ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 0
где Т (т ® ѵ) можно отождествить с надстройкой над (М /0 ), и при этом класс ориентации U- (g) U- переходит в класс надстройки.
Таким образом,
c*ß* (у) [iS] = ж [М].
Второй сносов. Отображение ß разлагается также в компо
зицию отображений |
|
|
Х + |
(Л/ /0) ЛГт ДГ( ѵ0 v)-+.Y, |
|
индуцирующих гомоморфизмы когомологий, такие, |
что класс |
|
X ® U- переходит в класс |
n*x-U, тогда как класс |
Uv <g U- |
переходит в класс ориентации пространства X, рассматриваемого как пространство Тома расслоения над Dr. Таким образом,
c*ß* (у) [5] = Ы* (х) - U) [Dr, Sr}.
Итак, число хѵ[М] совпадает с числом х [М], когда они оба определены, и, следовательно, хи -числа являются естественными обобщениями обычных характеристических чисел.
Для того чтобы использовать рассмотренный выше способ построения «чисел», необходимо иметь класс U 6 Н п+и {Dr, Sr\ А). Естественной теорией когомологий для построения класса U является теория когомологий, основанная на векторных расслое ниях. Здесь мы следуем Коннеру и Флойду [8 ] или Пале [1],
стр. 44.
Пусть К — одно из полей ^ или С. Рассмотрим if-векторное гс-мерное пространство V с if-скалярным умножением { , >, ifлинейным по первому переменному и антилинейным по второму
(вектор, сопряженный с вектором а, обозначается через а).
Напомним, что скалярное умножение в Р можно продолжить
П
до скалярного умножения во внешней алгебре Л (У) = |
Лй (Р) |
|||||
над if пространства Р, потребовав, чтобы |
й= 0 |
|
||||
|
|
|||||
і) Aj (P) _L Л* (P), если i Ф |
If, |
|
|
|
||
ii) если X = xi Д |
. . . Д xh, |
Y = ух Д . . . Д ук, то (X, Y ) = |
||||
= det I (xi, |
уj) |. |
|
|
|
базис в пространстве |
|
Если еь |
. . ., еп — ортонормированный |
|||||
V, то элементы {еи Д . . . Деіг | ц < . . . < Д} образуют ортонорми |
||||||
рованный базис в пространстве Лг (P). |
|
Л (Р) |
||||
Существует канонический антиавтоморфизм а: А (Р) |
||||||
пространства Л (Р), |
определенный |
по формуле |
|
|||
аДщД. . . Дуд) = |
у*Д. • • Д уі = |
(—l)m |
1)/2УіД. . . Д уа, |
|||
который является if-линейным |
и сохраняет скалярные произве |
|||||
дения.
Наконец, напомним, что ориентацией пространства F назы вается единичный вектор o' 6 A"(F) = det (F).
При заданной ориентации о пространства V можно определить отображение т: Л,! (F) ->• Ап~І1 (F), сопоставляющее вектору X 6
6 Aft (F) |
единственный |
вектор |
хХ 6 |
A"-h (F), такой, что для |
всех У 6 |
An~h (F) имеет |
место |
формула |
|
|
<тХ, |
Y ) = |
<сх, X |
Д Y ). |
Л е м м а 1. Отображение х является антилинейным.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для всех Y £ An~h (F)
(т (аХ), У) = (о, аХ Д У) =
|
|
= <о, X ДУ) а = |
|
|
|
— (хХ, Y )ä = |
|
|
|
--= (ахХ, У). H |
|
еи |
Зафиксируем в |
пространстве |
F ортонормированный базис |
• • еп» такой, |
что а = et Д. |
. . Деп. Элементы вида X = |
|
= |
± е ГІ/\. . • A erhi |
где Гі < . . . < |
г/t, назовем мономами. Тогда |
если X и У — мономы, то
1, если Х = У, {— 1, если Х = — У,
О во всех остальных случаях.
