (£м ф) (*) — (Дф) (х) Hi < |
J [ f 18м (х, |
У, |
t)— g {х, |
у, 0 |Ф(у) |X |
|||||
X dp] dx < |Ф(У) ||р( j [ j |gM (x, 'у, t)— g(x, у, |
t) |dx]p' dp)l/p’, |
||||||||
|
|
P' = PI(P— !)• |
|
|
(1-39) |
||||
Из оценки (1) теоремы 1.1 |
вытекает неравенство |
|
|||||||
j IgM (x, у, |
t)— g(x, у, |
/) |dx < |
11 gM(x, y, |
01 + |
|
||||
-+-I^(JC, y, |
t) |dx<2C (0 |
IIV^COJ,) jGoC*, |
y, i)dy = |
||||||
Следовательно, |
= 2C(t, |
||V<->(x)||9). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 С (< ,-| + > (,)| ,) |
j |
+ |
(x ' |
»• |
a ■ ( ) | , f c < 1 ' |
||||
и из неравенства (1.39) вытекает, что |
|
|
|
||||||
Ife* Ф) (X) - (дФ) (х) |х < |
2UP с (0 |
I У(~) (х) J)'/p|ф (х) |р X |
(Т .40) |
||||||
X (j| gM(x, |
у, |
t)— g(x, |
у, |
t)\dxdy)lJP'. |
|
||||
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Г | (а:, |
у, |
t)— g{x, |
у, |
t)\dxdy = 0. |
(1.41) |
||||
М—>оо J
Всамом деле, для любых фиксированных х, y^.Rn в силу леммы 1.6
lim {gM (х, у, t)— g{x, |
у, |
0) = 0. |
00 |
|
|
поэтому в силу оценки (1) теоремы |
1.1 и теоремы Лебега |
|
при любом фиксированном x^ R n |
|
|
lim Г|Дм(*, У, t)—g(x, |
у, |
t)\dy = О, |
Ai—^oo о |
|
|
а в силу оценки |
(2) справедливо равенство (1.41). Из (1.39) |
и (1.40) следует |
утверждение леммы. |
Лемма 1.9. Операторы gM сходятся к оператору g в рав
номерной операторной топологии пространства-* |
|
||
Li, 1 < р < о о , |
1 < р < о о , |
1/р + |
1/<7 < 1.]. |
Доказательство леммы 1.9. |
|
|
|
II(gMФ) (х) — (ДФ) (х) 0, <||ф(х)||р( j [ j |
|Дм(х, |
у, t) — |
|
- g ( x , у, t) Y d y f p‘ dx |
< 1ф (x) |p (2C (t, |!/(-> (x) |?УIp x |
||
27