ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 154
Скачиваний: 0
гообразия, |
т. е. F^: Й^г |
является нулевым гомоморфизмом, |
||
если п > 0 . |
Кроме того, гомоморфизм F*: QQ1—>■0% является изо |
|||
морфизмом. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для |
п > 0 группа |
не имеет |
|
кручения, |
тогда как й£ является |
конечной группой, |
поэтому |
|
F* = 0. Для п = 0 обе группы изоморфны группе целых чисел Z, заданной ориентированными точками. ■
Гомотопические точные последовательности пар пространств Тома расщепляются в короткие точные последовательности, для
которых имеют место диаграммы |
|
|
|
|
о — у --------- |
V £ #•fr --------- |
V |
----- >- 0 |
|
|
У-п j , |
h n J, |
|
|
(0 = )Н п (S;Т)-+Нп{ Т В Г ; Ж ) Н п (Т В U,S; |
|
(S; l) (= 0) |
||
для (п — 1 ) > 0 |
и |
|
|
|
(0 ■=--)£#---------- |
Qbî ' Г г ------------- |
>- й£г |
----------- |
^ йо |
1 |
1 |
—1 |
|
= 1 |
(0 = ) ^ ( Г В Г ; |
Ж)-+Ні (Т В Г; |
S; |
1 ) Я й 0 {ТВ и; Z) |
|
|
Il |
II |
|
II |
|
о |
Ж |
|
Ж |
где вертикальные стрелки являются гомоморфизмами Гуревича. Если п —нечетное число, то й,^ = 0, и, следовательно, для
n > 1 |
группа йп’Гг изоморфна |
конечной группе й^-і- Группа |
|
Н п(ТВТ7, S; Ж) в этом случае |
нулевая, и поэтому с |
помощью |
|
чисел |
Чжэня нельзя получить |
информацию о группе й |
Гг. |
Если 7г>0 — четное число, то /г.п (й^7, Гг) является свободной абелевой группой, содержащей подгруппу кп (й^) ^ й^. Таким образом, группа hn(Q%'tr) имеет ранг, равный числу разбиений
числа п/2, и содержит и„(й^) в качестве подгруппы конечного индекса.
Пусть а £ йгкfr представляется квазикомплексным многообра зием V2h с согласованным оснащением на границе дѴ = М 2'1-1. Рассмотрим отображение т: (F, М) (BU , *), классифицирую щее стабильное касательное расслоение многообразия V; оснаще ние многообразия М интерпретируется в терминах т как специаль
ный |
класс |
гомотопий отображения |
т |м , содержащий отображе |
ние |
М в |
отмеченную точку. Тогда |
можно найти числа Чжэ |
ня %* (сш) [F, М], которые полностью определяют элемент hoi, (а).
Для того чтобы элемент Іци (а) принадлежал группе я2(і (Й2л)>
необходимо и достаточно, |
чтобы числа т* (Sa (е) ff) [7, М] были |
целыми для всех ©. Так |
как характеристический класс Sa (e) = |
—ch (Sa (y)) задается классами Чжэня в /^-теории у; 6 К 2І (BU, *) для і > О, то число х* (5Ш(е) <Х) [7, М] == x*Se>(у) [7, М] • р
где т* S«, (у) 6 К2п<-Ю)(7, М) для 7г(со)>0, является целым. Таким образом, получаем такое утверждение;
Т е о р е м а . (Коннер и Флойд [8].) Для того чтобы квазиком плексное многообразие с оснащением на границе имело те же числа Чжэня, что и замкнутое квазикомплексное многообразие, необхо димо и достаточно, чтобы его характеристическое число, опреде ляемое характеристическим классом Д, было целым.
Так как |
при гомоморфизме |
й^;Гг-э-Q,: а |
x*tf [7, М] |
подгруппа |
Qzk отображается в |
группу Z с О., то |
определен |
гомоморфизм Е : й ^ - і ->■ Q./Z. Имеет место следующий резуль тат Коннера и Флойда [8]:
Те о р е ма . Гомоморфизм Е: Йгь- 1 —> Q-/Z совпадает с гомо морфизмом Адамса е^; lim n2/t_1+s{Ss)-»- Q,/Z.
