Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

скнх чисел на многообразии М. Рассмотрим также гомоморфизм А: Н* (ВО; Z2) Н* (ВО; Z2), который переводит w, в сумму

вида У] WjW!t. Гомоморфизм X индуцирован отображением про-

степени, получаем, что А (у2іф (х)) = Аф (ѵ,х). Таким образом, для

всех X £ Н к~г (ВО; Z2) элемент ф (Sqlx + vtx) + Sq21ф.т + у2іф.г лежит в ядре гомоморфизма А и, следовательно, обращается в нуль

классами кобордизмов, у которых все числа Штифеля — Уитни, содержащие множителями нечетномерные классы, равны нулю.

проводится по той же формуле, что и вычисление характери­ стических чисел іѵа [хі]. Следовательно, Р^.(Ъ\) = х\. Далее, все числа Чжэня класса іф5_ j являются четными, поэтому P* (b'2 s_i) =

= 0. Теперь осталось только заметить, что существуют мульти­

в которой вертикальные стрелки являются гомоморфизмами Гуре­ вича. Используя вычисление гомоморфизма F.2n, эту диаграмму можно разложить на части.

Во-первых, (образ F2n) = поэтому группа Q2kU — = 3î2n/9ïn является Т2-векторным пространством (известной раз­ мерности). Далее, элементы этой группы, очевидно, определяются числами Штнфеля — Уитни, содержащими множителями нечетно­ мерные классы Штифеля — Уитни.

Затем (ядро F2n) является идеалом в , порожденным элемен­ тами b2s_[, s ^ 1 (где bQ= 2), и так как оно является свободной

абелевой группой, то Q2 k+ 1 = 9l2n+i 0 (ker F2n), где 9î2n+i отождествляется с подгруппой элементов конечного порядка.

Свободная от кручениячасть группы Q2 n+b т. е. группа йгп+i/Tors,

отождествляется со своим образом в Q2n, и поэтому ее элементы определяются числами Чжэня своих границ. Подгруппой элемен­ тов конечного порядка является группа d2n+$ t 2n+l, и ее элемен­ ты определяются своими числами Штифеля — Уитни. Гомомор­

физм Н 2п (TBTJ) ->■ Н 2п (ТВО) в Ж2-гомологиях является мономорфизмом (в Ж2-когомологиях это эпиморфизм), так что фактически гомоморфизм Гуревича определяет расщепляющий гомоморфизм

^2п+і Н гп+1 (ТВО, T B U ; Z 2) ~ Н2п+1 (ТВО; Z 2) ->■ $Л2п+і>

где последнее отображение является проекцией.

но все его числа Штпфеля—Уитни равны нулю, так как равны иулю эти числа у элементов b0j_v / = t и s, следовательно, и = 0. Далее,

так как все характеристические числа элементов b2s_ 1 являются

четными, то подмодуль Ѵ отображается в нуль при гомо­

морфизме Гуревича mod 2. Для того чтобы показать, что этот подмодуль совпадает со всем ядром, рассмотрим гомоморфизм

Н* (ТВО)-+Н* {ТВ V) (используя когомологии с Ж2-коэффи- циентами, если не оговорено противное), который отображает свободный ^ 2-модуль в свободный с^ 2 /,((?о)-моДУль- При соответ­ ствующем выборе образующих модулей этот гомоморфизм может

Т — для (im F*)). Представив пространство ТВО в виде произве-

дешія комплексов Эйленберга — Маклейна ТВО — К {Т) х X К (S ), можно спроектировать его па К {Т) и исключить сомно­ житель К (S) из рассмотрения в данной задаче.

Мы хотим знать, насколько гомотопические группы пространства

К (Т)ІХ определяются / 2-когомологиями. Так как Н* (X; Z) — свободная абелева группа, то классы когомологий из Т получают­ ся приведением по модулю 2 целочисленных классов. Обозначим

чить, что элемент a.,s+i_j (mod 2) обнаруживается классом Штифеля— Уитни w r>s + i _ j (ѵ), соответствующим элементу Sq2S+1~1U в груп­

пе Н* {ТВО, T B Y ; Z2). Характеристические числа, определяемые этпм классом, обращаются в нуль иа элементах из образа группы

91*. В частности, а х принадлежит образу группы й?’ п и связан

с инвариантом Хоцфа относительно изоморфизма Йи ^ Q». Дру­ гие классы а-, ие получаются при помощи оснащенных кобордизмов.

Комплексные бордизмы

Используя функтор забывания из категории квазикомплексных многообразий в категорию топологических пространств,

можно определить группы относительных бордизмов й * (X, А) ~ SÉ lim я*+2г ((Х/А) }\TBUr) = Я* {X, A; TBU). Произведение

Г—Усо

многообразий индуцирует в группе й* (X, А) структуру модуля

над кольцом й*. Эти модули изучались Коннером и Флойдом [2], [4], [6] при помощи спектральной последовательности Атья —

Хирцебруха Е (X) = {£*■* = Я , (X, И; Й?) =£ Q*(X, И)}. Ре­ зультаты о модулях й* (X, А) можно получать также темп же методами, которыми было исследовано выше кольцо й*.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно заметить, что гомомор­ физм Гуревича я* ((Х/А) f\TBU) Я* ((Х/А) ДГЯЯ; Z) являет­ ся изоморфизмом по модулю класса конечных групп. ■

Т е о р е м а . Пустъ (X, А) — пара клеточных комплексов, группы целочисленных гомологий которой не имеют кручения.

Тогда й* (X, А) является свободным Q^-модулем, изоморфным модулю Я* (X, А; Z) ® й*. В частности, гомоморфизм вычисле­ ния е: й* (X, А) -э- Я* (X, А; Z) является эпиморфизмом. Если