Кроме того, для каждого монома X существует единственный моном X, такой, что ХДХ = ст. Для монома X моном тХ сов
падает с мономом X, ибо если У — моном, то скалярное произве дение (тХ, У) =До, ХДУ) равно 1, — 1 или 0, когда У соот
ветственно есть X, — X или не равен им. Тогда если X fA ft (F) —
моном, то тХДХ = ( — |
ХДт Х= ( —1)й(п_,і)о = ( — |
х |
||||
ХтХДт2 Х, поэтому имеет место следующая |
|
|
||||
Л е м м а 2 Если X € Aft (F), |
то т2Х = ( - |
1)Ä(n_Ä)X. в |
|
|||
З а м е ч а н и е . Отображение |
т совпадает |
с отображением * |
||||
из книги |
Пале [1]. Действительно, если а, &ÇAh(F), то по опре |
|||||
делению |
отображения |
* имеем |
(a, b) —det (а Д * Ъ) = (а Д * Ъ, а). |
|||
Тогда <Ъ, а) = (а, Ь) = (а[\*Ъ, |
п) = (а, а Д *&)=(—l)fe {n~h)(a, *b Да), |
|||||
поэтому |
х*Ъ — {— l),1(n-ft)è |
или хЪ = ( —1)&(7l_wт2*Ъ = *Ъ, |
так |
|||
как т2 = (— l)k (n~h) на An~h(F). |
|
|
|
|||
О п р е д е л е н и е . |
Отображением ц: A (F)->A (F) называется |
|||||
отображение та. |
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е . |
|
Для |
К —01 и dim ^V —2п отображением |
||||
Ѳ: A(F) ®]^С->Л(У) ® ^С |
называется |
отображение, сопостав |
|||||
ляющее элементу xÇ,Ah ('V) |
С элемент 0 |
(х) = ік (к~0 +п' . (т® 1)(а:). |
|||||
Л е м м а |
3. Отображение р, является, антилинейным |
и р2 = |
|||||
= ( — 1 )п 0 |
/2 ^ а |
отображение Ѳ является комплексно |
линей |
||||
ным и Ѳ2 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если X £ A ft(F), то аХ = ( — |
|
||||||
и атХ = ( — l)(n_ft) |
|
|
хХ, поэтому рЛХ=(—І^Х , где |
||||
г = к (к —1 |
) |
/ 2 |
+ (гг— к) (п — к — 1 |
)/2 -|- к (гг—к) — |
|
||
= к(гг —1 |
) |
/ 2 |
+ (гг— к) (гг—1 ) / 2 = |
|
|||
= п (гг—1 |
)/2 . |
|
|
|
|||
Если п = 2п' |
и a;ÇAfc(F), то |
|
|
||||
Ѳ2л; = №-ь) (n-fc- D+«'.ік {ь^і)+п' ( _ i)* ("-'О х = |
|
||||||
__ . j ( n - f t ) ( n - f t - l) - J - f t ( f t — l) 4 - n - f - 2 f t к ()n%— — |
|
||||||
— |
j n ( n — |
|
|
2 А ( n — ft )- |- 2 ft ( n — ft) д* — |
|
||
=in~x =
=i‘in'2x X. КЗ
Ле м м а 4. Обозначим через SG (F) группу К-линейных ото
бражений пространства V, сохранягощих скалярное ггроизведение и оставлягощих неподвижным векгіпор а. Тогда если g 6 SG (F), то gx = тg, gp = pg и gö = 0 g.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
(gxX, gY) = (xX, Y) ^ (n, X [\Y) = (gor, gX/\gY) = = (n, gX / \ g Y ) = (xgX, gY)
для всех gY, поэтому gxX = xgX для всех X. Так как очевидно, что ga = a g, то pg = gp, и так как ig = gi, то g0 = 0 g. g
Пусть F и PF суть |
Х-векторпые пространства размерности п |
