Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

370чертеже не показано) определяются значения величин углов ß поворота касательной плос­ кости при ее качении со скольжением по не­ подвижному аксоиду-конусу.

Для определения положения производя­ щей линии поверхности в касательной к конусу-аксоиду плоскости в начальном ее положении строим развертку конуса. Имея развертку, можно получить величины уг­ лов а между образующими аксоида-конуса, соответствующие найденным углам ß.

собой уравнение кривой ребра возврата ка­ сательной плоскости аксоида-конуса. По­ строение такой кривой по графику не вызы­ вает затруднений (см. гл. X I V ) . В касатель­ ной плоскости выбирается и заданная про­ изводящая кривая линия AB. Касательная

плоскость производящей кривой при ее ка­ чении со скольжением по аксоиду-конусу занимает ряд положений. Она скользит вдоль образующих конуса с условием, что последовательный ряд точек ее ребра воз­ врата всегда совпадает с вершиной конуса.

Таким образом, можно точно ориенти­ ровать касательную плоскость и ее произ­ водящую линию относительно тех образую­ щих аксоида-конуса, которые соответству­ ют углам поворота касательной плоскости. Совмещая касательную плоскость с плос­ костью Qv и намечая соответствующее по­ ложение производящей линии, а затем вос­ станавливая эту плоскость, можно опреде­ лить положение производящей линии по­ верхности винтовой улитки.

Построение чертежа поверхности вин­ товой улитки общего вида, где неподвиж­ ным аксоидом является торс — поверхность с ребром возврата, аналогично построению

улитки вращения, но с учетом скольжения плоскости производящей вдоль образую­ щих торса-аксоида. И здесь с помощью сферической индикатрисы нормалей аксои- да-торса определяют углы поворота ß ка­ сательной плоскости вокруг соответствую­ щих его образующих, а затем развертку аксоида-торса на касательную плоскость в начальном ее положении.

Заметим, что если длина дуги кривой линии преобразования ребра возврата торсааксоида s, то длина дуги ребра возврата касательной плоскости аксоида si = s— h.

По графику зависимости h =fiß) и дли­

нам дуг s ребра возврата торса в преобра­ зовании можно построить и график si = F(ß)

зависимости длины дуги si ребра возврата касательной плоскости аксоида от угла ß поворота касательной плоскости. Такой гра­ фик можно перестроить в график зависи­ мости si =ßp0- С"н Д а е т возможность по­

строить ребро возврата касательной плос- кости-аксоида.

Соответствующие точки ребер возврата касательной плоскости-аксоида и торса-ак­ соида, как точки конформных кривых, яв­ ляются парными точками. При качении со скольжением касательной плоскости эти точ­ ки ребер возврата совпадают.

Очевидно, для каждой образующей ак­ соида-торса можно определить соответству­ ющее положение ребра возврата его каса­ тельной плоскости и положение находящейся в этой плоскости производящей линии. Вра­ щая касательную плоскость до совмещения с плоскостью уровня и намечая соответст­ вующее положение производящей линии, а затем, восстанавливая эту же плоскость, определяем последовательный ряд положе­ ний производящей линии поверхности вин­ товой улитки общего вида.

При задании поверхностей с направляющей плоскостью направляющими линиями и углом а наклона производящей прямой

линии к направляющей плоскости нельзя знать, к какой именно группе поверхностей (цилиндроидам, коноидам, косым плоско-

стям) следует отнести проектируемую по­ верхность. Нельзя также заранее предвидеть, будет ли эта поверхность ротативной или спироидальной.

Однако можно более рационально по­ дойти к конструированию поверхностей с направляющей плоскостью, рассматривая их как образованные при п о м о щ и аксоидов. За неподвижный аксоид принимается ци­ линдр, образующие которого перпендику­ лярны к направляющей плоскости. За под­ вижный аксоид выбирается плоскость, ка­ сательная к неподвижному аксоиду.

Производящая прямая линия такой по­ верхности неизменно связана с подвижным аксоидом и находится в плоскости, которая одновременно перпендикулярна к направ­ ляющей плоскости поверхности и касатель­ ной плоскости неподвижного аксоида-ци- линдра.

Пусть ортогональной проекцией огиба­ ющей положений производящей прямой ли­

(рис. 492). Она является прямоугольной про­ екцией линии сужения поверхности, так как представляет собой проекцию самой корот­ кой линии на поверхности, которая имеет

П о кривой ab построена ее эволюта aobo. Для линейчатой поверхности за ход точки производящей линии можно принять л ю б у ю проходящую через нее кривую линию, пере­ секающую все положения производящей ли­

нии.

Если за проекцию хода точки выбрать кривую линию, эквитангенциальную проек­ ции линии сужения, то проекцию линии су­ жения следует рассматривать как трактрису

кпроекциям ходов точек производящей

ной центроидой — прямая линия — нормаль кривой ab.

Если за проекцию траектории ходов то­ чек движущейся производящей прямой ли­ нии принять кривую тп, перпендикулярную

371

Ри с . 492

кпроекциям ряда ее положений, то эта кривая будет эвольвентой линии ab — оги­ бающей проекции ряда положений произ­ водящей линии.

