Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

Из графиков следует, что радиус кривиз­ ны R и винтовой параметр р кривой линии остаются постоянными для всех ее точек. Полукасательные и бинормали рассматри­ ваемой кривой линии составляют постоян­ ные углы с заданным направлением.

Пространственные кривые линии, по­ лукасательные которых одинаково накло­ нены к некоторой плоскости, называют лини - ями одинакового ската (уклона).

Цилиндрические винтовые линии (гелисы) являются линиями одинакового уклона. Направляющими конусами полукасательных и бинормалей такой кривой линии являются конусы вращения.

Образующие направляющего конуса полукаеательных составляют с осью постоян­ ный угол Ô. Образующие направляющего конуса бинормалей составляют с осью по­ стоянный угол ( 9 0 ° — о ) . Эта ось представ­ ляет собой вырожденный направляющий конус семейства спрямляющих (ректифици­ рующих) плоскостей.

Величину угла <5 можно определить по известным величинам ki и кг, т. е. ^=ctg<5.

Величину этого отношения называют кони­ ческой кривизной пространственной кривой линии.

Определим величину радиуса кривизны проекции цилиндрической винтовой линии на плоскость, перпендикулярную к оси.

Для цилиндрической винтовой линии со­ прикасающаяся плоскость и касательная с

Э т о подтверждает, что огибающей се­ мейство спрямляющих плоскостей прост­ ранственной кривой линии является цилиндр вращения радиусом г.

Таким образом, рассматриваемая ци­ линдрическая винтовая линия (гелиса) про­ ецируется на плоскость, перпендикулярную к оси, окружностью радиусом г.

§ 90. В и д ы п р о с т р а н с т в е н н ы х к р и в ы х линий

Цилиндрическая винтовая линия явля­ ется, таким образом, геодезической линией

нусов полукасательных и бинормалей. На

= Äsin2 <5. Отрезки o'b' и о'а' приняты за фронтальные проекции образующих направ­ ляющих конусов полукасательных и бинор­ малей. Отрезок о'е' принят за фронтальную проекцию оси конусов вращения. П л о с ­ кость Qv пересекает направляющие конусы по окружностям радиусами г и R—г.

При развертке спрямляющего цилиндра преобразованием цилиндрической винтовой линии является, как уже известно, прямая линия. Она составляет с преобразованиями образующих этого цилиндра угол Ь,

Обозначим As бесконечно малое переме­ щение точки в направлении оеи и Ду беско­ нечно малое угловое перемещение точки при ее движении по цилиндрической винтовой линии.

Для бесконечно малого перемещения A L точки по кривой линии имеем As = AL • cos <5

Из этого следует, что образующие торсагеликоида с ребром возврата cd, c'd' накло­

скостью кривой линии cd, c'd'. Таким обра­ зом, полярным торсом строящейся кривой линии является торс-геликоид.

Нормальная плоскость кривой линии cd, c'd', перпендикулярная к касательной, на­ клонена к плоскости Qv под углом 90°—Ь и содержит бинормаль кривой линии.

Бинормали кривой линии cd, c'd' парал­ лельны соответствующим касательным кри­ вой линии ab, a'b' и, следовательно, нормаль ­ ные плоскости кривой линии cd, c'd' являются касательными плоскостями кривой линии ab, a'b'.

Известно, что пространственная кривая линия может быть образована точкой нор­ мальной ее плоскости, когда эта плоскость катится без скольжения по полярному торсу.

В рассматриваемом случае искомую гелису можно образовать точкой касательной

плоскости ее полярного торса-геликоида, 349 когда касательная плоскость катится по торсу без скольжения. Эта движущаяся точ­ ка всегда является центром кривизны кри­

вой линии cd, c'd'. Касательный торс-гели­ коид кривой линии ab, a'b' является, таким образом, полярным торсом-геликоидом кри­ вой линии cd, c'd'.

Цилиндрические кривые линии, касатель­ ные торсы-геликоиды которых—взаимно по­ лярные торсы-геликоиды, называют взаим­

ными гелисами.

На рис. 471 показаны развертки касатель­ ного и полярного торсов-геликоидов. Пре­ образованиями их ребер возврата является окружность радиусом R, а преобразования-

кривизны КС ф равен радиусу кривизны R. Следовательно, геометрическим местом центров сферической кривизны является реб­ ро возврата cd, c'a" полярного торса. Та­ ким образом, у цилиндрической винтовой линии центры кривизны совпадают с цент­ рами сферической кривизны.

2. Униполярные кривые линии. Эволюты

пространственной кривой линии

Пространственные кривые линии, имею­ щие общий полярный торс, называют уни­ полярными. Каждая точка нормальной пло­ скости пространственной кривой линии, ка­ тящейся без скольжения по полярному торсу, опишет одну из унополярных кривых линий.

Н а рис. 472 показана развертка полярного торса пространственной кривой линии на нормальную ее плоскость, точка С которой образует эту кривую линию . Точка С явля­ ется центром подеры EF преобразования AB ребра возврата полярного торса.

Какая-либо точка нормальной плоскости, например, точка C i , лежащая при данном положении нормальной плоскости на одной главной нормали с точкой С, описывает пространственную кривую линию, радиусы кривизны Ri которой определяются расстоя­ ниями от точки Ci до преобразований соот­ ветствующих образующих полярного торса. Главные нормали, бинормали и касательные

унополярных кривых линий соответственно параллельны между собой.

Унополярные кривые линии, таким обра­ зом, имеют всегда взаимно параллельные соответствующие ребра подвижных их трех­ гранников и, следовательно, одинаковые на­ правляющие конуса сопровождающих их торсов.

Если построить по определенному зада­ нию некоторую пространственную кривую линию, можно построить и кривую линию, с ней унополярную.

Из развертки полярного торса заданной кривой линии определим необходимые для построения расстояния между главными нор­ малями в соответствующих точках этих кри­ вых линий, расстояния между центрами кри­ визны и величины радиусов кривизны.

Между радиусами кривизны заданной и унополярной кривых линий существует при взятом положении точки Ci зависимость

линий имеет бесконечно-большое число эво­ лют, но они не являются геометрическими местами центров кривизны, как это имеет место для плоских кривых линий.

Р и с . 472