и т соответственно с |
Х-скалярными умножениями. Вложения |
F с -^- F © PF, PFс —» F ® W индуцируют гомоморфизмы A (F) —>-A(F©PF), A(PF)->-A(F 0 PF) и гомоморфизм
ß: -A (F)®* A (PF)-»-A (F © PF) ® A (F © PF) Д A (F © PF),
являющийся изоморфизмом градуированных алгебр. Пространство F ф PF может быть ориентировано при помощи вектора а =
— ß (оу ® <У\ѵ)-
Л е м м а 5. Если X 6 Аг (У), Y Ç A s (ТУ), то |
|
|
|||||||||
|
|
Tß (X 0 |
Y) = ( ^ |
l)s (" - г) ß (xvX 0 |
|
тWY), |
|
|
|||
|
|
pß (X ® Y) = |
1 Г ß (МГ 0 |
р*гУ), |
|
|
|||||
|
|
0ß (X 0 |
У) = ,ß (0уХ 0 0^У). |
|
|
|
|
|
|||
В частности, если dimx V = |
0 (mod 2), то отображение .р может |
||||||||||
бытъ |
отождествлено с отображением ру 0 |
\iw . |
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Зафиксируем ортонормированные базисы |
|||||||||||
«I, |
|
в 7 и е п + і , . .., е п+т |
в ТУ, такие, что а ѵ = |
е 1 / \ - . . . |
Де„, |
||||||
ow = еп+іА • • • Aen+m- Пусть X, |
Y — мономы; |
тогда |
|
|
|||||||
|
|
a = V((X/\xvX ) ® { Y h T WY)) = |
|
|
|
|
|
||||
|
|
= ( - l)s(n_r) ß ((X 0 |
Y)) Aß (туХ <0 тWY)\ |
|
|
||||||
так как в рассмотрении участвуют только мономы, то rß (X 0 |
Y) = |
||||||||||
= ( - |
l)s(”_r) ß (туХ 0 XwY). Далее, aß (X 0 |
У) = ( —l)rsß (a (X) 0 |
|||||||||
0 a |
(У)) ДЛЯ ( — l) < r+ s> СГ+ s - i)/2 |
= ^ |
|
( — |
±)Г ( r - l)/2 |
( ---- 1)S (S- l)/2^ |
|||||
так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r+s)(r + i “- l) = r(r + s - l ) |
+ |
s(r + s - l ) |
= |
|
|||||
|
|
|
= r (r— 1 ) + r s -j- s |
( s |
— 1 ) -J-sr, |
|
|||||
что дает формулу для р. Получим формулу для 0; имеем |
|
||||||||||
0ß (X 0 |
Y) = t(r+s>(>•+*-l)+(n'+m') Tß (X 0 |
Y) = |
|
|
|
|
|||||
|
|
= ІТ('•-D+* («-l)+2 r.+n'+m' (_ |
l)s<2n'- r>ß (TyX <g) TWY) = |
||||||||
|
|
= (— l)rs ( - i)2"'*-rs ß i f ('•-D+"' Tyx 0 V (° ~ W x WY) = |
|||||||||
|
|
= ß (ѲХ 0 |
ѲУ). в |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вернемся теперь опять к одному пространству У и для каждого вектора ѵ £ У рассмотрим отображение
|
Fv: Л(У) |
А(У): x-+ v j\ х |
|
|
|
и сопряженное ему отображение |
(FB)*: Л (У) |
Л (У), определен |
|||
ное формулой |
|
|
|
|
|
(X, FVY) = (F$X, Y ) |
для всех X, У 6 А (У). |
||||
О п р е д е л е н и е . Для |
v £ У отображением |
<р„: Л (У) |
|||
-V Л (У) называется линейное преобразование Fv + |
(Fv)*. |
||||
Л е м м а |
6 . Для векторных пространств У, ТУ и их векторов |
||||
^ 6 У, ?« € ТУ |
имеет место формула |
|
|
||
фо+ш (ß (X 0 У)) = ß (Ф„х 0 |
У + (— l)dünХ X 0 |
фшУ). |
|||