Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

В нормальной плоскости, на которую произведена развертка полярного торса, че­ рез точку С, описывающую при качении этой плоскости рассматриваемую кривую линию, проведем прямую и будем ее считать преобразованием геодезической линии, взя­ той на полярном торсе.

При качении нормальной плоскости точ­ ка С описывает заданную кривую линию, а прямая катится без скольжения по геоде­ зической линии полярного торса. Таким образом, эта геодезическая кривая линия полярного торса является эволютой рассмат­ риваемой пространственной кривой линии. Таких эволют пространственной кривой ли­ нии, очевидно, можно наметить на полярном ее торсе произвольно много.

3. Линии одинакового ската

Линиями одинакового ската называют пространственные кривые, у которых все касательные составляют одинаковые углы с плоскостью. Касательными торсами этих кривых линий являются поверхности одина­ кового ската.

Цилиндрическая винтовая линия явля­ ется линией одинакового ската. Линии оди­ накового ската, как и цилиндрические вин­ товые линии, имеют вспомогательные ко­ нусы касательного и полярного торсов в виде конусов вращения, а вспомогательный конус спрямляющего торса в виде прямой линии, являющейся осью указанных конусов вра­ щения.

В отличие от цилиндрической винтовой линии, для линии одинакового ската гра­ фики уравнений a=f(s) и 0 = F(s) не прямо­ линейные.

4. Сферические кривые линии

Геометрическим местом центров сфери­ ческой кривизны пространственной кривой линии является, как известно, ребро возврата ее полярного торса. Рассматривая (рис. 467) развертку полярного торса пространствен­ ной кривой линии, устанавливаем, что у кри-

§ 90. В и д ы п р о с т р а н с т в е н н ы х к р и в ы х линий

линию можно построить, если известны: радиус Ксф сферической кривизны ее точек, вспомогательный конус спрямляющего ее торса, положение начальной точки, радиус кривизны R в начальной точке, ход и направ­ ление полукасательной в начальной точке.

Имея задание кривой линии и график ее уравнения a=f(s) в естественных координа­ тах, применяя известные методы, можно построить в проекциях заданную сфериче­ скую кривую линию и все сопровождающие

ееповерхности.

5.Косые круги

Косым кругом называется пространствен­ ная кривая линия, у которой уравнение a=/(s ) в естественных координатах явля­ ется линейным.

Предположим, что косой круг задан вспо­ могательным конусом его спрямляющего торса, ходом, начальным углом д и графи­ ком его уравнения в естественных координа­ тах <x=J[s). Из графика известным построе­ нием определяют величину радиуса кривиз­ н ы R рассматриваемой кривой линии, кото­ рая сохраняется неизменной для всех точек кривой линии.

Преобразованием ребра возврата каса­ тельного торса строящейся кривой линии является (так как кривизна ребра возврата торса при его развертке не изменяется) ок­ ружность радиусом R, касательные которой являются преобразованиями образующих касательного торса. Расстояния от точки, описывающей кривую линию, до преобра-

Геометрическим местом винтовых осей пространственной кривой линии, а также геометрическими местами ее бинормалей и главных нормалей являются некоторые ли­ нейчатые неразвертывающиеся (косые) по­ верхности.

8. Кривые линии Бертрана

Пространственные кривые линии назы­ вают эквидистантными, если они имеют общие главные нормали и расстояния меж­ ду их соответствующими точками, измеряе­ мые по главным нормалям, остаются по­ стоянными.

Некоторые из пространственных кривых линий допускают построения эквидистант. Пространственные кривые линии этой груп­ пы называют кривыми линиями Бертрана*.

Эквидистантные кривые линии имеют общие главные нормали и, следовательно, общий направляющий конус спрямляющих их торсов.

Кривая линия, представляющая собой геометрическое место центров кривизны пространственной кривой линии, распола­ гается на полярном торсе и является в раз­ вертке подерой ребра возврата полярного торса.

Две эквидистантные пространственные кривые линии имеют о б щ и м геометрическое место их центров кривизны. Отсюда можно сделать вывод, что полярные торсы экви­ дистант пересекаются между собой по кри­ вой линии — геометрическому месту цент­ ров их кривизн.