Траекториями других точек производя­ щей прямой линии являются кривые линии, эквидистантные между собой и с кривой линией тп.

Кривая линия ab является одновременно и неподвижной центроидой движения проек­ ции производящей прямой линии. В этом случае имеем качение без скольжения про­ екции производящей линии по проекции линии сужения.

Рассматривая поверхности с направля­ ющей плоскостью при известных проекциях их линий сужения, можно выбирать проекции ходов точек произвольно, а также в виде эвольвент проекции линии сужения и в виде эквитангенциальных кривых линий к про­ екции линии сужения.

1.Ротативные линейчатые поверхности

снаправляющей плоскостью

Рассмотрим образование линейчатой улитки вращения — ротативной поверхнос­ ти с направляющей плоскостью, когда про-

Г л а в а X V . К и н е м а т и ч е с к и е п о в е р х н о с т и о б щ е г о в и д а

372изводящая прямая линия лежит в касатель­ ной плоскости неподвижного аксоида-ци- линдра этой поверхности.

На рис. 493 показана линейчатая цилинд­ рическая улитка. Неподвижным аксоидом является горизонтально-проецирующий ци­ линдр. Подвижным аксоидом служит плос­ кость, касательная к неподвижному аксоиду (цилиндру).

Производящая прямая линия ab, а'Ь' находится в начальном положении касатель­

ной к аксоиду-цилиндру плоскости. Каса­ тельная плоскость (подвижный аксоид) NH катится вместе с производящей линией ab, а'Ь' по неподвижному аксоиду без скольже­ ния и занимает ряд положений Non , NIH ,...

Производящая прямая занимает различные положения.

Горизонтальные проекции ходов точек производящей линии представляются эволь­ вентами, для которых общей эволютой яв­ ляется кривая линия — горизонтальная про-

екция направляющей линии цилиндра-ак- соида. Фронтальные проекции этих ходов представляются прямыми линиями, парал­ лельными оси проекций.

Производящая прямая линия все время остается касательной к неподвижному ак- соиду-цилиндру. Геометрическим местом точек касания прямой с цилиндром является пространственная кривая линия се, с'е', ко­ торая является, очевидно, ребром возврата рассматриваемой развертывающейся по­ верхности одинакового ската.

Известно, что среди линейчатых винто­ вых поверхностей (геликоидов) имеется одна поверхность (торс-геликоид), которая явля­ ется развертывающейся поверхностью (тор­ сом) и одновременно поверхностью одина­ кового ската. Покажем, что поверхность одинакового ската можно рассматривать как поверхность, составленную из беско­ нечно большого числа бесконечно малых отсеков поверхностей торсов-геликоидов.

П р и м е м эволюту соео кривой се за про­ екцию направляющей линии цилиндра-ак- соида, направлением образующих которого будет прямая тп, т'п'. Построим к этому цилиндру какую-либо касательную плос­ кость и неизменно свяжем с ней производя­ щ у ю прямую линию, горизонтально-про­ ецирующая плоскость которой перпендику­ лярна к этой касательной плоскости.

Будем катить касательную плоскость по цилиндру с направляющей линией соео, со'е0 ', давая ей одновременно такое скольжение вдоль образующих цилиндра, чтобы про­ изводящая прямая заняла положение обра­ зующих рассматриваемой поверхности оди­ накового ската.

Ребра возврата — цилиндрические вин­ товые линии слагаемых торсов-геликоидов являются соприкасающимися гелисами реб­ ра возврата рассматриваемой поверхности одинакового ската в соответствующих его точках.

верхность.

На рис. 494 ротативная поверхность за­ дана горизонтально-проецирующим аксоидом - цилиндром, начальным положением производящей прямой линии ab, a'b' и на­ правляющей плоскостью Qv-

Производящая прямая линия составляет с направляющей плоскостью угол а ф О и лежит в плоскости, перпендикулярной к на­ правляющей плоскости Qv и плоскости под­ вижного аксоида

Подвижным аксоидом является плос­ кость, касательная к неподвижному аксоидуцилиндру. Горизонтальной проекцией линии сужения поверхности является кривая ли­ ния ас — эвольвента горизонтальной про­ екции направляющей линии цилиндра-ак- соида. Горизонтальные проекции положений производящей прямой линии совпадают с касательными кривой линии ас. Соответ­ ствующими построениями определены фрон­ тальные проекции ряда положений произво­ дящей прямой линии.

Д л я рассматриваемой поверхности по­ строены две сети, которые определяются по­ ложениями производящей линии и ходами ее точек.

Горизонтальные проекции ходов точек производящей прямой линии первой сети представлены эвольвентами кривой ли­ нии ас. Горизонтальные проекции ходов точек производящей прямой линии второй сети представлены кривыми линиями, эквитангенциальными кривой линии ас. Гори ­ зонтальные проекции сети поверхности яв­ ляются получебышевскими сетями.

Ротативную поверхность с направляю ­ щей плоскостью можно рассматривать как составную поверхность, состоящую из бес­ конечно большого числа бесконечно м а л ы х отсеков поверхностей однополостных ги­ перболоидов вращения, осями которых яв­ ляются соответствующие образующие не­ подвижного аксоида-цилиндра.