S—УОО
З а м е ч а н и е . Инвариант Адамса е£ элементов гомотопиче ских групп сфер, задающий гомоморфизм в£, был определен Адам
сом в [4]. Предлагаемое ниже доказательство теоремы принадле жит И. Лаидвеберу.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим влоя<ение (7,- М) в (H'2k+2r, А2,1+2' _і) с комплексным нормальным расслоением, трнвпализованным на М, определяющим нормальное отображе-
пие V: (7, М) |
(BU Т, *) |
(тривиализация на М определяет гомо- |
|||
топшо отображения ѵ |д/ |
в точку). Применяя Конструкцию Пон |
||||
трягина — Тома, получаем |
отображение /: (D2h+2r, S2^ 2’’-1) —>- |
||||
(TBUт, Т*) и, как и в неориентированном случае, диаграмму |
|||||
корасслоений |
|
|
|
|
|
|
S2’’ с Л |
X |
|
X/S2r = D2h+2r/S2k*2l-i |
|
1 |
I |
s\ |
|
7 1 |
|
|
S2r |
TBUr |
TBUrlS2r |
||
где X — двуклеточный |
комплекс, |
полученный приклеиванием |
|||
диска D2h+2r к сфере S2T при |
помощи отображения /: S 2h+2r~ 1 |
||||
S2r = Т*\ |
g и / — отображения, |
определенные отображением |
|||
/. В частности, стабильный гомотопический класс отображения /
9 - 0 1 0 2 4
является элементом, соответствующим классу кобордизмов m i е Qi'h-i-
Группы когомологий комплекса |
X являются |
свободными |
абелевыми группами с образующими |
І £Я°(Х; Z), |
а £ Я 2,'(Х; Z) |
и Ь £Я 2,і+2г(Х; Z), такими, что /* (а) = і £ Я 2Г (S2r; Z) и Ь = я* (Г), |
||
где Г б # 2,!+2г (£>а,!+2,\ S2h+2r~1; Z).
Для того чтобы определить инвариант Адамса гомотопического
класса |
отображения /, |
выберем элемент и £ К (X), такой, что |
|
ей {и) |
— а |
ц>-Ь, ер 6 Q |
(возможности выбора элемента и дока |
зывается, например, с помощью спектральной последовательности Атья — Хцрцебруха в Х-теории (Атья и Хнрдебрух [2])) п поло
жим |
([/]) = |
ф 6 О-/Z. |
|
|
|
|
Используя связь гомоморфизма Тома с характеристическими |
||||||
числами, получаем, что |
[У, М] -Г = /* (af~1 U)2h+2r, поэтому |
|||||
тт&[Ѵ, |
M\-b = g*{3:-1 U f k+tr, где U ^ H 2r{TBUr\ Z)—класс Тома. |
|||||
С другой стороны, |
|
= ch(U), где U £ К2'' (TBUr)—класс Тома |
||||
в Я-теорни. |
Так |
как j*g*U = i*U — i, g*U = g* (cP~xU)2r — a, |
то |
|||
получаем, JITO ch(g*p (l)r U) — g* (ch U) = a -f- x*éP [V, M\-b, |
где |
|||||
g*p(i)r U £K(X) = K° (X). |
Следовательно, |
([/]) = x*éP [V, М] = |
||||
-=Я(а), |
ш |
|
|
|
|
|
Используя теперь результаты Адамса о гомоморфизме в£, |
||||||
получаем такое |
|
|
|
|
||
С л е д с т в и е . |
Образ гомоморфизма ép: |
-»- О, состоит |
||||
из всех |
целых |
кратных следующим рациональным числам: |
|
|||
a)1/d>2 t для п = A1 ,
b)1 для п = At — 1,
c)для п = At — 2,
d)1/2 для п = At — 3,
где |
dzt — azt, %dzt+i — azi+i |
и |
an — знаменатель |
числа B„IAn |
|
в несократимом виде, Вп есть п-е число Бернулли. |
|
||||
Факты о числах Бернулли можно найти в работе Милнора [10] |
|||||
или |
Адамса [З]1). Появление чисел Бернулли |
в этом результате |
|||
не является неожиданностью, так как |
|
|
|||
|
|
|
оо |
|
|
|
(«*-!) |
2 |
i f ’ |
|
|
|
i = n |
|
|
||
где |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Р 2 . = ( - 1 Г 1 Я „ ß i = |
— |
и ß 2 s + i = 0, |
если |
s > 0 . |
i) Сы. также Боревнч 3, М., Шафаревпч И. Р., Теория чисел, «Наука», М., 1964.—Прим, перев.