Нормальные плоскости эквидистант ка­ тятся по соответствующему полярному тор­ су, пересекаясь все время между собой по главным нормалям кривых линий.

Линию центров эквидистант, учитывая 353 ротативный метод образования простран­ ственных кривых линий, можно получить качением без скольжения касательной плос­ кости по указанному выше торсу с ребром возврата полярных торсов эквидистант.

Аналитические исследования простран­ ственных эквидистант позволяют устано­ вить, что для кривой линии, имеющей эквидистанту при </>=const и а = const, справед­ лива зависимость

индикатрисы бинормалей другой эквиди-

При построении эквидистанты для за­ данной пространственной кривой линии сна­ чала следует проверить справедливость ука­ занной выше линейной зависимости при на­ меченных значениях величин ф и а.

У цилиндрических винтовых линий ве­ личины кз и а являются постоянными и, следовательно, эти линейные зависимости для них всегда выполняются. Поэтому ци­ линдрические винтовые линии имеют не­ ограниченное число эквидистант.

Пространственные кривые линии, у ко­ торых величины s, a и ß непрерывно воз­ растают, называют монотонными. Монотон -

* Б е р т р а н , Ж о з е ф Л у и Ф р а н с у а ( 1 8 2 2 — 1 9 0 0 ) - Ь р а н ц у з с к и й м а т е м а т и к .

ная пространственная кривая линия не мо ­ жет содержать в себе точек, для которых величина угла <5 является кратной у - . Эт о следует учитывать при построении состав­ ных пространственных кривых линий, со­ стоящих из последовательного ряда дуг

секущих плоскостей, или методом вспомо­ гательных сфер. Фронтальная проекция ли­ нии пересечения представляется частями вет­ вей равнобочной гиперболы с центром в точке о' — фронтальной проекции точки пе­ ресечения осей цилиндров.

Рассмотрим сторону cb, с'Ъ' кривой линии пересечения цилиндров, принимая точку сс' за вершину.

Нормальная плоскость стороны cb, с'Ъ' в точке кк' определяется нормалями ци­ линдров. Фронтальными проекциями нор­

Эта кривая линия является линией пересе­ чения с плоскостью NH касательного торса стороны сЬ, с'Ъ'.

Приняв точку оо' за вершину, построим направляющий конус стороны cb, с'Ъ' и определим линию еі/і, еі'/і' его пересечения с плоскостью UH I V.

Кривая линия ei'fi' конформна кривой линии e'f. Эти кривые линии имеют беско­ нечно удаленные точки в направлении о'п' — направлении фронтальной проекции каса­ тельной в точке сс'. И з рассмотрения на­ правляющего конуса следует, что кривая линия cb, с'Ъ' имеет положительный винто­ вой параметр.

Повторяя приведенные рассуждения для стороны cd, c'd', получим, что она имеет отрицательный винтовой параметр. Сто­ роны cb, с'Ъ' и cd, c'd' в точке сс', как это показывают горизонтальные их проекции, имеют общую соприкасающуюся плоскость и располагаются обе по одну ее сторону. Отсюда следует, что точка сс' является вер­ шиной петли кривой линии bed, b'e'd', точ-

357

*2п

u„

г —1 о

Р и с . 481

ки bb', аа', dd' также являются вершинами петли.

Таким образом, рассматриваемые линии пересечения цилиндров являются иррегу­ лярными кривыми линиями, содержащими каждая по четыре вершины петли.

На рис. 482 показана пространственная кривая линия, которая получается при пере­ сечении сферы радиусом R с цилиндром

вращения радиусом г = ^і когда ось ци­ линдра находится на расстоянии г от центра сферы. Эта кривая линия называется окном

Вивиани.

При заданном расположении поверхно­ стей кривую линию пересечения можно по­ строить, пользуясь вспомогательными гори­ зонтальными секущими плоскостями.

5. Д а й т е о п р е д е л е н и е н е п о д в и ж н о й и п о д ­ в и ж н о й ц е н т р о и д р у л е т т ы .

6. В ч е м з а к л ю ч а е т с я с п о с о б Э й л е р а п р и

п р о с т р а н с т в е н н о й к р и в о й л и н и и в д а н н о й т о ч к е ? 22. Ч т о н а з ы в а ю т с о п р и к а с а ю щ е й с я с ф е р о й