Связь с неориентированными кобордизмамн
Связь комплексных кобордизмов с неориентированными кобордизмами была полностью исследована Милнором [11]. Как и для
любой пары |
теорий, существует гомоморфизм F,t: Q* ->-91*, |
определяемый |
игнорированием комплексной структуры. |
П р е д л о ж е н и е . Пусть М п — квазикомплексное многооб разие. Тогда классы Штифеля — Уитни іу2/+і многообразия М рав ны нулю, а классы w2i являются классами Чжэня с,, приведенными mod 2. В частности, все числа Штифеля — Уитни многообразия М , содержащие множителями нечетномерные классы Штифеля — Уитни, равны нулю.
Это вытекает непосредственно из теоремы о замене полей ска ляров из гл. V. щ
П р е д л о ж е н и е . Замкнутое многообразие М п тогда и только тогда имеет нулевыми все числа Штифеля — Уитни, содер жащие множителями нечетномерные классы, когда существует
многообразие М ', такое, |
что М |
кобордантно |
многообразию |
М' X М'. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
М ~ М' X М', |
то многооб |
разие М имеет те же числа Штифеля — Уитни, что и многообра зие М' X М ' . Для диагонального отображения А имеет место
формула |
Д (lüj) = |
T] |
Wj (g) wh, |
поэтому |
|
|||
|
|
j + k — i |
|
|
|
|
|
|
WiJ . .. |
wif [M' X M'] = |
3 |
W j i . . . |
W j r [M'1 ■ wki . . |
. Wkr[M']. |
|||
|
|
|
|
^а+ка^а |
|
|
|
|
Если J |
= |
Ui, . . ., |
j r), |
K = |
(kit |
. . ., |
k r) и J ф К, |
то оба члена |
Wj [M'] wK \M'\ и wK [M'\ Wj [M'\ входят в формулу и, имея одно |
|||
п то же значение, дают нулевой вклад в характеристическое число |
|||
многообразия M ’ X |
М ’. В частности, |
если |
некоторое число іа |
является нечетным, |
то формула дает |
сумму |
только таких пар |
членов, и поэтому число wit . . . wir [M’ X М'] равняется нулю. Если каждое число іа четно, то Wj [М' х М'\ = (wi/2 UP/'])2 =
= Ш/уо [il/'].
Предположим теперь, что все числа Штифеля — Уитни мно гообразия М п, содержащие множителями иечетномерные классы, равны нулю. Если п нечетно, то многообразие М п обязательно является границей, что можно интерпретировать как кобордант-
ность многообразия М п квадрату пустого |
многообразия. |
|||
Пусть п — 2к. Рассмотрим гомоморфизм <р: H h (ВО; Z2) ->- Z2, |
||||
cp (wix . . . wir) |
= w2i, . . . w2ir UW], |
являющийся |
композицией |
|
гомоморфизма |
удвоения я[к ff* (ВО; |
Z2) |
H* (BO; |
Z2), который |
переводит wt в w2i, и гомоморфизма вычисления характеристиче-